площадь сегмента сферы вывод формулы

Видео:Площадь сферыСкачать

Нахождение площади шарового сегмента

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности сегмента шара, а также разберем пример решения задачи для демонстрации их практического применения.

Видео:Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]Скачать

Определение сегмента шара

Сегмент шара (или шаровый сегмент) – это часть шара, отсеченная плоскостью. На чертеже ниже закрашен зеленым цветом.

• R – радиус шара;
• r – радиус основания сегмента;
• h – высота сегмента; это длина перпендикуляра от центра его основания (точка O₂) до точки на поверхности шара.

Связь между радиусом основания сегмента, его высотой и радиусом шара:

Видео:Площадь сферыСкачать

Формулы для нахождения площади сегмента шара

Площадь основания

Основанием шарового сегмента является круг, площадь (S) которого находится по стандартной формуле (в расчетах число π округляется до 3,14):

Примечание: если известен диаметр круга (d), чтобы найти радиус (r), нужно первое разделить на второе, то есть:

Площадь сферической поверхности

Чтобы найти площадь (S) сферической/внешней поверхности шарового сегмента, необходимо знать его высоту и радиус самого шара.

Площадь полной поверхности

Чтобы найти площадь (S) полной поверхности сегмента шара, необходимо сложить площади его основания и внешней поверхности.

Видео:11 класс, 37 урок, Объем шараСкачать

Пример задачи

Дан шар радиусом 6 см. Найдите полную площадь шарового сегмента, если известно, что его высота равняется 2,4 см, а радиус основания –

Решение

Воспользуемся формулами, приведенными выше, подставив в них известные по условиям задачи значения.

S_{сфер. пов.} = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 см⋅ 2,4 см =

S_полн. = S_осн. + S_{сфер. пов.} = 69,3626 см 2 + 90,432 см 2 =

Видео:11 класс, 38 урок, Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектораСкачать

Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Шар, сфера и их части

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Видео:Площадь эллипсоида + вывод формулы площади поверхности вращенияСкачать

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Видео:11 класс. Геометрия. Сфера и шар. Объем шара и площадь поверхности. 05.05.2020.Скачать

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

где
r – радиус сферы.

где
r – радиус шара.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r₁ и r₂ !

Фигура	Рисунок	Формула	Описание
Сфера		Площадь сферы
Шар		Объем шара
Сферический пояс		Площадь сферического пояса
Шаровой слой		Объем шарового слоя
Сферический сегмент		Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент		Объем шарового сегмента
Шаровой сектор		Объем шарового сектора

Сфера

где
r – радиус сферы.

где
r – радиус шара.

Площадь сферического пояса:

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r₁ и r₂ !

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы

Формула. Объём шара:

S = 4 π R 2 = π D 2

Видео:Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора | Геометрия 11 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

( x — x ₀) 2 + ( y — y ₀) 2 + ( z — z ₀) 2 = R 2

Видео:Площадь круга. Вывод формулы.Скачать

Основные свойства сферы и шара

Видео:11 класс, 19 урок, Сфера и шарСкачать

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m r такого круга можно найти по формуле:

где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Видео:-i. Площадь сферыСкачать

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = π R(2 h + √ 2 h R — h 2 )

Формула. Объём сектора V с высотой O₁H (h) через радиус шара OH (R):

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🎦 Видео

Геометрия 11 класс: Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферыСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Объем шараСкачать

Площадь круга через интегралСкачать

Архимед и объём шараСкачать

площадь сферыСкачать

Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной #050 | Борис Трушин |Скачать