площадь среза аср равна

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Теоретическая механика

Теоретическая механика – это наука, изучающая математические методы расчёта механизмов и сооружений. Расчет ведется не самих реальных объектов, а их моделей. Применяют графический и аналитический методы расчета.

Графический метод – основан на геометрических построениях.

Аналитический метод – основан на алгебраических расчетах.

Статика – это раздел теоретической механики, который изучает равновесие абсолютно твердых тел под действием сил.

Абсолютно твердое тело – это недеформируемое тело, в котором расстояние между любыми двумя точками всегда остается неизменным и никакие внешние воздействия не вызывают изменения его размеров и формы.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

1.1 Сила и система сил

Сила – это мера механического воздействия одного тела на другое. Сила измеряется в ньютонах (Н) и является векторной величиной, то есть характеризуется 1) численным значением (модулем);

2) точкой приложения;

В графическом методе расчета силу изображают в виде вектора, в каком либо масштабе.

Пример1.1. Начертить вектор силы F = 30 кН в масштабе 1:5.

Решение. Составляем пропорцию:

Пример 1.2. Определить значение силы, если в масштабе 1:2 вектор имеет длину 3 см.

Решение: составляем пропорцию:

Силы бывают внешними и внутренними.

Внешние силы представляют собой действие одного тела на другое и

делятся на активные и реактивные.

Активные силы – стремятся вызвать перемещение тела (сила G, рис. 1.1).

Реактивные силы (реакции) – стремятся противодействовать перемещению тела под действием активных сил (сила R, рис. 1.1).

Внутренние силы — возникают внутри тела под действием внешних сил.

Система сил — совокупность нескольких сил, прило­женных к телу.

Плоская система сил — линии действия сил лежат в одной плоскости.

Пространственная система сил — линии действия сил лежат в разных пло­скостях.

Сходящаяся система сил линии действия сил пересекаются в одной точке (рис. 1.2). Силу можно переносить по линии ее действия в любую точку.

Эквивалентные системы сил – разные системы сил, которые ока­зывают одинаковое механическое действие на тело.

Равнодействующая сила — одна сила, эквивалентная данной системе сил.

Уравновешивающая сила — сила, равная по модулю данной силе и направленная по той же линии действия, но в проти­воположную сторону.

Уравновешенная система сил — система сил, приложенная к материальной точке под воздействием которой точка находится в со­стоянии покоя.

Правило параллелограмма — равнодействующая (FΣ) двух сил (F1 и F2), приложенных к одной точке, является диагональю параллелограмма, построенного на данных силах (рис. 1.3, а). Вместо правила параллелограмма можно пользоваться правилом треугольника (рис. 1.3, б).

1.3 Связи и их реакции

Связи — это тела, которые ограничи­вают движение рассматриваемого тела.

Реакции связей — силы, действующие на тело со стороны связей, которые противодействуют возможным движениям тела. Реакция связи всегда противоположна направлению, по которому возможно движение тела.

Принцип освобождения от связей — не изменяя равновесия тела, каждую связь можно отбросить, заменив ее реакцией.

Наиболее распространенные виды связей:

1) Связь в виде гладкой плоскости (рис. 1.4, а). Реакция связи (R) направлена перпендикулярно к опорной поверхности.

2) Гибкая связь, осуществляемая веревкой, тросом, цепью и т. п. (рис. 1.4, б). Реакции гибких связей RA и RB направлены вдоль связей.

3) Связь в виде жесткого прямого стержня с шарнирным закреплением кон­цов (рис 1.4, в). Здесь реакции R1 , R2 и R3 направлены вдоль осей стер­жней.

4) Связь, осуществляемая точечной опорой (рис. 1.4 г). Реакция связей R1, R2 R3, направлены перпендикулярно поверхности опирающегося тела.

Рис. 1.4 Виды связей

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1 Геометрический метод сложения сил, приложенных в одной точке

Линии действия сходящихся сил пересекаются в одной точке (рис. 2.1, а). Сходящиеся силы можно перенести в точку пересечения их линий действия (точка К, рис. 2.1, б).

Для сложения векторов надо построить силовой многоугольник: в конец первого вектора помещаем начало второго, в конец второго – начало третьего и т. д. Для построения равнодействующей силы соединяем начало первого вектора с концом последнего.

Геометрическое условие равновесия сходящихся сил – система сходящихся сил находится в равновесии, если Få = 0, т. е. при построении силового многоугольника конец послед­ней слагаемой силы совместится с началом первой (рис. 2.2).

