площадь поверхности параллелепипеда через ребра (3 видео)

Содержание

Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример
Формула вычисления площади
Пример задачи
Прямоугольный параллелепипед
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:
Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
🔥 Видео

Видео:Площадь поверхности параллелепипедаСкачать

Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.

Видео:Известны два ребра и площадь поверхности параллелепипедаСкачать

Формула вычисления площади

Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:

Формула получена следующим образом:

Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
- два основания: со сторонами a и b;
- четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Пример задачи

Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.

Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см 2 .

Видео:Известны два ребра и площадь поверхности параллелепипедаСкачать

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
Противоположные грани попарно равны и параллельны.
Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$ — высота(она же боковое ребро);

$P_$ — периметр основания;

$S_$ — площадь основания;

$S_$ — площадь боковой поверхности;

$S_$ — площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_=P_·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

$а$ — длина стороны.

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

$S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
$S=/$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
Формула Герона $S=√
$, где $р$ — это полупериметр $p=/$.
$S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
$S=/$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
Для равностороннего треугольника $S=/$, где $а$ — длина стороны.

В основании лежит четырехугольник.

Прямоугольник.
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Ромб.
$S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
Трапеция.
$S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Квадрат.
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.

Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.

Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник

Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.

Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Видео:🔴 Площадь поверхности прямоугольного ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА Скачать

Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы узнаем, что такое прямоугольный параллелепипед, его свойства. Кроме того, будет выведена формула площади поверхности параллелепипеда, решена задача с применением данной формулы.