площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной (2 видео)

Содержание

Сечения конуса плоскостями, перпендикулярными к оси конуса, и плоскостями, проходящими через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса
Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной
Площадь сечения конуса
💡 Видео

Видео:Усеченный конус. 11 класс.Скачать

Сечения конуса плоскостями, перпендикулярными к оси конуса, и плоскостями, проходящими через вершину конуса

Сечения конуса. Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса

Видео:Построение линии пересечения поверхности конуса с проецирующей плоскостьюСкачать

Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса

Определение. Сечением конуса называют пересечение конуса с плоскостью.

Решим следующую задачу.

Задача 1. Дан конус с вершиной в точке S , осью SO , радиусом основания r и высотой h . Рассмотрим сечение этого конуса плоскостью α , перпендикулярной к оси конуса и пересекающей ось конуса в точке O₁ . Известно, что длина отрезка SO₁ равна h₁ (h₁ .

Найти площадь сечения конуса.

Решение. Сечением конуса будет круг с центром O₁ , радиус которого обозначим символом r₁ (рис. 1).

Выберем какую-нибудь образующую конуса SA и обозначим символом A₁ точку пересечения отрезка SA с плоскостью α . Отрезок SA₁ будет образующей конуса с вершиной в точке S , осью SO₁ , радиусом основания r₁ и высотой h₁ . Из подобия прямоугольных треугольников SOA₁ и SOA можно вычислить неизвестный радиус r₁ :

Ответ:

Видео:2 6 1 сечение конуса плоскостьюСкачать

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса

Задача 2. Дан конус с вершиной в точке S, осью SO , радиусом основания r и высотой h. Рассмотрим сечение этого конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и пересекающей окружность основания конуса в точках A и B .

Найти площадь сечения конуса, если известно, угол между прямой SO и плоскостью сечения SAB равен φ.

Решение. Обозначим буквой С середину отрезка AB (рис. 2).

Таким образом, прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым OC и SC , лежащим на плоскости SOC . В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости отсюда вытекает, что прямая AB перпендикулярна к плоскости SOC .

Обозначим буквой D основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую SC (рис. 3).

Поскольку прямая AB перпендикулярна к плоскости SOC , то прямая AB перпендикулярна и к прямой OD . Таким образом, прямая OD перпендикулярна двум пересекающимся прямым SC (по построению) и AB , лежащим на плоскости ASB . В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости отсюда вытекает, что прямая AB перпендикулярна к плоскости ASB . Следовательно, SD – то проекция отрезка OS на плоскость ASB , то есть угол DSO равен φ .

Из прямоугольного треугольника SOC находим длину гипотенузы SC и катета OC :

Теперь найдем площадь треугольника ASB :

Ответ.

Видео:№555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конусаСкачать

Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной

Так как все образующие конуса равны, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса, а основанием — диаметр конуса. При этом все осевые сечения конуса — равные равнобедренные треугольники . На рисунке 168 осевым сечением конуса является треугольник ABP ( АР = ВР ). Угол АPВ называют углом при вершине осевого сечения конуса .

Конус, в осевом сечении которого правильный треугольник, называется равносторонним конусом.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, пересекает конус, но не проходит через его ось, то в сечении конуса также получается равнобедренный треугольник (см. рис. 168: △ DCP ).

Так как конус — тело вращения, то любое сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси (т. е. параллельной основанию конуса), есть круг, а сечение боковой поверхности конуса такой плоскостью — окружность этого круга; центром круга (окружности) является точка пересечения оси конуса и секущей плоскости (рис. 169).

Если секущая плоскость не параллельна плоскости основания конуса и не пересекает основание, то сечением боковой поверхности конуса такой плоскостью является эллипс (рис. 170). Поэтому эллипс называют коническим сечением .

Если сечением цилиндрической поверхности плоскостью может быть либо окружность, либо эллипс, либо две параллельные прямые, то сечением конической поверхности плоскостью может быть либо окружность (секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности вращения и не проходит через её вершину, рис. 171, a ), либо эллипс (секущая плоскость не перпендикулярна оси конической поверхности и пересекает все её образующие, рис. 171, б ), либо парабола (секущая плоскость параллельна только одной образующей конической поверхности, рис. 171, в ), либо гипербола (секущая плоскость параллельна оси конической поверхности, рис. 171, г ), либо пара пересекающихся прямых (секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, рис. 171, д ). Поэтому невырожденные кривые второго порядка — окружность, эллипс, параболу и гиперболу называют коническими сечениями или коротко — кониками .

О конических сечениях можно прочитать в очерках «Элементарная геометрия», «Проективная геометрия» в конце этой книги.

 ЗАДАЧА (3.047). Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу: а) в 60 ° ; б) в 90 ° . Найти площадь сечения.

Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть плоскость α пересекает поверхность конуса с вершиной Р по образующим РА и РВ (рис. 172); △ АВР — искомое сечение. Найдём площадь этого сечения.

Хорда АВ окружности основания стягивает дугу в 60 ° , значит, △ AOB — правильный и АВ = R .

Если точка С — середина стороны АB, то отрезок PC — высота треугольника АВР. Поэтому S △ ABP = АВ • РC. Имеем: ОР = R (по условию); в △ A OB : ОС = ; в △ ОСР : CP = = .

Тогда S △ ABP = АВ • РС = .

Ответ: а) .

18.3. Касательная плоскость к конусу

Определение. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярно осевому сечению, проведённому через эту образующую.

Говорят, что плоскость α касается конуса по образующей РА (рис. 173): каждая точка образующей РА является точкой касания плоскости α и данного конуса.

Через любую точку боковой поверхности конуса проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности конуса можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному конусу в этой точке.

18.4. Изображение конуса

Для изображения конуса достаточно построить: 1) эллипс, изображающий окружность основания конуса (рис. 174); 2) центр О этого эллипса; 3) отрезок ОР, изображающий высоту конуса; 4) касательные прямые РА и PB из точки Р к эллипсу (их проводят с помощью линейки на глаз).

Для достижения наглядности изображения невидимые линии изображают штрихами.

Необходимо заметить, что отрезок АВ, соединяющий точки касания образующих и окружности основания конуса, ни в коем случае не является диаметром основания конуса, т. е. этот отрезок не содержит центра О эллипса. Следовательно, △ АBP — не осевое сечение конуса. Осевым сечением конуса является △ ACP, где отрезок AC проходит через точку О, но образующая PC не является касательной к окружности основания.

18.5. Развёртка и площадь поверхности конуса

Пусть l — длина образующей, R — радиус основания конуса с вершиной Р .

Поверхность конуса состоит из боковой поверхности конуса и его основания. Если эту поверхность разрезать по одной из образующих, например по образующей PA (рис. 175), и по окружности основания, затем боковую поверхность конуса развернуть на плоскости (рис. 176, a ), то получим развёртку поверхности конуса (рис. 176, б ), состоящую из: а) кругового сектора, радиус которого равен образующей l конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса; б) круга, радиус которого равен радиусу R основания конуса. Угол сектора развёртки боковой поверхности конуса называют углом развёртки конуса ; его численная величина равна отношению длины окружности основания конуса к его образующей (радиусу сектора развёртки):

α = .

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через длину l его образующей и радиус R основания.

Площадь боковой поверхности — площадь кругового сектора радиуса длины l — вычисляется по формуле

S бок = α • l 2 , (1)

где α — величина угла (в радианах) сектора — развёртки. Учитывая, что α = , получаем:

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 27. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. ▼

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его боковой поверхности и основания, т. е.

S кон = π Rl + π R 2 . (3)

Следствие. Пусть конус образован вращением пря м оугольного треугольника ABC вокруг катета АС (рис. 177). Тогда S бок = π • BC • АВ. Если D — середина отрезка АВ, то AB = 2 AD, поэтому

S бок = 2 π ВС • AD. (4)

Проведём DE ⟂ АB ( E ∈ l = AС ) . Из подобия прямоугольных треугольников ADE и ACB (у них общий угол А ) имеем

= ⇒ BC • AD = DE • АС. (5)

Тогда соотношение (4) принимает вид

S бок = (2 π • DE ) • AC, (6)

т. е. площадь боковой поверхности конуса равна произведению высоты конуса на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведённого из точки на оси конуса к его образующей.

Это следствие будет использовано в п. 19.7.

18.6. Свойства параллельных сечений конуса

Теоремa 28. Если конус пересечён плоскостью, параллельной основанию, то: 1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается круг; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательств о. 1) Пусть конус с вершиной Р и основанием F пересечён плоскостью α , параллельной плоскости β основания конуса и расположенной между Р и β (рис. 178).

Проведём высоту РО конуса, где точка О — центр круга F. Так как РО ⟂ β , α || β , то α ⟂ РО. Значит, в сечении конуса плоскостью α получается круг с центром в точке O 1 = α ∩ РО. Обозначим этот круг F 1 .

Рассмотрим гомотетию с центром P, при которой плоскость β основания данного конуса отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия отображает основание F конуса на его параллельное сечение — круг F 1 , при этом центр О основания отображается на центр О 1 круга F 1 (почему?). Кроме того, если РХ — произвольная образующая конуса, где Х — точка окружности основания, то при гомотетии точка X отображается на точку X 1 = РX ∩ α . Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

= = k, (*)

где k — коэффициент гомотетии , т. е. параллельное сечение конуса делит его образующие и высоту на пропорциональные части.

А поскольку гомотетия является подобием, то круг F 1 , являющийся параллельным сечением конуса, подобен его основанию.

Вследствие того что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии и k = PO 1 : Р О , где РO 1 и PO — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

S сечен : S основ = k 2 = : PO 2 .

18.7. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды

Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если у них вершина общая, а основание пирамиды вписано в основание конуса. В этом случае конус называется описанным около пирамиды.

Для построения изображения правильной пирамиды, вписанной в конус:

— строят изображение основания пирамиды — правильного многоугольника, вписанного в основание конуса;

— соединяют отрезками прямых вершину конуса с вершинами построенного многоугольника;

— выделяют видимые и невидимые (штрихами) линии изображаемых фигур.

На рисунках 179—182 изображена вписанная в конус пирамида, в основаниях которой лежит:

— прямоугольный треугольник (см. рис. 179);

Видео:Инженерная графика. Сечение конуса плоскостью, параллельной его оси.Скачать

Площадь сечения конуса

Площадь сечения конуса. Для вас представлена очередная статья с конусами. На момент написания этой статьи на блоге решены все примеры (прототипы) заданий с конусами, которые возможны на экзамене. Процесс решения несложен (1-2 действия), при определённой практике решаются устно. Нужно знать понятие образующей, об этом информация в этой статье . Так же необходимо понимать как образуются сечения конуса.

1. Если плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.

*Если плоскость проходит через ось конуса, то сечением является равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса, а основание на которое опущена эта высота равна диаметру основания конуса.

2. Если плоскость проходит перпендикулярно оси конуса, то сечением является круг.

Особенностью данных заданий является то, что применяется формула площади треугольника, здесь она первая . Формулы периодически повторяйте. Рассмотрим задачи:

324453. Площадь основания конуса равна 16Пи, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевым сечением конуса является треугольник с основанием равным диаметру основания конуса и высотой равной высоте конуса. Обозначим диаметр как D, высоту как Н, запишем формулу площади треугольника:

Высота известна, вычислим диаметр. Используем формулу площади круга:

Значит диаметр будет равен 8. Вычисляем площадь сечения:

324454. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечением является круг. Необходимо найти площадь этого круга.

Построим осевое сечение:

Рассмотрим треугольники AKL и AOC – они подобны. Известно, что в подобных фигурах отношения соответствующих элементов равны. Мы рассмотрим отношения высот и катетов (радиусов):

OC это радиус основания, его можно найти:

Теперь можем вычислить площадь сечения:

*Это алгебраический способ вычисления без использования свойства подобных тел, касающегося их площади. Можно было рассудить так:

Два конуса (исходный и отсечённый) подобны, значит пощади их оснований являются подобными фигурами. Для площадей подобных фигур существует зависимость: