С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти высоту ромба по известным элементам. Для нахождения высоты ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
- 1. Высота ромба через сторону и площадь
- 2. Высота ромба через сторону и угол
- 3. Высота ромба через диагонали
- 4. Высота ромба через угол и противолежащую диагональ
- 5. Высота ромба через угол и диагональ из данного угла
- 6. Высота ромба через радиус вписанной в ромб окружности
- Решение №1595 Сторона ромба равна 6, а один из углов этого ромба равен 150°.
- Как рассчитать площадь ромба
- Через сторону и высоту
- Через диагонали
- Через сторону и угол
- Через угол и диагональ из этого угла
- Через угол и противолежащию диагональ
- Через угол и радиус вписанной окружности
1. Высота ромба через сторону и площадь
Пусть задан ромб (Рис.1).
 |
Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:
| (small S=a cdot h.) |
Откуда легко вывести формулу высоты ромба через сторону и площадь:
| (small h=frac.) |
2. Высота ромба через сторону и угол
Рассмотрим ромб со стороной a и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол.
 |
Проведем высоту AH. Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:
| (small frac=frac.) | (1) |
Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:
| (small h=a cdot sin alpha.) | (2) |
Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого угла. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: (small angle C=180°-alpha.) Следовательно (small sin angle C=sin(180°-alpha)=sin alpha.) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.
3. Высота ромба через диагонали
Выведем формулу вычисления высоты ромба через диагонали. Плошадь ромба через диагонали вычисляется формулой (см. статью Площадь ромба):
| (small S= frac,) | (3) |
а через сторону и высоту, формулой
| (small S= a cdot h.) | (4) |
Из формул (3) и (4) следует:
| (small frac=a cdot h.) | (5) |
Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).
 |
Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:
| (small a^2= left( frac right)^2+left( frac right)^2.) | (6) |
| (small a= frac<sqrt> ) | (7) |
Подставим (7) в (5) и найдем h:
| (small frac=frac<sqrt> cdot h,) |
| (small h= frac <sqrt>.) | (8) |
4. Высота ромба через угол и противолежащую диагональ
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления высоты ромба.
 |
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
| (small frac=frac<large frac><large sin frac>.) |
| (small a=frac<large 2 cdot sin frac>.) | (9) |
С другой стороны (см. параграф 2):
| (small h=a cdot sin alpha.) | (10) |
Подставим (9) в (10):
| (small h=frac<large 2 cdot sin frac>.) | (11) |
Применяя формулу двойного угла для (small sin alpha, ) имеем: (small sin alpha=2 cdot sin frac cdot cos frac . ) Подставляя это равенство в формулу (11), получим формулу высоты ромба через угол и противолежащую диагональ:
| (small h=d cdot cos frac.) | (12) |
5. Высота ромба через угол и диагональ из данного угла
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.
 |
Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:
| (small frac =cos angle ABO.) | (13) |
Учитывая, что ( small BO=frac) и ( small angle ABO=frac), формулу (13) можно записать так:
| (small frac< large frac >= cos frac .) |
| (small a=frac<large 2 cdot cos large frac>.) | (14) |
Подставим (14) в (2):
| (small h= frac<large 2 cdot cos frac> .) |
или, учитывая что (small sin alpha=2 cdot sin frac cdot cos frac , ) получим:
| (small h= d cdot sin frac.) | (15) |
6. Высота ромба через радиус вписанной в ромб окружности
Покажем, что высота ромба через радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
| ( small h=2cdot r.) |
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и высоту вычисляется формулой
| (small S= a cdot h.) | (16) |
а площадь ромба через сторону и радиус вписанной окружности − формулой:
Решение №1595 Сторона ромба равна 6, а один из углов этого ромба равен 150°.
Сторона ромба равна 6, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите площадь этого ромба.
Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.
Построим высоту ромба:
Сумма соседних углов ромба равна 180°, если тупой угол равен 150°, тогда острый:
180 – 150 = 30°
В прямоугольном треугольнике с углом в 30°, катет лежащий напротив этого угла равен половине гипотенузы. Данный катет также является высотой и равен:
6/2 = 3
Площадь ромба как параллелограмма находится по формуле:
S◊ = a · h = 6·3 = 18
Как рассчитать площадь ромба
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь ромба онлайн. Для расчета задайте длину основания, высоту или длины диагоналей и угол между ними.
Ромб – четырёхугольник, у которого все стороны равны между собой. Ромб является частным случаем параллелограмма. Ромб с прямыми углами называется квадратом.
Через сторону и высоту
Формула для нахождения площади ромба через сторону и высоту:
Через диагонали
Формула для нахождения площади ромба через диагонали:
Через сторону и угол
Формула для нахождения площади ромба через сторону и угол:
Через угол и диагональ из этого угла
Формула для нахождения площади ромба через угол и диагональ выходящая из этого угла:
Через угол и противолежащию диагональ
Формула для нахождения площади ромба через угол и диагональ противолежащая углу:
Через угол и радиус вписанной окружности
Формула для нахождения площади ромба через угол и радиус вписанной окружности: