площадь правильной восьмиугольной призмы

Формулы призма

Для расчёта всех основных параметров призма воспользуйтесь калькулятором.

Виды призм

• Прямая призма — это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.

• Наклонная призма — это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.

• Правильная призма — это призма, в которой основания являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.

• Усечённая призма — это призма, в которой основания не параллельны друг другу. Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Основные свойства призмы

• Основание призмы — равные многоугольники
• Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
• Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
• Боковые грани призмы — параллелограммы
• Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
• В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Площадь основания правильной призмы

$$ S_ = $$

Где:	N – количество сторон у основания пирамиды

Формулы объёма призмы

Объём призмы через площадь основания (S_ОСН) и высоту (h):

Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения (S_П) и длину бокового ребра (b):

Объём правильной прямой призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

$$ V = * h * a * ctg() $$

Где:	N – количество сторон у основания пирамиды
h – высота призмы
a – длина стороны основания призмы

Формулы площади поверхности правильной призмы

Площадь боковой поверхности призмы через периметр (P) основания и высоту (h)

Площадь поверхности призмы через площадь основания (S_ОСН), периметр основания (P) и высоту (h):

Площадь поверхности правильной призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

<table data-id="97" data-view-id="97_79105" data-title="Площадь правильной треугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснование

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«> боковая поверхностьполная

<td data-cell-id="B4" data-x="1" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«>

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

<table data-id="98" data-view-id="98_52245" data-title="Площадь правильной четырехугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснованиебоковая поверхностьполная

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

<table data-id="99" data-view-id="99_96678" data-title="Площадь правильной шестиугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснование

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«> боковая поверхностьполная

<td data-cell-id="B4" data-x="1" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«>

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см 2 . Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

Площадь поверхности правильной призмы: нахождение диагоналей

Сегодня мы рассмотрим как найти площадь поверхности правильной призмы с примерами и формулами.

Одним из важных многогранников, свойства которого подробно изучают в стереометрии, является призма. В статье рассмотрим эту фигуру, раскрывая подробнее вопрос, что это — правильная призма. Также приведем формулы, позволяющие вычислить ее объем и площадь.

Фигура призма

Призма — это геометрическая фигура, которая состоит из n + 2 граней, где n — количество сторон плоского многоугольника. Две грани призмы являются абсолютно одинаковыми многоугольниками. Они расположены в параллельных плоскостях и называются основаниями. Стороны оснований соединяются между собой параллелограммами. Этих параллелограммов n штук, все они образуют боковую поверхность пространственной фигуры.

Помимо граней, призма имеет вершины (2 × n) и ребра (3 × n). Вершины все являются однотипными, а вот ребра бывают двух видов: относящиеся к основаниям и к боковым сторонам.

Любую призму можно получить, если параллельно самому себе перенести многоугольник из одной плоскости в другую в пространстве. Ниже показан пример шестиугольной призмы, имеющей два шестиугольных правильных основания. Как можно видеть из рисунка, ее боковая поверхность образована шестью прямоугольниками (частный случай параллелограммов). Такая фигура является правильной призмой. Рассмотрим подробнее ее в статье.

Что это — правильная призма?

Существует несколько разных классификаций призм. Так, бывают фигуры прямые или наклонные, выпуклые и вогнутые, пятиугольные и десятиугольные, но самая симметричная среди всех изучаемых фигур — это правильная призма. Под ней полагают такую фигуру, которая имеет правильное основание и является прямой. Разберем по порядку каждый пункт этого определения.

Под правильным основанием призмы понимают многоугольник, который имеет все одинаковые стороны и все одинаковые углы. Самым простым из таких многоугольников является треугольник равносторонний, углы которого равны 60 o . Далее, увеличивая количество сторон, получаем квадрат, правильные пятиугольник и шестиугольник и так далее.

Как было сказано в определении, правильная призма — прямая призма. Призмой прямой называется такая фигура, у которой все боковые параллелограммы представляют собой прямоугольники. Более того, эти прямоугольники перпендикулярны основаниям. Последний факт приводит к тому, что длина бокового ребра любого из прямоугольников оказывается равной высоте фигуры. На рисунке ниже показан набор призм правильных (начиная от треугольной и заканчивая восьмиугольной).

Линейные параметры фигуры

Разобравшись, что это — правильная призма, дадим характеристику параметрам, которые используются для ее описания. В первую очередь это длина стороны ее основания a и высота h. Как было отмечено, высота равна длине бокового ребра b.

Помимо этих величин, также призмы характеризуются диагоналями. Диагонали бывают трех типов: лежащие в основаниях, на боковых сторонах и внутри самой фигуры. Расчет длин диагоналей предполагает использование теоремы Пифагора. Например, для правильной четырехугольной призмы объемные диагонали равны:

Диагонали же основания d₂ и боковых прямоугольников d₃ составляют:

Заметим, что формула для диагоналей d₃ будет одинаковой для любых многоугольных правильных призм. Что касается вычисления диагоналей d₁ и d₂ для других призм (пятиугольной, шестиугольной и так далее), то для этого следует проводить последовательные геометрические расчеты с учетом свойств соответствующих правильных многоугольников.

Вычисление площади и объема

Площадь поверхности изучаемой фигуры представляет собой сумму площадей двух n-угольников и n прямоугольников. Площадь одного n-угольного основания можно рассчитать по следующей формуле:

Если обозначить буквой b боковое ребро, правильной призмы площадь боковой поверхности составит:

Тогда суммарная площадь будет равна:

S = n / 2 × ctg (pi / n) × a 2 + n × a × b.

Первое слагаемое в выражении — это площадь сразу двух оснований.

Объем призмы произвольного вида вычисляется так:

То есть достаточно умножить высоту h на основания площадь S_o, чтобы вычислить искомую величину. Поскольку мы знаем как рассчитывать площадь основания, то, подставляя соответствующую формулу в выражение для V, приходим к следующему результату:

V = n / 4 × ctg (pi / n) × × a 2 × h.

Отметим, что для вычисления площади и объема изучаемого вида призм достаточно знать лишь два их линейных параметра.

Задача с призмой треугольной

Известно, что высота основания правильной треугольной призмы равна высоте объемной фигуры и составляет 11 см. Необходимо найти для этой призмы объем и площадь полной поверхности.

Из условия задачи нам известны два параметра, поэтому любые свойства фигуры можно однозначно рассчитать. Чтобы найти длину стороны треугольного основания, следует вспомнить свойства равностороннего треугольника. В частности, его высота одновременно является также биссектрисой. Это позволяет воспользоваться определением функции косинуса, чтобы длину высоты основания h_a записать в следующем виде:

Откуда вычисляем a:

Поскольку a и h известны, то можно воспользоваться формулами для площади и объема:

S = n / 2 × ctg (pi / n) × a 2 + n × a × b = √3 / 2 × 12,7 2 + 3 × 12,7 × 11 = 558,78 см 2 ;

V = n / 4 × ctg (pi / n) × a 2 × h = √3/4 × 12,7 2 × 11 = 768,25 см 3 .

При использовании формулы S мы применили свойство равенства высоты и ребра бокового для правильной призмы.

Выводы

Чтобы найти площадь поверхности правильной призмы необходимо пользоваться формулами и примерами представленными в данной статье.

📺 Видео