2.2 Проекция сил на ось

Fx — проекция вектора F на ось x — это отрезок, отсекаемый перпендикулярами, опущенными на ось х из начала и конца вектора F (рис. 2.3).

Fу — проекция вектора F на ось у — это отрезок, отсекаемый перпендикулярами, опущенными на ось у из начала и конца вектора F (рис. 2.4).

Значение проекции силы определяется из прямоугольного треугольника по правилу:

Катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе, умноженной на

косинус прилежащего угла или на синус противолежащего угла.

Проекция вектора положительна (+), если направ­ление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора отрицательна (-), если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.

2.3 Проекция векторной суммы на ось

Задана система сходящихся сил F1, F2, F3, F4 (рис. 2.5, а). Построим силовой многоугольник и опустим из вершин силового многоугольника на ось х пер­пендикуляры (рис. 2.5, б).

Проекция векторной суммы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:

где n — число слагаемых векторов.

Få = F1+ F2+ F3+ F4

Алгебраическое условие равновесия плоской системы сходящихся сил — система сходящихся сил находится в равно­весии, когда алгебраические суммы проекций сил на каж­дую из двух координатных осей равны нулю:

ΣFix = 0

2.4 Определение реакций связи аналитическим методом

Пример (рис. 2.6, а). В точке В подвешены два груза — груз G1 = 600 Н и G2 = 400 Н. Определить реакции стержней АВ и ВС.

1) Чертим расчетную схему (рис. 2.6, б). Для этого находим точку, где пересекаются линии действия всех сил. Это узел В. Прикладываем к нему на расчетной схеме внешние силы G1 и G2 (рис. 2.7, б).

2) Освобождаем выделенную точку от связей, а их действие заменяем реакциями. Связи в точке В осуществляются стержнями АВ и ВС. Прикладываем вместо них на расчетной схеме реакции стержней R1 и R2.

3) Выбираем координатные оси х и у (рис.2.6, б). Направление координатных осей х и у следует выбирать так, чтобы хотя бы одна из осей была перпендикулярна неизвестным силам (реакциям).

а) Схема нагружения б) Расчетная схема

4) Составляем уравнения равновесия:

SFiу = 0; G1 + R2 Cos45o + G2 Cos45o=0

5) Решаем уравнения: R2 = — G2 — = — 400 — = — 1249 Н.

R1 = G2 Cos45o — R2 Cos45o= 400 × 0,707 – (-1249)×0,707 = 1166 Н.

Знак минус перед значением реакции R2 показывает, что она направлена в противоположную сторону от выбранного направления.

ПАРА СИЛ И МОМЕНТЫ СИЛ

Пара сил – это две равные и параллельные силы, направленные в противо­положные стороны и не лежащие на одной прямой. Пара сил, действующая на тело, стремится вращать это тело (рис. 3.1).

Плечо пары (а) — кратчайшее расстояние между линиями действия сил (плечо всегда перпендикулярно силам).

Момент пары сил (М) — равен произведению одной из сил на ее плечо:

Момент пары сил положительный, если пара стремится повернуть тело по часовой стрелке (рис. 3.1, а), и отрицательным, если пара стремится вращать тело против часовой стрелки (рис. 3.1, б).

3.2 Сложение и равновесие пар сил на плоскости

Сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов:

Условие равновесия системы пар, лежащих в одной пло­скости: для равновесия системы пар необходимо чтобы сумма моментов пар равнялась нулю:

Пример 3.1. Определить момент результирующей пары, эквивалентной системе трех пар, лежащих в одной плоскости (рис. 3.2). Первая пара F1 = F¢1 = 2 кН, плечо h1 = 1,25 м; вторая пара F2 = F¢2 = 3 кН, плечо h 2 = 2 м; третья пара F3 = F¢3 = 4,5 кН, плечо h3 = 1,2 м.

3.3 Момент силы относительно точки

Момент Мо (F) силы F относительно точки О равен произведению силы на плечо. (рис. 3.3, а). Сила F стремится поворачи­вать плечо а вокруг точки О.

где а — плечо силы F.

Плечо силы – это длина перпенди­куляра а, опущенного из точки на линию действия силы

Центр момента — точка О, относительно которой возникает момент.

Момент по­ложительный, если сила стре­мится вращать тело по часовой стрелке (рис. 3.3, а), и отри­цательный — против часовой стрелки (рис. 3.3, б).

Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точ­ки равен нулю, так как плечо а = 0 (рис. 3.3, в).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ

4.1 Опорные устройства балочных систем

1) Шарнирно-подвижная опора (рис. 4.1, а)- допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение па­раллельно опорной плоскости. Направление опорной реакции — перпендикуляр к опорной плоскости.

2) Шарнирно-неподвижная опора (рис, 4.1,б) — допу­скает только поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких ли­нейных перемещений. Опорная реакция RA раскладывается на две составляющие — RAx и RAy.

3) Жесткая заделка (защемление) (рис. 4.1,в)- не допускает ни линейных перемещений, ни поворота. В защемлении действуют две составляющие опорной реакции — RAx, RAy и реактивный момент МА.

Двухопорные балки имеют две опоры – одна опора шарнирно-неподвижная, вторая – шарнирно-подвижная. Шарнирно-подвижная опора необходима для компенсации перемещений балки при температурных расширениях балки из-за колебаний температуры, а также при возможной подвижке опоры, например, при осадке почвы.

Консоль – выступающая за опору не закрепленная часть балки (рис. 4.2, б, в).

1) Бесконсольные балки 2) Одноконсольные балки 3) Двухконсольные балки

4.3 Виды нагрузок

1) Сосредоточенная сила (рис.4.3, а) – F — сила, приложенная в одной точке.

2) Равномерно распределенная нагрузка (рис.4.3, б) – нагрузка, равномерно распределенная на некоторой длине l. Характеризуется интенсивностью q, единица измерения — Н/м или кН/м.

При решении задач равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q заменяется одной силой Fq = q×l, которая является равнодействующей силой и прикладывается посередине длины l.

4.4 Равновесие плоской системы сил

Условие равновесия произвольной плоской системы сил — произвольная плоская система сил находится в равно­весии, когда алгебраические суммы проекций сил на координатные оси и сумма моментов равны нулю:

SFix = 0 S Fix = 0 SМА = 0

4.5 Решение задач на определение опорных реакций

Для решения задач надо составить столько уравнений равновесия, сколько неизвестных сил в задаче. Для определения опорных реакций двухопорной балки (RAx, RAy и RВ) необходимо составить три уравнения равновесия второго вида: SFix = 0, SМА = 0, SМВ = 0.

Пример 4.1. Определить опорные реакции балки, изображенной на рис. 4.4, а, нагруженной парой с моментом М = 10 кН×м, сосредоточенной силой F = 4 кН и распределенной нагрузкой интенсивностью q = 1,5 кН/м.

1) Чертим расчетную схему (рис. 4.4, б). На расчетной схеме заменяем распределенную нагрузку q ее рав­нодействующей Fq = q×b, которая прикладывается посредине нагруженного участка b. Освобождаем балку от опор, а их действие заменяем реакциями — RAу, RAx и Rb. Проставляем расстояния между всеми силами и моментами – a, c, d, а также общую длину балки – l.

2) Составляем уравнения равновесия:

3) Решаем уравнения:

Rb = =

RАy ==4,62кН

Рис. 4.4 Расчетная схема

4) Проверяем найденные значения реакций:

SFiv = 0; RAy — qb +RB — F = 4,63 – 1,5×6 + 8,37 — 4 = 0. Реакции найдены верно.

5.1 Центр тяжести простых геометрических тел

Центр тяжести тела – это точка приложения силы тяжести

· Центр тяжести симметричной фигуры лежит на оси симметрии.

· Центр тяжести параллелограмма, прямоугольника, квадрата лежит в точке С пересечения диагоналей (рис. 5.1).

· Центр тяжести треугольника ле­жит на пересечении медиан (рис. 5.2).

В прямоугольном треугольнике хс =1/3 b, ус = 1/3 h (рис. 5.2).

Координаты центра тяжести плоских геометрических фигур определяют по формуле (5.1):

хс = ; ус =, (5.1)

где хс , ус – координаты центра тяжести всей фигуры;

хi , уi — координаты центра тяжести отдельных составных частей, из которых состоит фигура; Аi – площадь отдельных составных частей фигуры;

А – площадь всей фигуры.

Пример 5.1. Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием, изображенной на рис. 5.3.

Решение. Разбиваем фигуру на три части: два прямоугольника I и II и круглое отверстие III. Вычисляем ко­ординаты центров тяжести и площади этих частей:

х1 = 350 мм; у1 = 300 мм; А1 = 600×700 = 4200×102 мм2;

х2 = 500 мм; у2 = 850 мм; А2 = 400×500 = 2000×102 мм2;

х3 = 350 мм; у3= 380 мм; А3 = — — = — 804×102 мм2 (минус означает, что А3 – отверстие).

Вычисляем координаты центра тяжести всей фигуры:

xc == 407 мм

ус == 492 мм

5.3 Положение центров тяжести профилей проката

ГОСТ 8: ДВУТАВРЫ СТАЛЬНЫЕ ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ

h — высота двутавра;

b — ширина полки;

s — толщина стенки;

t — средняя толщина полки;

С – центр тяжести (на пересечении осей y – y и х – х)

Номер двутавра определяется высотой h. Например у двутавра №10 — h = 100мм

ГОСТ 8240-89 ШВЕЛЛЕРЫ СТАЛЬНЫЕ ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ

b — ширина полки;

s — толщина стенки;

t — толщина полки;

z0 — расстояние от оси y — y до наружной грани стенки.

С – центр тяжести (на пересечении осей y – y и х – х)

Номер швеллера определяется высотой h. Например у швеллера №12 — h = 120мм

ГОСТ 8510 – 72 СТАЛЬ ПРОКАТНАЯ УГЛОВАЯ НЕРАВНОПОЛОЧНАЯ

b — ширина полки;

d — толщина полки;

z0 — расстояние от центра тяжести до полки

С – центр тяжести (на пересечении осей y – y и х – х)

Обозначение уголка определяется шириной (b) и толщиной (d) полки. Например, уголок №5 (или 50´4) b = 50мм, d = 4 мм.

ГОСТ 8509 – 72 СТАЛЬ ПРОКАТНАЯ УГЛОВАЯ РАВНОПОЛОЧНАЯ

В – ширина большой полки

b — ширина малой полки;

d — толщина полки;

х0, у0 — расстояния от центра тяжести до наружных граней полки

С – центр тяжести (на пересечении осей y – y и х – х)

Обозначение уголка определяется размерами В, b, d. Например уголок № 7,5/5 (или 75´50´5): В= 75 мм, b = 50мм, d = 5 мм.

ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

6.1 Основные понятия

Три основных вида расчетов — расчет на прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность – это способность элементов конструкций, не разрушаясь, воспринимать действие различных нагрузок (например, растяжение, сжатие, изгиб и др.).

Жесткость – способность тела или конструкции сопротивляться деформации.

Деформация – это изменение формы и размеров элементов конструкций под действием внешних сил (виды деформации — растяжение, сжатие, изгиб, сдвиг, кручение).

Упругая деформация – деформация, которая полностью исчезает после снятия нагрузки.

Остаточная (пластическая) деформация – деформация, которая остается после снятия нагрузки (при проек­тировании размеры элементов конструкций назначают таким обра­зом, чтобы возникновение остаточных деформаций было исключено).

Устойчивость – способность сооружения противостоять силам, стремящимся вывести его из равновесия.

6.2 Метод сечений

Метод сечений – Произведем мысленно поперечное сечение бруса (рис. 6.1) и одну часть бруса отбросим. Внешние силы, приложенные к оставленной левой части (F1, F2, F3) уравновешиваются внутренними силами, возникающими в плоскости сечения. Эти внутренние силы, возникающие в плоскости сечения, заменяют действие отброшенной части тела на оставленную часть.

Направление координатных осей (рис. 6.2):

— ось z — вдоль оси стержня,

— оси х и у — вдоль главных центральных осей его поперечного сечения,

— начало координат в центре тяжести сечения.

Для любой части тела, I или II, в плоской системе сил можно составить три уравнения равновесия:

S Fiу = 0,

Внутренние силовые факторы при действии на стержень плоской системы сил (рис. 6.2):

N — про­дольная сила;

Q — поперечная сила;

М — изгибающий момент.

6.3 Виды деформаций

Растяжение – в сечении возникает продольная сила — N, направленная наружу (рис. 6.3, а).

Сжатие — в сечении возникает продольная сила – N, направленная внутрь (рис. 6.3, б).

Сдвиг (рис. 6.4) — в сечении возникает поперечная сила — Q.

Кручение (рис. 6.5) — в сечении возникает крутящий момент — Мк

Изгиб – в сечении возникают изги­бающий момент – М и поперечная сила — Q.

Рис. 6.4 Рис. 6.5 Рис. 6.6

Напряжение (r) — это значение внутренних сил, при­ходящихся на единицу площади сечения.

Напряжение представляет собой вектор (характеризуется величиной и направлением).

где А – площадь сечения бруса (рис. 6.7);

F – сила, действующая на сечение А (рис.6.7);

Полное напряжение r — представляет собой геометрическую сумму двух составляющих — нормальной (s) и касательной (t) (рис. 6.7).

Нормальное напряжение — s (сигма) – направлено перпендикулярно сечению.

Касательное напряжение — t (тау) – направлено по касательной (расположенную в плоскости сечения).

Предельное напряжение (sпред, tпред) – это напряжение, при котором происходит разрушение материала.

Допускаемое напряжение ([s], [t]) — это максимальное напряжение, обеспечивающее без­опасную работу материала. Определены путем проведения испытаний образцов материалов и занесены в справочные таблицы.

[s] = sпред / [n]; [t] = tпред / [n]

Коэффициент запаса проч­ности [n] — показывает, во сколько раз допускаемое напряжение должно быть меньше предельного (зависит от свойств материала, характера действующих нагрузок и условий работы элемента конструкции).

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

7.1 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Условие прочности при осевом растяжении и сжатии:

где N — значение продольной силы в сечении;

А — площадь поперечного сечения;

[s] — допускаемое напряжение при растяжении или сжатии для материала стержня.

Допускаемое напряжение [s] устанавливается на основе результатов механических испытаний образцов материалов и заносится в справочные таблицы (см. табл. 7.1).

Таблица 7.1 — Допускаемые напряжения для некоторых материалов

Древесина вдоль волокон

Три вида задач при расчете на прочность:

1) Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силе N и площади поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым по формуле (7.1).

2) Подбор сечения (про­ектный расчет). Определяют необходимые размеры сечения, зная продольную силу и до­пускаемое напряжение:

3) Определение допускаемой продольной силы:

[N] d = 20, то опасной в отношении смя­тия является внутренняя деталь толщиной d. Площадь ее смятия Асм = d×d. Из условия прочности на смятие:

sсм = F /Асм £ [sсм] ® Асм = d×d ³ F /[sсм] ® d ³ = 25 мм

Из двух значений диаметра d, рассчитанных из условий прочности на срез и смятие, следует принять большее, т. е. d ³ 27,6 мм. По ГОСТ это болт с диаметром ненарезанной части 28 мм и резьбой М27.

10.1 Основные понятия

Прямой изгиб – это искривление продольной оси балки, при котором внешние силы перпендикулярны к продольной оси и расположены в одной плоскости (рис. 10.1, а). Встречается чаще всего.

Косой изгиб – изгиб балки, при котором внешние силы не перпендикулярны к оси балки (рис. 10.1, б).

Два вну­тренних силовых фактора в поперечных сечениях балок при изгибе:

— изгибающий момент – М;

— поперечная сила – Q.

Чистый изгиб — в поперечных сечениях балки возникает только изгиба­ющий момент (М), а поперечная сила равна нулю. Балка изгибается двумя противоположно направленными парами сил, приложенными к ее торцам (рис. 10.1, в).

10.2 Поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях балок

На балку АВ (рис. 10.2, а), действуют силы F1, F2, F3. Опорные реакции RA и RB определяют из урав­нений равновесия. Проведем мысленно поперечное сечение С. (рис. 10.2, б и в). Внутренние силы в любом сечении балки могут быть заменены поперечной силой — Q и изгибающим моментом – М. Левая часть находится в равновесии под действием внешних сил RA, F1, F2 и внутренних сил, возникающих в сечении С, – М и Q. Пра­вая часть находится в равновесии под действием внешних сил F3, RB и внутренних сил в сечении С, — М и Q. Согласно закону равенства действия и противодействия, вну­тренние силы по сечению С для левой и правой частей одинаковы, но направлены в противоположные стороны.

Правило знаков для сил

Рис. 10.2 Рис. 10.3 – Правило знаков

Поперечная сила (Q) в каком-либо поперечном сечении балки равна алгебраической сумме проекций на ось у внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Изгибающий момент (М) равен алгебраической сумме моментов сил относительно центра тяжести сечения по одну сторону.

С учетом правила знаков для изгибающих моментов и поперечных сил, показанных на рисунке 10.3, получим: Q = Ra – F1 — F2; М = RAz – F1 (z – а1) – F2 (z – а2).

ЭПЮРЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ

Эпюра поперечных сил – это график, показывающий изменение поперечных сил по длине балки

Эпюра изгибающих моментов – это график, показывающий изменение изгибающих моментов по длине балки.

11.1 Эпюры Q и М при различных видах нагружения

· Балка с защемленным концом, нагруженная на свободном конце парой сил с моментом М (рис. 11.1, а). Поперечная сила равна нулю (Q = 0). Изги­бающий момент в любом сечении равен внешнему моменту – М. Он положителен, так как слева от сечения балка из­гибается выпуклостью вниз (см. рис. 10.3 – Правило знаков).

