Конспект урока по геометрии для учащихся 11 класса.
Тема: « Сфера и шар. Решение задач ».
— образовательные: повторить изученный материал по данной теме, проверить знания, умения и навыки учащихся при решении задач;
— развивающие: развивать логическое мышление, пространственное воображение, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь;
— воспитательные: развивать личностные качества учащихся, такие как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.
— повторить понятия сферы и шара;
— повторить взаимное расположение сферы и плоскости;
— повторить формулу для вычисления площади сферы.
Тип урока: урок применения знания, навыков и умений.
Методы обучения: репродуктивный, индуктивно-эвристический.
Оборудование: учебник, тетрадь, ручка.
Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2001.
Поурочные разработки по геометрии 10-11 класс по учебнику Л.С. Атанасяна и др. Геометрия 10-11 кл. / Гаврилова Н.Ф. – М.: Просвещение, 2001.
Организационный момент (2 минуты).
Актуализация знаний (8 минут).
Решение задач (30 минут).
Подведение итогов урока (3 минуты).
Домашнее задание (2 минуты).
Организационный момент включает в себя приветствие учеников, проверку отсутствующих, запись учениками числа, классной работы и темы урока.
Учитель: На прошлом уроке мы с вами изучили понятие сферы, уравнение сферы, взаимное расположение сферы и плоскости и площадь сферы. Давайте вспомним, что называется сферой?
Ученик: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Учитель: Что называется диаметром сферы?
Ученик: Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.
Учитель: Что называется шаром?
Ученик: Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Учитель: Существует три случая расположения сферы на плоскости. Какие?
Ученик: 1) если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.
Учитель: Второй случай?
Ученик: 2) если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.
Учитель: И третий случай?
Ученик: 3) если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Учитель: Запишите формулу вычисления площади сферы.
(Один ученик выходит к доске и записывает формулу.)
Учитель: Сформулируйте теорему касательной, проведенной в точку.
Ученик: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Учитель: Сформулируйте обратную теорему.
Ученик: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Учитель: Запишите число, классная работа.
(Запись на доске и в тетрадях.)
Учитель: Переходим к решению задач. Открываем учебники на стр. 133 №576 (а)
(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)
(Запись на доске и в тетрадях.)
Ученик: Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если А(2; -4; 7), R=3.
Учитель: Запишите, какой вид имеет уравнение сферы, радиуса R с центром C (x 0 ,y 0 ,z 0 )?
(Запись на доске и в тетрадях.)
(x- x 0 ) 2 + (y — y 0 ) 2 + (z — z 0 ) 2 = R 2 ;
(x- 2) 2 + (y + 4) 2 + (z — 7) 2 = 3 2 ;
(x- 2) 2 + (y + 4) 2 + (z — 7) 2 = 9.
(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)
Ученик: Напишите уравнение сферы с центром А , проходящей через точку N , если А(-2; 2; 0), N(0; 0; 0).
(Запись на доске и в тетрадях.)
(x+2) 2 + (x — 2) 2 + (x — 0) 2 = R 2 ;
(x+2) 2 + (y — 2) 2 + z 2 = 8.
Учитель: Следующий №589 (а, б).
(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)
Ученик: Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен α . Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: а) R=2 см, α =30˚; б) R=5 м, α =45˚.
(Запись на доске и в тетрадях.)
Найти: С сечения = ?
Учитель: По какой формуле будем искать длину окружности?
(Запись на доске и в тетрадях.)
Учитель: Чему равен катет, лежащий против угла в 30˚?
Ученик: Катет, лежащий против угла в 30˚ равен половине гипотенузы.
(Запись на доске и в тетрадях.)
если гипотенуза АВ=2, то катет, лежащий против угла в 30˚ равен АВ, т. е ОО 1 =1;
Ученик: По теореме Пифагора находим r .
(Запись на доске и в тетрадях.)
r = ν 2 2 -1 2 = ;
С сечения = 2* π * = 2 π см.
Учитель: Пункт (б).
(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)
(Запись на доске и в тетрадях.)
Найти: С сечения = ?
Cos 45˚= ; r = * 5 = .
С сечения = 2* π * = 5 π м.
Учитель: Следующий №592.
(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)
Ученик: Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точке сферы.
(Запись на доске и в тетрадях.)
А – точка касания.
Учитель: Какую теорему мы знаем о радиусе сферы, проведенном в точку касания сферы?
Ученик: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)
Ученик: Найдите площадь сферы, радиус которой равен 2 см.
(Запись на доске и в тетрадях.)
Учитель: Запишите формулу площади сферы.
Ученик: S сферы = 4 π R 2
(Запись на доске и в тетрадях.)
Решение: S сферы = 4 π R 2 = 4 π (2 ) 2 =4 π *4*3 = 48 π см 2 .
Ответ: 48 π см 2 .
Учитель: Следующий №597.
(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)
Ученик: Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м.
(Запись на доске и в тетрадях.)
S поверхности сферы = 4 π r 2 .
Учитель: Чему равна площадь круга?
Ученик: S круга = π r 2 .
Учитель: Чему равна площадь поверхности сферы?
Ученик: S поверхности сферы = 4 π r 2 .
(Запись на доске и в тетрадях.)
Решение: S круга = π r 2 ; S поверхности сферы = 4 π r 2 ; r =5 см.
Учитель: Что нам дано по условию задачи?
Ученик: S круга = S поверхности сферы .
(Запись на доске и в тетрадях.)
S поверхности сферы = 100 π ;
R 2 = 100 π ; r = 10 см.
Учитель: Итак, на сегодняшнем уроке мы с вами продолжали изучать тему «Сфера». Давайте еще раз повторим, что называется сферой?
Ученик: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Учитель: Чему равна площадь сферы?
Ученик: S=4 π R 2 .
Учитель: Какое взаимное расположение имеют сфера и плоскость?
Ученик: Сфера и плоскость могут: 1) иметь одну общую точку; 2)не иметь общих точек; 3) могут пересекаться по окружности, т. е. сечение сферы и будет окружностью.
Образовательные: Познакомиться с формулой площади сферы и систематизировать материал по данной теме с последующим применение его для решения задач;
Развивающие: Создать условия для сотрудничества, сотворчества, провести диагностику уровня системы знаний и умений и ее применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень;
Воспитательные: Содействовать рациональной организации труда, развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, внимание, вырабатывать самооценку в выборе пути, критерий оценки своей работы и работы товарища, учить грамотной математической речи
Оборудование: компьютер, экран, инструменты, индивидуальная карточка-тест, карточки для каждой группы.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Формы работы: индивидуальная, работа в парах, фронтальная, самостоятельная.
Методы: словесный, наглядный, практический.
Структура урока
№
Этапы урока
Время
Актуализация знаний 1. Повторение
Определение сферы;
Уравнение сферы;
Взаимное расположение сферы и плоскости.
2. Выполнение тестовой работы.
Изучение нового материала
Закрепление изученного материала
Самостоятельная работа (обучающего характера), работа в группе
Подведение итогов урока. Выставление оценок Продолжи фразу…
Рефлексия «Маятник настроения»
Ход урока
Этапы урока Время
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Организационный момент 2 мин
Слайд 1 Здравствуйте, ребята и гости нашего урока!
«Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами» Г. Лессинг
Приветствие учителя Работа с листком достижений Приложение 1
Актуализация знаний 7-8 мин
Слайд 2
Какая тема объединяет модели фигур? Давайте вспомним какие тела вращения мы знаем? Ребята, мы посвятили много уроков изучению темы «Сфера». Предлагаю вспомнить чему мы научились?
Слайд 3-4 1. Повторение
Определение сферы;
Уравнение сферы;
Взаимное расположение сферы и плоскости.
Слайд 6-8. Слайд 11 2. Выполнение тестовой работы. Слайд 10, 11
— Конус, цилиндр, сфера, шар — Сфера Обобщение материала с использованием презентации Решают задачи 1 Слайд 5, 2 Слайд 9(Приложение 3) Работа в группе Выполняют работу, взаимопроверка. Обсуждаются спорные вопросы в парах. Приложение 2 Индивидуальная работа
Изучение нового материала 5 мин
Видеоурок Слайд 12-13
Знакомятся с материалом, конспект
Закрепление изученного материала 15 мин
Слайд 14 Работа с учебником. Проверка
Слайд 15
Работа в группе, решение с комментированием, проверка Выполнив задание учащиеся обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.
Самостоятельная работа (обучающего характера), индивидуальная работа 5 мин
Слайд 16, проверка — слайд 17
Сечение шара площадью S=16π см 2 находится на расстоянии 3 см от центра шара. Найдите площадь его поверхности.
(Приложение 4)решают самостоятельно.
Самопроверка.
Подведение итогов урока. Продолжи фразу… 2 мин
Выставление оценок. Закончите предложения и оцените работу товарища по парте. Слайд 18-19
Продолжают одну из фраз 1. А вы знаете, что сегодня на уроке я… 2. Больше всего мне понравилось… 3. Самым интересным сегодня на уроке было. 4. Самым сложным для меня сегодня было. 5. Сегодня на уроке я почувствовал. 6. Сегодня я понял. 7. Сегодня я научился. 8. Сегодня я задумался…
Домашние задание 2 мин
Слайд 20-21
Пп 60-62 читать, учить формулу; №593, 595 Для изучения практического применение сферы в жизни подготовить доклад по теме.
Запись в дневниках Пп 60-62 читать, учить формулу; №593, 595 Подготовить доклады о появлении камней в Коста-Рики: версии естественного и искусственного происхождения (по желанию).
Видео:11 класс. Геометрия. Сфера и шар. Объем шара и площадь поверхности. 05.05.2020.Скачать
Геометрия. 11 класс
Конспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок №8. Сфера и шар
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
что такое шар и его элементы;
уравнение сферы;
формула для нахождения площади поверхности сферы;
взаимное расположение сферы и плоскости;
теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.
Глоссарий по теме:
Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
– уравнение сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.
Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Основные теоретические факты
По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.
Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R
Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.
2. Уравнение сферы
Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.
Пусть сфера имеет центром точку С (x0; y0; z0) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:
МС=
Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:
.
Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).
3. Взаимное расположение сферы и плоскости
Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.
1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.
2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.
3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Рассмотрим случай касания более подробно.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Теорема (свойство касательной плоскости).
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Теорема (признак касательной плоскости):
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
4. Основные формулы
Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:
Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:
S=4πR 2 – площадь сферы.
S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.
– площадь поверхности сектора с высотой h.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.
Площадь круга вычисляется по формуле: Sкр=πR 2 .
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: Sсф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.
2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.
Площадь сферы равна Sсф=4πR 2 . То есть Sсф=100π.
По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.
3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15
Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.
Найдем ее радиус.
Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:
С другой стороны, S=p·r.
Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.
4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.
Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.
Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.
💡 Видео
Геометрия 11 класс: Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферыСкачать
– уравнение сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).
.
R. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.
R. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
– площадь поверхности сектора с высотой h.
![Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]](https://i.ytimg.com/vi/JsrRqLK8zKg/0.jpg)
