площадь сферы самая маленькая

Видео:Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]Скачать

Из всех тел равного объема наименьшая поверхность у шара

Ирина Долгополова

Виктория Силаева

Научный руководитель: Марина Александровна Веселова.

Проблема данного проекта: определить, какое национальное жилище обладает наилучшим изопериметрическим коэффициентом комфортности.

Цель исследования: выяснить, жилище какой формы наиболее комфортно для проживания с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность.

Задачи: выяснить, какие бывают национальные жилища, их размеры и формы. Выяснить, каким образом с помощью изопериметрической проблемы можно ответить на вопрос исследования. Произвести необходимые вычисления. Определить коэффициенты комфортности для каждого жилища. Сравнить их и, исходя из полученных результатов, выявить жилище наиболее комфортной для проживания формы с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность.

Гипотеза: у всех жилищ разной формы различный изопериметрический коэффициент комфортности, и существует жилище, имеющее наилучший изопериметрический коэффициент (коэффициент комфортности).

Предмет исследования: изопериметрический коэффициент жилища как показатель комфортности.

В последнее время все чаще говорят о том, что мировые запасы природных ресурсов небезграничны. Количество добытой нефти и газа год от года уменьшается. Открытые месторождения газа и нефти иссякают, а новых становится все меньше и меньше. Если мы такими же темпами будем добывать и использовать нефть и газ, то, возможно, через несколько десятков лет все ресурсы и их месторождения иссякнут совсем, поэтому цены на них постепенно растут. Перед населением планеты давно стоит проблема энергосбережения. Известно, что огромное количество энергии тратится на отопление помещений, в том числе жилых.

Необходимо отметить, что проблема отопления и сохранения тепла в доме существует с древних времен. Одним из способов сэкономить тепло является обеспечение жилья наименьшей потерей тепла через его поверхность. Можно существенно уменьшить размеры жилища, но человек должен иметь достаточно жилого пространства, чтобы чувствовать себя комфортно. Таким образом, встает вопрос: как достичь сочетания максимально возможного объема жилого пространства при минимальной площади поверхности, через которую может уходить тепло. Первобытные люди приходили к его решению опытным путем. В результате в условиях определенного климата и имеющихся строительных материалов у всех народов появились национальные жилища. Этот вопрос остается для человечества актуальным, а с учетом ситуации с энергоносителями становится все более острым. Решением проблемы данного исследования служит так называемая изопериметрическая проблема геометрии. Смысл ее в следующем: на плоскости — среди всех замкнутых кривых данной длины существует кривая, охватывающая наибольшую площадь; в пространстве — среди всех замкнутых поверхностей заданной площади существует поверхность, заключающая в себе наибольший объем. В геометрии эта проблема давно решена, такие объекты найдены. Такая линия на плоскости — это окружность, такая поверхность в пространстве — это шар. С точки зрения соотношения жилого пространства и поверхности, через которую уходит тепло, жилище шарообразной формы идеально. Чем ближе изопериметрический коэффициент геометрического тела к единице, тем ближе такое жилище к идеальному с точки зрения нашего исследования. Это значит, что жилище, имеющее наибольший изопериметрический коэффициент, — наилучшее с точки зрения соотношения жилого пространства и поверхности, через которую уходит из дома тепло.

Изопериметрическая проблема в природе и жизни

Итак, чтобы впоследствии узнать, жилище какой формы является наиболее комфортным для проживания с точки зрения соотношения потери тепла и объема жилищного пространства, необходимо вычислить и сравнить изопериметрические коэффициенты жилищ. Назовем этот коэффициент коэффициентом комфортности. Для этого потребуется формула, где V — объем жилища, S — площадь полной поверхности.

Изопериметрическое неравенство для объемных тел будет записано в следующем виде: изопериметрический коэффициент K всегда меньше единицы или равен ей. Единственное тело, имеющее коэффициент, равный единице, — это шар.

Изопериметрическая теорема: «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар». Заметим, что эта стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет ответить на вопрос: «Почему заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы?» Джордж Пойа в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» так написал об этой проблеме.

«К изопериметрической теореме нас могут привести совсем примитивные рассмотрения.

Мы можем научиться ей у кота.

Я думаю, что все вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным.

Он делает так, очевидно, для того, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность, делая себя как можно более шарообразным. Судя по всему, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой».

Спорный вывод: вигвам теплее чума. Работу надо продолжать

Работа исследует зависимость формы и теплопотерь ограждающей конструкции. Наиболее комфортным для проживания жилищем, с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность, оказался вигвам. Наихудшим — типи. Разнообразные формы жилища, теплопотери были рассчитаны.

Но автор не учел, что во всем мире взаимосвязь этих двух составляющих невозможна без материалов, из которых, собственно, и возводятся жилища и в России, и в Америке.

Во всем прогрессивном мире давно задумались над экологической проблемой строительства. Волна переживаний дошла и до наших школ. Безусловно, эта работа ставит своей целью помочь разобраться в формах экологической архитектуры, приблизиться к пониманию идеального экодома.

22 года назад в Великобритании впервые внедрили экологический стандарт по строительству BREEAM, основная задача которого — создать рейтинговую оценочную систему экологического строительства.

В 1998-м появилась система LEED в CША. И только в 2009-м RuGBC — Совет по экологическому строительству в России официально стал членом Всемирного совета по экологическому строительству. Во всем мире одна из функций подобных советов — образовательная. Российская организация пока находится на стадии развития. Ее сферы влияния не распространяются на школьников в необходимом объеме.

На сегодняшнем этапе развития общества разрабатывается необходимая научная литература для профессиональных сообществ.

Разработкой школьных пособий по тематике экологического строительства никто не занимался. Хотя этот обширный пласт затрагивает не только вопрос, как построить дом с минимальным энергопотреблением. Для современного школьника экологическая проблема — это где-то далеко: исчезновение Аральского моря, техногенные катастрофы, аварии на химических предприятиях, глобальное потепление.

А тем временем города на глазах ребят увеличиваются за счет новых построек. Так, в России за 2011 год было построено 5,5 млн кв. м. жилья. Это, для сравнения, где-то 1000 высотных многоэтажных домов. Гдето нужно их строить? Место выбирают зачастую красивое, чистое, зеленое. Строят тоже не из шлака, а из современных строительных материалов, которые, заметьте, состоят из природных компонентов.

Автор проекта планирует продолжить расчеты исследованием более сложных форм и фигур. На сегодняшний день в инструментарии архитекторов есть программы-помощники, они автоматически просчитывают (исходя из заданных климатических показателей и времени суток) теплопотери, освещенность, вентиляцию проектируемого пространства. В них можно двигать стены, окна и собирать нужную по пространству модель. Поэтому, мне кажется, разумным было бы обратиться к исследованию экологических материалов, биологического разнообразия, сортировке и переработке мусора, способам экономии энергии в повседневной жизни, доступным школьникам.

Но в этом должны помогать образовательные программы.

Сравнение коэффициентов комфортности жилищ

Внесем результаты вычислений в таблицу.

Сравнение поможет определить, жилище какой формы является наиболее комфортным для проживания с точки зрения потери тепла через его поверхность: 0,767>0,694>0,647>0,645>0,595 >0,436.

Расставим жилища в порядке возрастания изопериметрического коэффициента, а значит, в порядке возрастания их комфортности: чум, иглу,типи, изба,юрта, вигвам.

Выводы

У всех жилищ разной формы различный изопериметрический коэффициент комфортности, и существует жилище, имеющее наилучший изопериметрический коэффициент.

Наибольший изопериметрический коэффициент комфортности имеет вигвам.

Наименьший изопериметрический коэффициент комфортности имеет чум.