Рис. 11.1 Рис. 11.2 Рис. 11.3

· Балка с защемленным концом, нагружен­ной силой на свободном конце (рис. 11.2, а). Проведем сечение, отбросим заделку и рассмотрим равновесие правой части балки. В любом сечении z поперечная сила равна силе F и положительна. Эпюра поперечных сил (рис. 11.2, б) ограничивается прямой, параллельной оси балки. Изгибающий момент в сечении z равен М = — Fz (он отрицателен, так как сила F изгибает балку выпуклостью вверх). Эпюра изгибающих моментов изображается треугольни­ком (рис. 11.2, в). В сечении заделки М = — Fl.

· Балка с защемленным концом, к которой приложена равномерно распределенная нагрузка (рис. 11.3, а). Вся нагрузка, действующая на балку, равна ql. Отбросим заделку и рассмотрим равновесие левой части. В сечении z поперечная сила Q = — qz. Эпюра поперечных сил (рис. 11.3, б) — тре­угольник: при z = 0, Q = 0; при z = l (в защемлении) Q = — ql.

В сечении z изгибающий момент М = — qz× (z/2) = — qz2 /2, где z/2 – плечо.

Эпюра изгибающих моментов — парабола так как z2 — в квадрате (рис. 11.3, в). Можно построить ее по точкам: при z = 0, М = 0,

· Двухопорная балка, нагруженная сосредоточенной силой (рис. 11.4, а)

Рис. 11.4 Рис. 11.5

Разделим балку на два участка: АС и СВ, их границей является точка приложения силы F.

Эпюра поперечных сил (рис. 11.4, б): в любом сечении на первом участке Q1 = RA, на втором участке Q2 = — RВ (отрицательна, т. к. реакция RВ справа от сечения направлена вверх). В точке приложения силы F эпюра делает скачек на величину этой силы.

Эпюра изгибающих моментов (рис. 11.4, в)

На участке I М1 = RA z. Эпюра – прямая линия, которую можно построить по двум точкам: при z = 0, т. е. в сечении на левой опоре, М1 = RA ×0 = 0 и при z = а, М1 = RА×а = Fba/l.

·Двухопорная балка, к которой прило­жена равномерно распределенная нагрузка (рис.11.5, а)

Определим опорные реакции: Ra = RB = ql/2.

Эпюра поперечных сил (рис. 11.5, б):

в произвольном сечении z, для левой отсеченной части: Q = Ra — qz = ql/2 – qz;

В это уравнение z входит во второй степени, поэтому эпюра М имеет вид параболы. Посередине балки поперечная сила изменяет знак, а изгибающий момент максимален: Мmax = ql2/8.

11.2 Характерные точки на эпюрах Q и М

1) При любом виде нагружения двухопорной балки, если в опорах не приложены внешние силы F, то (рис. 11.6):

— на левой опоре (опора А) QА = RА,

— на правой опоре (опора В) QВ = — RВ.

Рис. 11.6 Рис. 11.7 Рис. 11.8

2) Если на левую опору действует внешняя сила F, то:

ü внешняя сила F направлена вниз: QА = RА – F,

ü внешняя сила F направлена вверх: QА = RА + F.

3) Если на правую опору действует внешняя сила F, то:

ü внешняя сила F направлена вниз: QВ = — RВ + F;

ü внешняя сила F направлена вверх: QВ = — RВ – F.

4) На участках, где нет равномерно распре­деленной нагрузки (рис. 11.6):

ü эпюра Q – прямоугольная;

ü эпюра М – треугольная.

5) В точках приложения сосредоточенных сил F (рис. 11.6):

ü на эпюре Q — скачки, равные по величине этим силам F,

ü на эпюре М — переломы, направленные навстречу силам F.

6) На участках, загруженных равномерно-распределенной на­грузкой, (рис. 11.7):

ü эпюра Q — треугольная,

ü эпюра М – парабола, выпуклость которой напра­влена навстречу нагрузке

7) В точках, где Q = 0, эпюра М принимает максимальное или минимальное значение (рис. 11.7).

8) Если в опорах А и В двухопорной бесконсольной балки не приложен момент, то на эпюре М:

ü МА = 0, МВ = 0 (рис. 11.6, 11.7).

9) В точках приложения моментов (пар сил) на эпюре М — скачки, равные величине моментов (рис. 11.8).

11.3 Порядок построения эпюр

1) Составляем уравнения равновесия и определяем опорные реакции — Ra и RB

2) Разбиваем балку на участки. Обозначаем буквами границы участков: точки приложения опорных реакций – А, В; точки приложения внешних сил (F) и моментов (М) начало и конец равномерно-распределенной нагрузки — С, D, E, G … (рис. 11.9).

