площадь поверхности параллелепипеда равна 24

Из скольких прямоугольников состоит поверхность прямоугольного параллелепипеда? Сколько граней, рёбер, вершин имеет прямоугольный параллелепипед? Какой прямоугольный параллелепипед называют кубом? Из каких фигур состоит поверхность куба? Каковы рёбра куба?

Из 6 прямоугольников; 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
Поверхность куба состоит из 6 квадратов. Все ребра куба равны между собой.

Задание 1020

Как формулируется:
а) свойство площадей равных фигур;
б) свойство площадей фигуры и её частей;
в) свойство объёмов равных фигур;
г) свойство объёмов фигуры и её частей?

б) площадь фигуры равна сумме площадей ее частей

в) объемы равных фигур равны

г) объем фигуры равен сумме объемов ее частей

Задание 1021

Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны 24,6 см и 18,5 см. Выразите площадь в квадратных дециметрах.

S = ab = 24,6 * 18,5 = 455,1 см² = 4,551 дм².

Задание 1022

а) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 28,2 см, 30 см и 25,5 см и выразите его в кубических дециметрах.
б) Найдите объём куба с ребром 8 дм и выразите его в кубических метрах.

а) V = abc = 28,2 * 30 * 25,5 = 21573 см³ = 21,573 дм³

б) V = а³ = 83 = 256 дм³ = 0,256 м³

Задание 1023

Два прямоугольника имеют одну и ту же площадь. Длина первого прямоугольника равна 0,6 м, а ширина − 4 дм. Чему равна длина второго прямоугольника, если его ширина 30 см? Найдите и сравните периметры этих прямоугольников.

0,6 м = 60 см, 4 дм = 40 см;
S = 60 * 40 = 2400 см²,
a = S : b = 2400 : 30 = 80 см.
P 1 = 2 * (60 + 40) = 2 * 100 = 200 см;
P 2 = 2 * (80 + 30) = 2 * 110 = 220 см.
P 2 > P 1.

Задание 1024

Периметр прямоугольника 0,36 м. Его длина в 2 раза больше ширины. Чему равна площадь прямоугольника?

Пусть ширина прямоугольника равна х,
тогда его длина равна 2х.
Составим уравнение:
(х + 2х) * 2 = 0,36
3х = 0,36 : 2 = 0,18
х = 0,18 : 3
х = 0,06
Значит, 0,06 м − ширина прямоугольника,
0,06 − 2 = 0,12 (м) − длина прямоугольника.
S = a b = 0,06 * 0,12 = 0,0072 м² — площадь
0,0072 м² = 72 см²
Ответ: 72 см².

Задание 1025

Найдите площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 12 см, ширина − 7,5 см, а высота − 10 см.

S = 2 ( a b + а с + b c ) = 2 * (12 * 7,5 + 12 * 10 + 10 * 7,5 ) = 570 (см²) — площадь поверхности
V = a b c = 12 * 10 * 7,5 = 900 (см³) — объем
Ответ: 570 см², 900 см³.

Задание 1026

Ширина прямоугольного параллелепипеда равна а см, длина на 5 см больше ширины, а высота равна 4 см. Составьте выражение для нахождения объёма параллелепипеда.

Задание 1027

Из деревянного бруска, длина которого 8 см, ширина 0,6 дм и высота 4 см, вырезали куб с ребром 0,04 м. Чему равен объём оставшейся части бруска?

0,6 дм = 6 см; 0,04 м = 4 см.
1) 43 = 64 (см³) — объем куба
2) V = abc = 8 * 6 * 4 = 192 (см³)- объем бруска
3) 192 − 64 = 128 (см³) — объем оставшейся части
Ответ: 128 см³.

Задание 1028

Какой объём занимает вода, налитая в мензурку (рис. 107)? Числа на шкале мензурки означают кубические сантиметры (миллилитры).

Площадь параллелепипеда

Найти площадь параллелепипеда, зная ребра

Формула нахождения полной площади параллелепипеда

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Общие понятия

Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).

Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.

1. Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
2. Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
3. Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
4. Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
5. Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
6. Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
7. Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
8. Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.

Площадь поверхности куба

Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.

На примере это выглядит следующим образом:

Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?

При данных условиях имеем:

S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.

Пример задачи

Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.

Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см 2 .

Нахождение площадей фигур

Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.

1. Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
2. Прямоугольника – вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
3. Параллелограмма – найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).

Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.

1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.

• S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.

2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.

• S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.

3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.

Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:

• S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.

Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:

• S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.

Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Найти площадь поверхности параллелепипеда

Параллелепипед – это призма, основанием которой служит параллелограмм. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Диагонали его пересекаются в одной точке, которая лежит на оси симметрий, и делятся ею пополам.

• Прямой параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны к основаниям.
• Наклонный параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого не перпендикулярны к основаниям.
• Прямоугольный – прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники.

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей её боковых поверхностей и площади основания:

S = 2 cdot (a cdot b + b cdot c + a cdot c)

1. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его стороны равны 2, 3, 4 см
   Посмотреть решение

Дано:

Решение:

По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

S = 2 cdot ( a cdot b + a cdot c + b cdot c)

S = 2 cdot ( 2 cdot 3 + 2 cdot 4 + 3 cdot 4) = 52 см^2

Ответ:

Дано:

Решение:

Находим сторону b:

S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

S = 2 cdot (3 cdot 6 + 3 cdot 5 + 5 cdot 6)

Ответ:

Дано:

Решение:

Находим сторону c:

S = 2 cdot c cdot (a + b) , отсюда: c = frac = 3 см

По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:

S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

S = 2 cdot (1 cdot 2 + 1 cdot 3 + 2 cdot 3) = 22 см^2

Ответ:

Дано:

Решение:

Найдем сторону c: V = a cdot b cdot c , отсюда: c = frac = 5 см $

S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

S = 2 cdot (2 cdot 2 + 2 cdot 5 + 2 cdot 5) = 48 см^2

Ответ:

Дано:

a = 2 см b = 4 см

Решение:

Находим сторону c:

d^2 = a^2 cdot b^2 cdot c^2 , отсюда:

По формуле для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:

S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

S = 2 cdot (2 cdot 4 + 2 cdot 4 + 4 cdot 4) = 64 см^2

Ответ S = 64 см^2

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Формула вычисления площади

Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:

Формула получена следующим образом:

1. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
   • два основания: со сторонами a и b;
   • четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
2. Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).

Заключение

Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.