У юрты, типи и избы коэффициенты близки по значению, эти жилища близки по изопериметрическим характеристикам.

Значения изопериметрических коэффициентов рассмотренных конструкций могут существенно отличаться. Размах составил: 0,767 — 0,436 = 0,331. Такой размах соизмерим с самим коэффициентом К чума.

Заключение

Данная работа на тему «Исследование комфортности жилищ c помощью изопериметрической теоремы» посвящена исследованию национальных жилищ разных народов как геометрических объектов.

Целью исследования было определить, жилища какой формы наиболее комфортны для проживания с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность. В основу работы была положена следующая гипотеза: у всех жилищ разной формы различный изопериметрический коэффициент комфортности, и существует жилище, имеющее наилучший изопериметрический коэффициент. В ходе исследования необходимо было выявить жилище, имеющее подходящие геометрические характеристики для получения наилучшего изопериметрического коэффициента комфортности.

Для этого были проведены вычисления изопериметрических коэффициентов жилищ и их сравнение. Мы выявили, что изопериметрические коэффициенты жилищ разной формы не совпадают и существует жилище, имеющее наилучший изопериметрический коэффициент комфортности.

Из этого следует, что гипотеза подтверждена. Наиболее комфортным для проживания жилищем, с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность, оказался вигвам, имеющий наилучший изопериметрический коэффициент комфортности.

Это означает, что вигвам из всех жилищ имеет наименьшую площадь поверхности при наибольшем объеме жилищного пространства. Наихудшим с этой точки зрения оказался типи. Во время работы над проектом были изучены понятие изопериметрического коэффициента комфортности, изопериметрическая теорема, изопериметрическая проблема, а также формы различных национальных жилищ. Были освоены способы расчета геометрических характеристик жилищ и их изопериметрические коэффициенты комфортности.

Было бы интересно выяснить, где еще используются изопериметрические свойства фигур. Также представляется перспективным исследование других интересных свойств фигур, которые применяются в архитектуре и других сферах человеческой деятельности.

Типы национального жилища — избы, шалаши на жердях и каркасах, войлочный дом

Жилище — это сооружение, место, в котором обитают люди или животные.

Обычно жилище служит укрытием от неблагоприятной погоды, для сна, выращивания потомства, хранения припасов, отдыха.

У кочевых народов они являлись и являются временными сооружениями, поэтому к ним предъявляются определенные требования: они должны легко собираться и разбираться, быть погодоустойчивыми, иметь внутри достаточно пространства, но в то же время быть компактными.

При этом очень важно, чтобы внутри жилища было достаточно тепло.

И люди во все времена и на всех континентах боролись за тепло внутри жилья самыми разными способами. Они делали чрезвычайно маленький вход.

Сознательно уменьшали само помещение. Решали проблему сохранения тепла в жилище с помощью разнообразных укрывных материалов. Делали вход в жилище ниже уровня пола, как, например, эскимосы в своих иглу.

Но при этом люди всегда сталкивались с проблемой: как при наименьшей поверхности жилища обеспечить как можно больше пространства для жилья.

Решение этой проблемы отражено, в частности, в геометрической форме жилищ.

Прежде всего следует познакомиться с видом и формой тех жилищ, которые были отобраны для исследования.

У индейцев Северной Америки национальным жилищем служит вигвам— шалаш на каркасе, изготовленный из тонких стволов, покрытый циновкой, корой или ветками.

С геометрической точки зрения вигвам состоит из двух частей: полусферы, высота которой равна двум метрам, и цилиндрического основания высотой один метр. Диаметр пола вигвама составляет примерно четыре метра, а высота — около трех.

Типи (на языке дакота) — традиционное переносное жилище кочевых индейцев Великих равнин и Центральной Америки с очагом, расположенным в центре.

Типи имеет форму слегка наклоненного конусообразного шалаша на каркасе из жердей, покрытых обработанными шкурами бизонов и оленей.

Небольшой наклон, которым частично и была обусловлена характерная конструкция входа, позволял типи выдерживать сильные западные ветра Великих равнин. Наклон также способствовал вкупе с циркуляцией воздуха между внешним покрытием и внутренней подкладкой свободному выходу дыма от центрального очага и в то же время предотвращению сквозняков.

Точка пересечения перпендикуляра, проведенного из вершины к основанию типи, находится в метре от центрального очага.

Диаметр основания сооружения мог быть доведен до пяти метров, в исключительных случаях — до семи.

Высота типи достигала шести метров.

Юрта (в большинстве тюркских языков yurt, yurta) — переносное жилище у кочевников. Казахи называли юрту «кийз уй» — «войлочный дом».

Юрта состоит из двух частей: крыши в форме конуса, высота которого около двух метров, и нижней части в форме цилиндра, диаметр которого равен шести метрам, а высота — два с половиной метра.

Иглу — зимнее жилище эскимосов. Представляет собой куполообразную постройку с диаметром основания три-четыре метра и высотой около двух метров из уплотненных ветром снежных или ледяных блоков.

Важно, чтобы вход в иглу был ниже уровня пола — это обеспечивает отток из нее тяжелого углекислого газа и приток взамен более легкого кислорода, а также теплоизоляцию.

Чум — конический шалаш из жердей, покрываемый берестой, войлоком или оленьими шкурами; форма жилища распространена по всей Сибири, от Уральского хребта до берегов Тихого океана, финно-угорских монгольских народов. Диаметр чума в нижней части обычно составляет от трех до восьми метров, а высота — около пяти.

Изба — деревянный срубный (бревенчатый) жилой дом в сельской лесистой местности России, Украины, Белоруссии.

Изба представляет собой совокупность двух частей — крыша в форме прямой призмы с восьмиметровыми боковыми гранями и с основаниями в форме равнобедренного треугольника высотой примерно два с половиной метра c боковыми сторонами длиной четыре метра и призматическое основание высотой четыре с половиной метра, шириной около шести метров и длиной почти восемь метров.

Подчеркнем, что в данном исследовании рассматривается только форма национальных жилищ с точки зрения соотношения площади поверхности и внутреннего обитаемого пространства. Cохранение тепла в доме зависит от многих факторов. Нас интересует, как сочетание геометрических параметров конструкций жилищ может помочь в решении этого вопроса.

Другие факторы в работе не рассматривались. Оказывается, в решении данной проблемы может помочь изопериметрическая проблема. Из нее следует, что существует числовой показатель соотношения площади поверхности объема геометрического тела, который называется изопериметрический коэффициент тела.

Применительно к данной ситуации он называется коэффициентом комфортности. Идеи различных геометрических форм архитекторы могут черпать у национальных жилищ.

Именно они сильно отличаются своими конструктивными особенностями. Таким образом, объектом исследования данной работы являются национальные жилища разных народов. Их разнообразная геометрическая форма представляет для нас интерес.

Видео:Площадь сферыСкачать

Формулы площади поверхности геометрических фигур

Видео:Площадь сферыСкачать

Применение формулы

Рассмотрим на примере, как вычислить площадь круглого шара, диаметр которого равен 50 см. Следуя формуле, нужно 50 разделить на два (чтобы получить радиус), возвести полученное число в квадрат и умножить всё это дело сначала на 4, затем на 3,14. В итоге получим число в 7 850 квадратных сантиметров.

Формула вычисления площади применяется не только среди учителей в школе и научных сотрудников в лаборатории. Данная формула может пригодиться обычному маляру. Ведь если шар большой, а краски мало, то возникает вопрос – хватит ли ему этой смеси, чтобы покрасить весь объект. И это далеко не единственный бытовой случай, где может пригодиться формула.