3) Проводим сечения на границе каждого участка. Отбрасываем ту часть балки, к которой приложено больше сил. Для оставшейся части составляем уравнения равновесия для поперечных сил Q = SFлев или Q = SFправ с учетом правила знаков. Определяем на каждом участке поперечную силу — QА, QВ, QО, QE и т. д. В точках приложения внешних сил F сечение проводим слева и справа от этих точек (например, рис. 11.9 — , ).

4) Выбираем масштаб для поперечных сил и строим эпюру Q.

5) Составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов с учетом правила знаков и определяем моменты на каждом участке — МА, МВ, МО, МD и т. д. В точках приложения внешних моментов (М) сечение проводим слева и справа от этих точек (например, рис. 11.9 — , )

6) На участке с равномерно распределенной нагрузкой из подобия треугольников на эпюре Q определяем положение точки, в которой Q = 0 (точки С). На эпюре М в этой точке будет вершина параболы.

7) Определяем изгибающий момент в точке вершины параболы.

8) Выбираем масштаб для изгибающих моментов и строим эпюру М.

Примечание: Для балок с защемленным концом определять реакции заделки не обязательно. уравнения составляют для той части балки, к которой при­ложены только внешние силы (т. е. защемленный конец отбрасывают).

Пример. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки на рис. 11.9.

Решение. Определяем опорные реакции:

Разбиваем балку на участки. Характерные точки — А, В, D, Е.

Построение эпюры поперечных сил (Q)

Вычисляем значения поперечных сил:

В сечении А слева QАлев = — qa = -2 кН.

На участке ОА эпюра поперечных сил ограничена наклонной прямой.

В сечении А справа QAправ = — qa + RA = — 2 + 5 = 3 кН; здесь имеет место скачок, равный RA = 5 кН.

В сече­нии D справа QDправ = — 3qa + RA — F = — 3× 2 + 5 — 2 = — 3 кН. В се­чении D эпюра Q имеет место скачок, равный величине приложенной силы F = 2 кН.

На участке AD, как и на консоли ОА, эпюра поперечных сил ограничи­вается наклонной прямой, так как на обоих участках действует равномерно распределенная нагрузка.

В точке С поперечная сила Q = 0. Здесь изгибающий момент должен принять максимальное значение. Из подобия треугольных элементов эпюры на участке AD определяем, что точка С лежит на расстоянии 1,5а от опоры А или 0,5а от сечения D.

В сечении В слева QВлев = RA – F – q ×3 = 5 – 2 — 2×3 = — 3 кН

Построение эпюры изгибающих моментов (рис. 11.9, в).

В сечении А МА = — qа2/2 = — 2× 12/2 = -1 кН×м; на консоли эпюра мо­ментов изображается параболой как на участке, загруженном равномерно-рас­пределенной нагрузкой,

В сечении С Мс = —= 1,25 кН×м. Это значение момента является максимальным на участке AD (вершина параболы).

В сечении Е справа МЕправ = МЕлев + М = — 2+5 = 3 кН×м.

В сечении В Мв = 0. На участках DE и ЕВ, свободных от распределенной нагрузки, эпюра моментов ограничена прямыми наклонными линиями; в сечении Е имеет место скачок на величину приложенной пары М = 5 кНм.

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ

12.1 Нормальные напряжения при изгибе

При изгибе продольные волокна балки на выпук­лой стороне удлиняются, а на вогнутой укорачиваются (рис.12.1). Слой волокон, лежащих на половине высоты балки, сохраняет, искри­вившись, неизменную длину. (рис. 12.2).

Нейтральный слой — это слой, длина которого не изменяется при изгибе и не испытывает напряжений.

l — длина волокон нейтрального слоя

Рис. 12.1 Рис. 12.2

Относительное удлинение (продольная деформация): e =

При изгибе в сечениях балки от действия изгибающих моментов возникают нормальные напряжения (s), а от поперечных сил Q — касательные напряжения (t). Но в большинстве случаев касательные напряжения невелики и при расчетах на прочность не учитываются.

12.2 Осевой момент сопротивления

Осевой момент сопротивления (Wx, см3) — характеризует способность сечения балки сопротивляться изгибу и зависит от формы поперечного сечения балки.

Для профилей проката (уголков, швеллеров, двутавров и др.) осевой момент сопротивления определяется по таблице сортамента (пример – в таблице 12.1)

ГОСТ 8239-89: Двутавры стальные горячекатаные

Видео:Площадь треугольника ABC равна 36. DE – средняя линия, параллельная стороне AB.Скачать

Rimoyt.com

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Темы: машиностроение, САПР, 3d моделирование, техническое образование, промышленные предприятия, технические вузы

Не делай другому того, чего себе не пожелаешь…

Срез — разрушение соединительных деталей под действием поперечных нагрузок (т.е. перпендикулярных осям этих деталей).

Например, разрушение штифта может произойти при штифтовом соединении двух деталей, которые нагружены двумя противоположно направленными силами. Вместо штифта может быть шпонка, болт, шпилька, заклепка.

Допущения при расчете на срез:
— в поперечном сечении детали, где может быть срез, возникает только поперечная сила Q
— касательные напряжения распределены по поперечному сечению равномерно
— при соединении несколькими одинаковыми деталями – все они нагружены одинаково

Условие прочности при расчете на срез:

— расчетное напряжение среза
Q = F/i – поперечная сила в сечении
i – число соединительных деталей (например, число заклепок)
Aср – площадь поперечного сечения срезаемой детали (заклепки)
— допускаемое напряжение

Три вида расчетов на срез:
— проверочный
— проектировочный – определение числа соединительных деталей или размеров деталей
— определение допускаемой нагрузки

Смятие – разрушение от давления между поверхностями соединительной детали и отверстия (при штифтовом, шпоночном соединениях и т.д.). При изменении формы отверстия от давления соединение разрушается.

Допущения при расчете на срез:
— силы давления распределены по поверхности смятия равномерно
— силы давления перпендикулярны поверхности смятия

Условие прочности при расчете на смятие:

F/i – нагрузка на один соединительный элемент
i – число соединительных элементов
Aсм – площадь смятия

— допускаемое напряжение

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Расчет на прочность болтового соединения. Расчет на растяжение пластины

Страницы работы

Содержание работы

Расчет на прочность болтового соединения

Условие прочности при срезе:

; А_ср = πd 2 / 4 ∙ k

где k = 1 – число плоскостей среза;

[σ]_ср – допускаемые напряжение стали Ст3 при срезе, Па;

А_ср – площадь поверхности среза, м 2 .

Так как болт ø 10 мм, проведем проверочные расчет:

В проектируемой конструкции одним наиболее нагруженных элементов является ось, которая соединяет две площадки, диаметр оси 6мм, масса, действующая на ось, т = 50 кг, материал оси — Ст3. Проведем прочностной проверочный расчет.

Расчет оси на срез

Из условия прочности на срез определяем диаметр оси:

, (3.27)

где F- сила действующая ось, Н;

А_см— площадь среза, мм 2 ;

-допускаемое напряжение при срезе, Нмм 2 .

Силу определим из формулы:

, (3.28)

где т — масса, кг;

g — ускорение свободного падения, 1с.

Н

Площадь среза определим из формулы:

, (3.30)

где d₂— диаметр оси, мм.

м 2

Подставляем численное значение составляющих в условие прочности, получим

МПа

N– усилие в пластине, Н;

[σ]_рас = 125 МПа – допускаемые нормальные напряжения для стали;

Усилие посчитаем по формуле:

N = F / 4 = m · g / 4= 50 · 9,81 / 4= 122,6 Н ()

Площадь поперечного сечения пластины:

А = а · b = 0,003·· 0,015 = 0,000045 м 2 ()

МПа

[σ]_изг — допускаемые напряжения при изгибе, МПа.

Рисунок — Расчетная схема площадки.

Так как слабое место посередине, то сила одинаково распределяется по обеим сторонам площадки.

R_А = F/2 = 490,5 / 2 = 245,3 Н

F = т · g = 50 · 9,81 = 490,5 Н

Момент сопротивления находим по формуле:

м 3 ()

Подставляем полученные данные в условие прочности при изгибе:

МПа

Так как максимальные нормальные напряжения во много раз меньше допускаемых напряжений, то запас прочности обеспечен.

🎦 Видео

№525. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания — 5 м2.Скачать

👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shortsСкачать

№522. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующейСкачать

№555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конусаСкачать

🔴 Высота бака цилиндрической формы равна 40 см ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ КУБА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО РЕБРО? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

№563. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадьСкачать

№529. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндраСкачать

№223. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64 √2 см2.Скачать

№221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 смСкачать

Задача, которую боятсяСкачать

ВСЕ О ПИРАМИДАХ! ЧАСТЬ I #shorts #егэ #огэ #математика #геометрия #пирамидаСкачать

Удалили с экзамена ОГЭ Устное Собеседование shorts #shortsСкачать

Площадь в Автокаде как посчитать, измерить площадь фигур и штриховокСкачать

№547. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.Скачать

Самый ужасный случай педикулёзаСкачать