площадь поверзности правильной треугольной пирамиды

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

Видео:Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамидыСкачать

Площадь поверхности правильной пирамиды

На странице вы найдете онлайн-калькуляторы для нахождения площади полной и боковой поверхности правильной пирамиды. Кроме того приводятся формулы, по которым вы можете произвести расчет самостоятельно.

Пирамида — многогранник, одна из граней которого (основание) представляет собой произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые грани) — это треугольники, имеющие общую вершину.

Апофема — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания.

Видео:🙂 Площадь поверхности правильной пирамидыСкачать

Формула площади правильной треугольной пирамиды и пример решения задачи

Пирамида является совершенной геометрической фигурой, форму которой можно встретить в некоторых предметах из нашей жизни, например, в магических амулетах. В данной статье рассмотрим, как найти площадь правильной треугольной пирамиды и приведем соответствующую формулу.

Видео:Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамидыСкачать

Треугольная пирамида или тетраэдр

В геометрии пирамидой называют такой геометрический объект, который состоит из n треугольников и одного n-угольника. Все треугольники пересекаются в точке, которая называется вершиной фигуры, а n-угольник является ее основанием. Не сложно догадаться, что название пирамиды определяется числом сторон n-угольника.

В соответствии с темой данной статьи, мы рассмотрим треугольную пирамиду. Ее n-угольным основанием является также треугольник. Поэтому такая пирамида состоит из 4 треугольных граней, каждую из которых можно рассматривать в качестве основания. У треугольной пирамиды 4 равноправных вершины и 6 ребер. Поскольку число сторон фигуры равно 4, то ее также называют тетраэдром. Для наглядности приведем изображение треугольной пирамиды:

На рисунке показан вид сверху на фигуру.

Видео:Правильная треугольная пирамида.Скачать

Правильная пирамида с треугольным основанием и ее развертка

В общем случае треугольником в основании может быть фигура произвольной формы. Однако если этим треугольником является равносторонняя фигура, и перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, пересекает треугольник в его центре, тогда речь ведут о правильной пирамиде.

Правильная треугольная пирамида состоит из равностороннего треугольника, сторону которого обозначим буквой a, и трех равнобедренных треугольников, которые друг другу равны. При определенном соотношении высоты фигуры h и длины a равнобедренные треугольники могут стать равносторонними, тогда все четыре грани пирамиды будут равны между собой.

Для определения площади рассматриваемой фигуры проще всего выполнить ее развертку на плоскость. Рисунок ниже показывает, что представляет собой эта развертка.

Здесь показаны четыре треугольника, из которых равносторонний является основанием пирамиды, а три равнобедренных фигуры составляют ее боковую поверхность. Сумма площадей всех треугольников образует площадь правильной треугольной пирамиды.

Видео:2.107. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в 3 раза больше площади основания. ПлощадСкачать

Формула площади

Из курса планиметрии каждый школьник знает, как найти площадь треугольника. Для этого следует произвести такие вычисления:

Здесь a — основание треугольника, h_a — его высота (индекс a введен, чтобы отличать эту величину от высоты пирамиды h).

В случае равностороннего треугольника его высота равна:

Тогда формула основания площади правильной треугольной пирамиды приобретает вид:

То есть для определения площади основания достаточно знать только длину его стороны.

Чтобы определить площадь боковой поверхности S_b, введем понятие апофемы пирамиды. Апофемой называют высоту любого из боковых треугольников, которая опущена из вершины пирамиды на сторону основания. Все апофемы в правильной пирамиде равны друг другу. Обозначим их длины символом h_b. Поскольку рассматриваемая пирамида состоит из трех боковых сторон, то площадь S_b вычисляется по формуле:

Остается сделать последний шаг, чтобы записать формулу площади правильной треугольной пирамиды:

Заметим, что площадь поверхности рассматриваемой геометрической фигуры определяется однозначно, если знать два линейных ее параметра (a и h_b).

Видео:Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 10. РЕШЕНИЕ!Скачать

Решение задачи

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 10 см. Высота же самой фигуры в два раза больше длины стороны основания. Чему равна площадь поверхности этой пирамиды?

Поскольку нам известно значение высоты основания и отношение между высотой фигуры с стороной равностороннего треугольника, то этой информации достаточно, чтобы ответить на вопрос задачи. В первую очередь определим сторону a и значение высота h, имеем:

a = 2 * h_a / √3 = 11,547 см;

В параграфе выше была приведена формула для S, однако ей воспользоваться на данном этапе задачи мы не можем, поскольку мы не знаем апофему h_b. Последнюю несложно вычислить, если увидеть, что она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого будут высота h и 1/3 высоты основания. Учитывая сказанное, получаем:

Заметим, что значение h_b немного больше, чем высота h фигуры.

Мы нашли все параметры, которые стоят в формуле для S, теперь можно вычислить искомую площадь:

S = √3/4 * a 2 + 3/2 * a * h_b = √3/4 * 11,547 2 + 3/2 * 11,547 * 23,333 = 409,14 см 2 .

Формула для S записана в таком виде, что позволяет отдельно определить площадь основания и боковой поверхности.

🔥 Видео

Площадь поверхности пирамиды | Геометрия 11 классСкачать

Площадь полной поверхности правильной пирамидыСкачать

№257. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основанияСкачать

Пирамида. 11 класс.Скачать

Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

10 класс, 32 урок, ПирамидаСкачать

Найти высоту боковой грани в правильной треугольной пирамидеСкачать

Найти объем правильной треугольной пирамидыСкачать

Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

🔴 Стороны основания правильной шестиугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды. #shortsСкачать

№264. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ееСкачать