Формула вычисления объёма может пригодиться и строительной бригаде, что делает ремонт. И неважно, какой это объект – промышленное здание, небольшой дом или обычная квартира. Этим и отличаются профессионалы – они умеют применять свои знания на практике.

Но как быть, если не представляется возможным измерить объект? Такой вопрос может возникнуть в случае огромных размеров объекта или его недосягаемости. В этом случае могут помочь электронные технологии, в основе работы которых лежит сканирование пространства определёнными частотами и лазерами. С современными технологиями необязательно знать все формулы наизусть. Достаточно иметь подключение к интернету и зайти на любой онлайн-калькулятор.

Видео:1710. В.П. Минорский. Площадь сферы.Скачать

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

( x – x ₀) 2 + ( y – y ₀) 2 + ( z – z ₀) 2 = R 2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x ₀, y ₀, z ₀):
x = x ₀ + R · sin θ · cos φ y = y ₀ + R · sin θ · sin φ z = z ₀ + R · cos θ
где θ ϵ [0, π ], φ ϵ [0,2 π ].

Видео:11 класс, 23 урок, Площадь сферыСкачать

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

Видео:11 класс. Геометрия. Сфера и шар. Объем шара и площадь поверхности. 05.05.2020.Скачать

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс , у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс , у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента .

Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы .

Видео:Сфера. Площадь сферы | Геометрия 11 класс #20 | ИнфоурокСкачать

Трактовка значений

Это следует знать:

• Шар – геометрический объект, получившийся в результате вращательных полукруговых движений вокруг центра. Любая точка поверхности шара находится на одинаковом расстоянии от центра.
• Сфера – не то же самое, что шар. Если тот является объёмным объектом и включает в себя внутреннее пространство, то сфера – это лишь поверхность данного объекта и имеет только свою площадь. Иными словами – нельзя сказать, что сфера имеет такой-то объём, в отличие от шара.
• Число «пи» – это постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. В сокращённом виде его принято обозначать числом, равным 3,14. Но на самом деле, после тройки идёт больше тысячи цифр!
• Радиус шара равен ½ его диаметру. Точный диаметр можно вычислить с использованием нескольких плоских и ровных предметов. Нужно лишь зажать шар между этими предметами, которые зажимают шар и расположены перпендикулярно друг к другу, а затем измерить получившийся диаметр.
• Квадратная степень обозначается в виде двойки и означает то, что это число надо умножить на само себя один раз. Если бы степень числа была в виде тройки, то умножать на само себя нужно было бы два раза. Записав выражение на бумаге, можно понять, почему используются именно двойка и тройка, а не единица и двойка.
• Объём – величина, обозначающая размер в пространстве, занимающее объектом. От диаметра зависит объём шара. Формула будет равна четырём трети, умноженным на число «пи» и вновь умноженным на его радиус в кубе.
• Площадь – величина, обозначающая размер поверхности объекта, но не внутреннего пространства.

Видео:Площадь сферы внутри цилиндра. Поверхностный интегралСкачать

Введите радиус сферы:

Сфера – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

Площадь поверхности сферы формула:
S = 4 π R 2 , где R – радиус сферы, π – число пи

Видео:площадь сферыСкачать

Через диаметр

Как известно, диаметр шара равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:

S = 4 π (d/2) 2

Видео:Площадь сферыСкачать

Терминология и сферическая геометрия

Окружность на шаре, которая имеет тот же центр и радиус, что и сама фигура, а следовательно, делит её на две части, называется большим кругом. Если конкретную (произвольную) точку этого геометрического тела обозначить как его северный полюс, то соответствующая антиподальная точка будет южным полюсом. А большой круг станет экватором и будет равноудалённым от них. Если он будет проходить через два полюса, тогда это уже линии долготы (меридианы).

Круги на сфере, проходящие параллельно экватору, называются линиями широты. Все эти термины используются для приблизительно сфероидальных астрономических тел. Любая плоскость, которая включает в себя центр шара, делит его на два равных полушария (полусферы).

Многие теоремы из классической геометрии верны и для сферической, но отнюдь не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым аксиомам, например, постулату параллельности. Такая же ситуация складывается и в тригонометрии — отличия есть во многих отношениях. Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Помимо этого, две таких одинаковых фигуры будут конгруэнтными.

Видео:-i. Площадь сферыСкачать

Площадь сферы — формулы и примеры вычислений

Видео:Сфера. Урок 9. Геометрия 11 классСкачать

Важные измерения

Радиус (обозначается r) — единственное необходимое измерение. Это расстояние от любой точки на поверхности сферы до её центра. Самый длинный отрезок, равный двум r, называется диаметром (d). Земля называется сфероидом, потому что она очень близка к шару, но не идеально круглая. Она немного вытянута на северном и южном полюсах.

Впервые вычислить площадь (S) поверхности шара удалось Архимеду. Именно он установил, что для того, чтобы найти S любого трёхмерного объекта, необходимо измерить его радиус. Для сферы получилась следующая формула: S = 4 * π * r ². Для того чтобы понять, как это работает, следует рассмотреть пример. Известно, что радиус детского мяча 10 см. Остаётся ещё одна неизвестная — число π. Это математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру и равна примерно 3,14. Далее, следует подставить цифры в уравнение:

1. S = 4 * 3,14 * 10²;
2. S мяча равна ≈ 1256 см².

Таким образом, можно найти площадь сферы через её радиус по формуле, полученной ещё в античности. Ещё одна важная характеристика — это объём (V) фигуры. Он вычисляется следующим образом: V = (4/3) * π * r³. Если придерживаться условий задачи, то V мяча = (4/3) * 3,14 * 10³ равен ≈ 4187 см ³. Сейчас можно избежать длительных расчётов, если нужно узнать площадь сферы, онлайн-калькуляторы — сервисы, которые очень в этом помогают.

Сектор сферы — это слой между двумя правильными круговыми конусами, имеющими общую вершину в центре шара и общую ось.

Надо сказать, что внутренний конус может иметь основание с нулевым радиусом. Формула, по которой определяют площадь сектора, следующая: S = 2 * π * r * h, где h — высота. К слову, эта же формула применима, если необходимо найти S части шара, отрезанной плоскостью, то есть полусферы. Такая же формула применяется при нахождении S сегмента (часть между двумя параллельными плоскостями) и зоны сферы (изогнутая поверхность сферического сегмента).

Видео:Геометрия 11 класс: Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферыСкачать

Терминология и сферическая геометрия

Окружность на шаре, которая имеет тот же центр и радиус, что и сама фигура, а следовательно, делит её на две части, называется большим кругом. Если конкретную (произвольную) точку этого геометрического тела обозначить как его северный полюс, то соответствующая антиподальная точка будет южным полюсом. А большой круг станет экватором и будет равноудалённым от них. Если он будет проходить через два полюса, тогда это уже линии долготы (меридианы).

Круги на сфере, проходящие параллельно экватору, называются линиями широты. Все эти термины используются для приблизительно сфероидальных астрономических тел. Любая плоскость, которая включает в себя центр шара, делит его на два равных полушария (полусферы).

Многие теоремы из классической геометрии верны и для сферической, но отнюдь не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым аксиомам, например, постулату параллельности. Такая же ситуация складывается и в тригонометрии — отличия есть во многих отношениях. Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Помимо этого, две таких одинаковых фигуры будут конгруэнтными.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Одиннадцать свойств

В своей книге «Геометрия и воображение» Дэвид Гилберт и Стефан Кон-Фоссен описывают свойства сферы и обсуждают, однозначны ли такие характеристики. Несколько пунктов справедливы и для плоскости, которую можно представить как шар с бесконечным радиусом:

1. Точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной, называемой центром. Можно сделать единственный вывод: это обычное определение и оно однозначно. А также отношение расстояний между двумя фиксированными точками является постоянным. И здесь прослеживается аналогия с окружностями Аполлония, то есть с фигурами в плоскости.
2. Контуры и плоские участки сферы являются кругами. Это однозначное свойство, которое определяет шар.
3. Сфера имеет постоянную ширину и обхват. Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Множество других замкнутых выпуклых поверхностей имеют постоянную ширину, например, тело Мейснера. Обхват поверхности — это окружность границы её ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
4. Все точки сферы омбилические. В любой точке поверхности вектор нормали расположен под прямым углом к ней, поскольку шар — это линии, выходящие из его центра. Пересечение плоскости, которая содержит нормаль с поверхностью, сформирует кривую — нормальное сечение. Любая замкнутая поверхность будет иметь как минимум четыре точки, называемых омбилическими. Для сферы кривизны всех нормальных сечений одинаковы, поэтому омбилической будет каждая точка.
5. У шара нет центра поверхности. Например, два центра, соответствующие минимальной и максимальной секционной кривизне, называются фокальными точками, а совокупность всех таких точек образует одноимённую поверхность. И только у шара она преобразуется в единую точку.
6. Все геодезические сферы являются замкнутыми кривыми. Для этой фигуры они большие круги. Многие другие поверхности разделяют это свойство.
7. Имеет наименьшую площадь при наибольшем объёме. Это определяет шар однозначно. Например, мыльный пузырь: его окружает фиксированный объём, поверхностное натяжение минимизирует площадь его поверхности для такого объёма. Конечно, пузырь не будет идеальным шаром, поскольку внешние силы, такие как гравитация, будут искажать его форму.
8. Сфера — единственная вложенная поверхность, у которой нет границы или сингулярностей с постоянной положительной средней кривизной.
9. Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с заданной площадью поверхности.
10. Шар имеет постоянную гауссову кривизну. Это внутреннее свойство, которое определяется путём измерения длины и углов и не зависит от того, как поверхность встроена в пространство.

Сфера превращается в себя трёхпараметрическим семейством жёстких движений. Любое вращение вокруг линии, проходящей через начало координат, может быть выражено как комбинация вращений вокруг трёхкоординатной оси.

Видео:11 класс, 39 урок, Площадь сферы 2Скачать

О шаре и цилиндре

Так называлась работа, опубликованная античным математиком Архимедом. Она вышла в двух томах в 225 году до н. э. Он был первым, кто сделал полный и подробный трактат по основам вычисления площади поверхности сферы, объёма шара и аналогичных значений для таких элементов, как цилиндр. Результатами его деятельности пользуются до сих пор.

Архимед особенно гордился формулой объёма шара, где он доказал, что эта величина составляет две трети объёма описанного цилиндра. Он даже попросил сделать чертёж этих предметов на своей надгробной плите. Позже римский философ Цицерон обнаружил такую гробницу, к сожалению, сильно заросшую окружающей растительностью.

Аргумент, который Архимед использовал для доказательства формулы V шара, был довольно сложным и сильно вовлечён в его геометрию. Поэтому во многих современных учебниках используется упрощённая версия, основанная на концепции предела, которого, конечно, не было в античные времена. Великий математик создавал в сфере усечённый конус путём построения и вращения геометрических фигур, и только после этого он определил объём.

Сейчас кажется, что он специально выбирал такие оригинальные методы. Однако это был всего лишь лучший из тех, которые были ему доступны в греческой математике. Его основные работы были вновь открыты в XX веке. Например, Метод механических теорем, как он назывался в трактате автора.

📸 Видео

Сфера и шарСкачать

Шар и сфера. Отличия. Объем шара. Площадь поверхности сферы.Скачать

ШАР и СФЕРА егэ по геометрии 12 задание 11 классСкачать

Объём шара и площадь сферыСкачать

Площадь поверхности сферыСкачать