- Геометрические приложения определенного интеграла
- Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла
- Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости
- Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости
- Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара
- Вывод формулы для площади сферы
- Формулы площади поверхности геометрических фигур
- Применение формулы
- Уравнение сферы
- Площадь прямоугольного параллелепипеда
- Шар, сфера и их части
- Трактовка значений
- Введите радиус сферы:
- Через диаметр
- Терминология и сферическая геометрия
- Нахождение площади поверхности шара (сферы): формула и задачи
- Формула вычисления площади шара/сферы
- 1. Через радиус
- 2. Через диаметр
- Примеры задач
- 🎥 Видео
Видео:Площадь сферыСкачать
Геометрические приложения определенного интеграла
 Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла |
| Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости |
| Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости |
| Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара |
| Вывод формулы для площади сферы |
Видео:Площадь сферыСкачать
Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла
В данном разделе справочника приведена таблица, содержащая формулы, с помощью которых можно вычислить:
Площади криволинейных трапеций различного вида (площади фигур, ограниченных графиками функций);
Длины дуг кривых на плоскости;
Объемы тел, если известны площади их поперечных сечений;
Объемы тел, полученных при вращении криволинейных трапеций вокруг оси абсцисс Ox ;
Площади поверхностей тел, полученных при вращении графиков функций вокруг оси абсцисс Ox .
| Рисунок | Формула | Описание | |||||||
 |  | ||||||||
 |  | ||||||||
 |  | ||||||||
 |  | ||||||||
 |  | ||||||||
 |  |
,![Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]](https://i.ytimg.com/vi/JsrRqLK8zKg/0.jpg)
.
.
, 8 .
 | (1) |
Подставим найденную производную в формулу (1), а затем вычислим полученные интегралы при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона — Лейбница:
Ответ . 
Видео:Площадь эллипсоида + вывод формулы площади поверхности вращенияСкачать
Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара
Решение . Рассмотрим произвольную n — угольную пирамиду BA1A2 . An с вершиной B, высота BK которой равна H, а площадь основания A1A2 . An равна S. Обозначим через S (x) площадь сечения 
этой пирамиды плоскостью, параллельной параллельной основанию пирамиды и находящейся на расстоянии расстоянии x от вершины пирамиды B (рис. 4).
Поскольку многоугольники и A1A2 . An подобны с коэффициентом подобия 
, то площади этих многоугольников удовлетворяют равенству
 | (2) |
Рассмотрим теперь в пространстве систему координат Oxyz и расположим нашу пирамиду BA1A2 . An так, чтобы ее вершина B совпала с началом координат O, а высота пирамиды BK оказалась лежащей на оси Ox (рис. 5).
Тогда сечение пирамиды и будет поперечным сечением, поскольку его плоскость перпендикулярна оси Ox.
Итак, мы получили формулу для объема пирамиды
котрой пользовались в различных разделах справочника.
Замечание . Совершенно аналогично выводится формула для объема конуса. Формулы для объема прямой призмы объема прямой призмы и для объема цилиндра вывести таким способом еще проще, поскольку у них все сечения, перпендикулярные высоте, равны между собой. Мы рекомендуем провести эти выводы читателю самостоятельно в качестве полезного упражнения.
Пример 5 . Вывести формулу для объема шара радиуса R, воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения.
 | (3) |
графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O. Шар радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции (3) и ограниченной снизу отрезком
оси Ox (рис. 6).
что и должно было получиться.
Видео:ЗАДАНИЕ 2| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Площадь поверхности шара равна 8. Найдите площадь сечения этого шара плоскосСкачать
Вывод формулы для площади сферы
Решение . Снова рассмотрим функцию
| (4) |
графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O (рис. 7).
Поскольку сфера радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox графика функции (4), то в соответствии с формулой для вычисления площади поверхности тела вращения получаем
Подставим найденную производную в выражение, стоящее под знаком квадратного корня:
Таким образом, подынтегральная функция принимает вид:
Видео:Архимед и объём шараСкачать
Формулы площади поверхности геометрических фигур
Видео:11 класс. Геометрия. Сфера и шар. Объем шара и площадь поверхности. 05.05.2020.Скачать
Применение формулы
Рассмотрим на примере, как вычислить площадь круглого шара, диаметр которого равен 50 см. Следуя формуле, нужно 50 разделить на два (чтобы получить радиус), возвести полученное число в квадрат и умножить всё это дело сначала на 4, затем на 3,14. В итоге получим число в 7 850 квадратных сантиметров.
Формула вычисления площади применяется не только среди учителей в школе и научных сотрудников в лаборатории. Данная формула может пригодиться обычному маляру. Ведь если шар большой, а краски мало, то возникает вопрос – хватит ли ему этой смеси, чтобы покрасить весь объект. И это далеко не единственный бытовой случай, где может пригодиться формула.
Формула вычисления объёма может пригодиться и строительной бригаде, что делает ремонт. И неважно, какой это объект – промышленное здание, небольшой дом или обычная квартира. Этим и отличаются профессионалы – они умеют применять свои знания на практике.
Но как быть, если не представляется возможным измерить объект? Такой вопрос может возникнуть в случае огромных размеров объекта или его недосягаемости. В этом случае могут помочь электронные технологии, в основе работы которых лежит сканирование пространства определёнными частотами и лазерами. С современными технологиями необязательно знать все формулы наизусть. Достаточно иметь подключение к интернету и зайти на любой онлайн-калькулятор.
Видео:Шар и сфера. Отличия. Объем шара. Площадь поверхности сферы.Скачать
Уравнение сферы
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
( x – x 0) 2 + ( y – y 0) 2 + ( z – z 0) 2 = R 2
3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x 0, y 0, z 0):
x = x 0 + R · sin θ · cos φ y = y 0 + R · sin θ · sin φ z = z 0 + R · cos θ
где θ ϵ [0, π ], φ ϵ [0,2 π ].
Видео:Площадь сферы внутри цилиндра. Поверхностный интегралСкачать
Площадь прямоугольного параллелепипеда
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
Видео:Площадь большого круга шара / задача из ЕГЭ профильный уровень #525372Скачать
Шар, сфера и их части
Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.
Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).
Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).
Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.
Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).
Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).
Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).
Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.
Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.
Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.
Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .
Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).
Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).
Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс , у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.
Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .
По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс , у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).
Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).
Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента .
Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы .
Видео:Площадь поверхности шара равна 80. Найдите площадь сечения этого шара плоскостью.Скачать
Трактовка значений
Это следует знать:
- Шар – геометрический объект, получившийся в результате вращательных полукруговых движений вокруг центра. Любая точка поверхности шара находится на одинаковом расстоянии от центра.
- Сфера – не то же самое, что шар. Если тот является объёмным объектом и включает в себя внутреннее пространство, то сфера – это лишь поверхность данного объекта и имеет только свою площадь. Иными словами – нельзя сказать, что сфера имеет такой-то объём, в отличие от шара.
- Число «пи» – это постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. В сокращённом виде его принято обозначать числом, равным 3,14. Но на самом деле, после тройки идёт больше тысячи цифр!
- Радиус шара равен ½ его диаметру. Точный диаметр можно вычислить с использованием нескольких плоских и ровных предметов. Нужно лишь зажать шар между этими предметами, которые зажимают шар и расположены перпендикулярно друг к другу, а затем измерить получившийся диаметр.
- Квадратная степень обозначается в виде двойки и означает то, что это число надо умножить на само себя один раз. Если бы степень числа была в виде тройки, то умножать на само себя нужно было бы два раза. Записав выражение на бумаге, можно понять, почему используются именно двойка и тройка, а не единица и двойка.
- Объём – величина, обозначающая размер в пространстве, занимающее объектом. От диаметра зависит объём шара. Формула будет равна четырём трети, умноженным на число «пи» и вновь умноженным на его радиус в кубе.
- Площадь – величина, обозначающая размер поверхности объекта, но не внутреннего пространства.
Видео:Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна суммеСкачать
Введите радиус сферы:
Сфера – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.
Площадь поверхности сферы формула:
S = 4 π R 2 , где R – радиус сферы, π – число пи
Видео:-i. Площадь сферыСкачать
Через диаметр
Как известно, диаметр шара равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:
S = 4 π (d/2) 2
Видео:Площадь поверхности сферыСкачать
Терминология и сферическая геометрия
Окружность на шаре, которая имеет тот же центр и радиус, что и сама фигура, а следовательно, делит её на две части, называется большим кругом. Если конкретную (произвольную) точку этого геометрического тела обозначить как его северный полюс, то соответствующая антиподальная точка будет южным полюсом. А большой круг станет экватором и будет равноудалённым от них. Если он будет проходить через два полюса, тогда это уже линии долготы (меридианы).
Круги на сфере, проходящие параллельно экватору, называются линиями широты. Все эти термины используются для приблизительно сфероидальных астрономических тел. Любая плоскость, которая включает в себя центр шара, делит его на два равных полушария (полусферы).
Многие теоремы из классической геометрии верны и для сферической, но отнюдь не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым аксиомам, например, постулату параллельности. Такая же ситуация складывается и в тригонометрии — отличия есть во многих отношениях. Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Помимо этого, две таких одинаковых фигуры будут конгруэнтными.
Видео:ЕГЭ 2023 😢 Даны два шара с радиусами 8 и 1. Во сколько раз площадь поверхности больш больше площадиСкачать
Нахождение площади поверхности шара (сферы): формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь шара (сферы) и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Видео:Задача шар ЕГЭ | Площадь поверхности | ЕГЭ Профиль | МегаШкола | Сечение шараСкачать
Формула вычисления площади шара/сферы
1. Через радиус
Площадь (S) поверхности шара/сферы равняется произведению четырех его радиусов в квадрате и число π .
S = 4 π R 2
Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.
2. Через диаметр
Как известно, диаметр шара/сферы равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь поверхности фигуры можно, используя такой вид формулы:
S = 4 π (d/2) 2
Видео:Стереометрия. ЕГЭ. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.Скачать
Примеры задач
Задание 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.
Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см) 2 = 615,44 см 2 .
Задание 2
Площадь поверхности сферы равна 200,96 см 2 . Найдите ее диаметр.
Решение:
Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:
🎥 Видео
11 класс, 23 урок, Площадь сферыСкачать
#140. Задание 8: шарСкачать
