Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.
Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать
Формула вычисления площади
Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:
Формула получена следующим образом:
Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
два основания: со сторонами a и b;
четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).
Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.
Решение: Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения: S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см 2 .
Видео:Площадь поверхности параллелепипеда.5 кл.ЕгэСкачать
Объем параллелепипеда
О чем эта статья:
Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ КУБА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО РЕБРО? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать
Понятие объема
Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.
Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.
Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.
Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.
За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см 3 ), кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ).
Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.
Два свойства объёма
У равных тел равные объёмы. Например, у двух одинаковых пакетов сока равные объемы.
Если геометрическое тело состоит из нескольких геометрических тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.
Видео:КАК НАЙТИ ОБЪЕМ КУБА ПО РЕБРУ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать
Объем прямоугольного параллелепипеда
Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.
Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:
V = a × b × h
Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.
Полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
При изучении школьной математики часто встречаются задания, в которых требуется определить полную или боковую площадь поверхности прямоугольного или обычного параллелепипеда. Научимся это делать.
Для того, чтобы научиться вычислять площадь поверхности параллелепипеда необходимо представлять, что это такое.
Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать
Общие понятия
Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).
Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.
Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.
Видео:Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать
Нахождение площадей фигур
Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.
Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
Прямоугольника — вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
Параллелограмма — найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).
Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.
1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.
S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.
2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.
S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.
3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.
Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:
S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.
Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:
S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.
Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.
Видео:Формула объёма прямоугольного параллелепипеда (для 3В)Скачать
Площадь поверхности параллелепипеда
Так как наши тела имеют три принципиально различных варианта, то каждый из них мы рассмотрим в отдельности. Учтём, что полной поверхностью является сумма площадей всех граней тела, а боковой — только боковых граней.
Видео:Площадь поверхности куба. 5 кл.ЕГЭ(базовый уровень)Скачать
Площадь поверхности куба
Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.
На примере это выглядит следующим образом:
Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?
При данных условиях имеем:
S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.
Видео:КАК НАЙТИ РЕБРО КУБА, ЗНАЯ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Здесь все так же довольно легко — нужно помнить, что противоположные грани равны. Таким образом, находим поверхность трёх различных граней, и каждую удваиваем. Формулы нахождения будут выглядеть следующим образом:
S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади всех граней соответственно.
Второй вариант S = 2*(a*b + a*c + b*c), где a, b, c соответствующие рёбра прямоугольного параллелепипеда.
Снова рассмотрим пример. Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равняются 20, 30 и 40 метров. Площадь полной поверхности?
Как видно, находить площадь прямоугольного параллелепипеда также совершенно несложно.
Видео:Объем и площадь поверхности фигуры часть 1Скачать
Поверхность параллелепипеда
Теперь рассмотрим случай когда заданное нам тело имеет вид простого параллелепипеда, его гранями являются обычные параллелограммы. Здесь, как и в предыдущем случае противоположные грани равны. Следовательно, определив поверхность трёх различных граней, мы сможем определить и полную поверхность. Значит, одна из формул опять-таки будет иметь вид:
S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади трёх различных граней соответственно. Запишем исходя из наших рассуждений, ещё две формулы:
S = 2*(a*h1 + b*h2 + c*h3), где a, b, c соответствующие рёбра параллелепипеда, а h1, h2, h3 опущенные на них высоты.
S = 2*(a*b*sin (ab) + a*c*sin (ac) + b*c*sin (bc)), где a, b, c соответствующие рёбра, а (ab), (ac), (bc) углы между ними.
Снова приведём пример:
a = 15, b = 25, c = 25, h1 = 10, h2 = 20, h3 = 15. Пл. полной поверхности? Согласно формуле получим:
В некоторых заданиях требуется определение только площади боковой поверхности параллелепипеда. В таком случае чётко указывается, что является основанием и находится только суммарная пл. четырёх боковых граней. Все приведённые выше рассуждения остаются верными.
Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ОБЪЕМ, ДЛИНА И ШИРИНА? Пример 5 классСкачать
Заключение
Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.
Видео:Площадь поверхности и развёртка — прямоугольный параллелепипед (видео 7) | Объём и ПлощадьСкачать
Видео
Из видео вы узнаете, как находить площать прямоугольного параллелепипеда.
🔥 Видео
КАК НАЙТИ РЕБРО КУБА, ЗНАЯ ЕГО ОБЪЕМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать
№ 18. Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности и объем (5, 6 классы)Скачать
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать
Математика 5 класс (Урок№32 - Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма.)Скачать
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать
