Напряжения в тонкостенном вращающемся кольце

Рассмотрим случай вращения тонкостенного кольца ( δ R ) с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к плоскости кольца (рис. 14.5, а).

При вращении кольца каждый его элемент движется с центростремительным ускорением j = ω 2 R . Силы инерции направлены в сторону, противоположную ускорениям, и при постоянном сечении распределены равномерно вдоль кольца. Интенсивность сил инерции, т. е. сила инерции, приходящаяся на единицу длины кольца, q = F ρ ω 2 R . Здесь ρ — плотность материала, F — площадь сечения, а R — радиус средней линии кольца.

Кольцо теперь можно рассматривать как неподвижную плоскую раму, нагруженную равномерно распределенными радиальными силами интенсивностью q .

Рассекая кольцо любой диаметральной плоскостью на две части, приложим в сечениях осевые силы N и изгибающие моменты X 1 .

Проектируя все силы, действующие на полукольцо, на направление оси y , получаем

.

.

Подставляя в это выражение значение q , находим

.

Для определения неизвестного X 1 составим каноническое уравнение

,

коэффициенты которого вычислим способом Мора.

Изгибающий момент в текущем сечении полукольца от силы N и распределенной нагрузки q (см. рис. 14.5, б)

,

а от единичной пары M 1 j =+ 1 .

Следовательно, δ 1 P =0 и поэтому X 1 =0 , т. е. изгибающие моменты во всех поперечных сечениях кольца равны нулю. Этот результат объясняется тем, что при вращении вокруг центра кольцо сохраняет свою форму и никаких изгибных деформаций не испытывает; увеличивается только его диаметр.

Таким образом, нормальные напряжения в поперечном сечении кольца

.

Например, в стальном кольце ( ρ =7850 кг/м 3 ) радиуса R =50 см при n =2500 об/мин растягивающее напряжение

Итак, напряжения во вращающемся кольце зависят только от окружной скорости v = ω R и плотности материала, но не зависят от площади его поперечного сечения. Поэтому увеличением размеров сечения нельзя уменьшить напряжения в тонкостенном вращающемся кольце.

Рассмотрим теперь случай равномерного вращения тонкостенного кольца вокруг его горизонтальной оси x .

Различные элементы кольца находятся на разных расстояниях от оси вращения, и поэтому силы инерции распределены неравномерно по длине кольца (рис. 14.6, a):

.

Максимальная интенсивность q = ρ F ω 2 R . Следовательно,

.

В сечениях вдоль вертикальной оси симметрии кольца будут действовать только изгибающие моменты X 1 , а перерезывающие силы Q и нормальные силы N равны нулю. В отсутствии нормальных сил N в этих сечениях легко убедиться, спроектировав все силы, действующие на левое или правое полукольцо, на горизонтальную ось симметрии.

Представим эквивалентную систему, как показано на рис. 14.6,б. Изгибающий момент в текущем сечении кольца от внешней нагрузки

,

а от единичной пары M 1 j + 1 .

Составим каноническое уравнение

,

Коэффициенты δ 1 P и δ 11 этого уравнения:

;

.

.

Итак, изгибающий момент в текущем сечении рамы

.

Эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 14.7. Опасными являются сечения A и B кольца, так как в этих сечениях кроме изгибающих моментов M = qR 2 /4 действуют наибольшие растягивающие нормальные силы

.

Максимальные напряжения в раме

,

где W z — момент сопротивления изгибу, а F — площадь поперечного сечения кольца.

Расчет стержней на растяжение — сжатие

Задача (выбор варианта задачи ↓ )

— построить эпюры внутренних продольных сил N и нормальных напряжений для стержня;
— рассчитать перемещения характерных сечений стержня и построить их эпюру;
— рассчитать деформации участков и общее изменение длины стержня.

► Условие прочности при растяжении. Типы задач:

1. Проверка на прочность: a) через допускаемые напряжения;
b) если задан допускаемый коэффициент запаса прочности.

2. Подбор размеров сечения (проектировочный расчет)

3. Определение грузоподъемности стержня (определение допускаемой нагрузки)

Исходные данные

Основные обозначения, принятые в сопромате

Основные обозначения, принятые в сопромате

Для обозначения понятий в сопромате существует сложившаяся в мировой системе практика обозначений на основе Стандарта ИСО № 3898 (Международная организация по стандартизации, ИСО (International Organization for Standardization,ISO), занимающаяся выпуском стандартов), в которой предусмотрено применение латинских и греческих букв, специальных обозначений и т.д.

А – площадь поперечного сечения, (м 2 ); a – размер стороны прямоугольника, (м); b – ширина сечения, (м); D – диаметр наружный сечения, (м); d – диаметр внутренний сечения, (м); E – модуль упругости I рода, модуль Юнга, (Па); F – внешняя сила (H); G – модуль сдвига, (Па); g – ускорение свободного падения (м/с 2 ); h – высота сечения, (м); i – индекс у сил и усилий; l – длина стержня или силового участка, (м); M – сосредоточенный момент, Нм; N – нормальная или продольная сила (внутренняя), (H); n – коэффициент запаса прочности; [n] – допускаемый коэффициент запаса прочности; Q (Q_X, Q_Y) – поперечная сила (внутренняя), (H); q – погонная нагрузка, (Н/м); R – равнодействующая сил, (Н); x – горизонтальная ось сечения; y – вертикальная ось сечения; х₀, у₀ – центральные оси сечения; [σ] или σ_adm – допускаемое напряжение, (Па); σ_к – критическое напряжение, Па; – ; – ; τ(τ_xy ,τ_yz ,τ_zx) – касательное напряжение (тау), (Па); Δl – абсолютная линейная деформация (удлинение или укорочение), (м); ε – относительная линейная деформация (эпсилон), безразмерная; σ (σ_x ,σ_y ,σ_z) – нормальное напряжение (сигма)(Па); δ – перемещение (дельта) (линейное, м; угловое, рад); λ – гибкость стержня (лямбда), безразмерная; ν – коэффициент Пуассона (ню), безразмерная;

Изменения обозначений, принятых в сопромате, в соответствии с рекомендациями ИСО.

iSopromat.ru

Формулы для расчета осевого и полярного моментов инерции кольцевого и трубного сечений.

Кольцевое сечение

Здесь:
D — внешний диаметр кольца;
с — отношение внутреннего диаметра сечения к наружному.
C — положение центра тяжести фигуры.

Трубное (тонкостенное) сечение

R₀ — средний радиус сечения трубы;
t — толщина стенки.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Решение задач, контрольных и РГР

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

Набор студента для учёбы

— Рамки A4 для учебных работ
— Миллиметровки разного цвета
— Шрифты чертежные ГОСТ
— Листы в клетку и в линейку