площадь поверхности консервной банки

Видео:Взрыв консервной банки способ открывания №2 [Alexander Zyryanov]Скачать

Банка

Видео:Солнечная зажигалка из консервной банкиСкачать

Банка

Банку будем считать цилиндром,

у которого радиус равен R, а высота – H.

Видео:НЕ ВЗДУМАЙ ВЫБРАСЫВАТЬ консервные банки! Такого ты еще НЕ ВИДЕЛ!Скачать

Объем банки

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту

где S0 – площадь основания. Основание банки – это круг радиуса R, его площадь равна

Подставляя формулу (2) в (1), получаем

Формула (3) позволяет вычислить объем банки, зная ее высоту H и радиус R.

Видео:НЕ ВЗДУМАЙ выкинуть консервные банки! Отличная идея своими руками!Скачать

Площадь поверхности банки

Полная площадь поверхности банки складывается из площади боковой поверхности Sбок и двух площадей оснований (донышек) Sо:

Боковая поверхность – это прямоугольник, высота которого равна H, а ширина – длине окружности радиуса R, то есть … . Поэтому

Донышко банки (основание цилиндра) – это круг радиуса R, его площадь равна

Подставляя формулы (5) и (6) в (4), получаем полную площадь поверхности:

Видео:Самоделка из консервных банок маленькая мини печка #diy #самоделка #toolСкачать

Решение прикладных задач с помощью производной функции

Разделы: Математика

«Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи.
Причем не только стандартные, но и требующие известной независимости
мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».
Д. Пойа

Цели урока:

• Дидактические: рассмотреть применение метода поиска наибольших и наименьших значений функции к решению разнообразных прикладных задач, в первую очередь, задач на оптимизацию.
• Развивающие цели: развивать гибкость мышления, творческое отношение к изучаемому предмету, формировать независимость математического мышления в ходе решения задач.
• Воспитательные цели: на примере решения прикладных задач с простейшими жизненными ситуациями показать применение методов математического моделирования, поддержать этим интерес к предмету.

Вид занятия. Применение знаний, умений и навыков.

Оборудование. Интерактивная доска, карточки.

Методы – объяснительно-иллюстративное изложение, иллюстративный и демонстрационный.

План урока.

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.
2. Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Введение.

Современные требования к уроку предполагают использование новых подходов в преподавании математики. При подготовке к уроку преподаватель все чаще использует компьютерные технологии. Уроки с использованием презентаций становятся более насыщенными, эффективными и дают возможность развивать у студентов интерес к предмету, познавательную активность, творческий подход.

На данном уроке применение интерактивной доски должно наряду с самой темой привлечь внимание студентов к прикладной направленности математики. Одновременно текстовые задачи рассматриваются не только как прикладные, но и как умственные манипуляторы. Существует важное сходство между математикой и детской игрой: в обоих случаях исключительно важно творческое воображение. Потребность в умственных манипуляциях никогда не кончается, она присуща и профессиональным математикам на самом высоком уровне.

Решение любой задачи, особенно сложной, требует от ребят напряженного труда и упорства. А упорство проявляется, если задача интересна. Значит, нужно преподавателю подбирать такие задачи, которые студенты хотели бы решать. Чаще всего интерес вызывают задачи практического содержания.

Еще один метод применен на данном уроке для мотивации решения прикладных задач: в их тексты включаются фамилии студентов той группы, где идет занятие. Они становятся прорабами, предпринимателями, хозяевами предприятий и т.д.

Ход урока

1. Организационное начало

Приветствие студентов. Проверка присутствующих.

Сообщение темы занятия и плана работы, конкретизация задач и создание мотивации учебной деятельности. Прием – повествовательное изложение, форма – рассказ-вступление, Для быстрого включения студентов в работу на экран можно вывести слайд, содержащий информацию о плане урока, его целях и задачах.

2. Повторение опорных знаний студентов.

Провести дидактическую игру «Крестики- нолики» по теме «Производная функции». К доске приглашаются два студента. На доске подготовлено игровое поле. Первый, ответивший на вопрос преподавателя по данной теме, получает право выбрать знак («крестик» или «нолик») для себя и назвать первое окошко игрового поля. Если он решает правильно выпавшее ему задание, то имеет право поставить в данное окошко свой знак. Если ему это не удается, то право решить его отдается второму игроку. В итоге побеждает тот, кто закрывает своими значками 3 клетки по диагонали, горизонтали, вертикали или больше, чем 4 клетки.

Задания.

1. =
2. = ,
3. = ,
4. = ln cosx,
5. = ,
6. = x+ ,
7. = x,
8. = ,
9. = 2.

3. Применение знаний при решении примеров и задач.

Сегодня на занятии мы вспомним задания на нахождение наибольшего, наименьшего значений функции на промежутке и применение этой темы для решения задач. На прошлом занятии мы записали алгоритм для этого. Повторим его (приглашается для ответа студент, а затем еще раз выводится на экран).

Нахождение наибольшего и наименьшего значений монотонной функции f(x) на отрезке (а;в) достигается на концах отрезка. Если же заданная функция не является монотонной, но известно, что она является непрерывной, то для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке применяется правило:

1. Найти критические точки функции.
2. Найти значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка. Наибольшее и наименьшее значения из этих чисел и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке.

Теперь решаем задачи.

Задача 1. Молодой предприниматель Михайлов Юрий в свете экономического кризиса решил выкупить нерентабельное провинциальное перерабатывающее предприятие и пригласил экономиста Гульдерова Германа помочь с расчетами по оптимизации расходов. Одна из задач поставленных перед Германом была следующая: найти, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.

Вспомним 3 этапа математического моделирования, применяемые при решении задач на оптимизацию (показ на экране):

• 1 этап. Составление математической модели.
• 2 этап. Работа с составленной моделью.
• 3 этап. Ответ на вопрос задачи.

1 этап. Составление математической модели.

Составление модели облегчается тем, что известна форма банки и оговорено, что она должна быть заданной емкости. Это существенно для составления модели. Существенным является также требование, чтобы расход жести на изготовление банки был минимальным. Это требование означает, что площадь полной поверхности банки, имеющей форму цилиндра, должна быть наименьшей; существенны и размеры банки. Несущественны для составления математической модели конкретное (численное) значение емкости банки и вид консервов (мясных, овощных), для которых банка предназначена.

Обозначив емкость банки через V см³, сформулируем задачу: Определить размеры цилиндра с объемом V см³ так, что бы площадь его полной поверхности была наименьшей.

Для решения задачи обозначим радиус основания цилиндра через х, а высоту его через h (все измерения в сантиметрах). Тогда объем цилиндра

V = h = .

Полная поверхность цилиндра:

S = 2x² + 2x h = 2x² + 2x = 2x² + = .

Итак, S(х) = .

Так как переменная х может принимать только положительные значения, решение задачи сводится к нахождению наименьшего значения S(х) на (0;).

2 этап. Работа с составленной моделью.

Найдем производную S´(х):

S´(х) = = .

Для нахождения критических точек решим уравнение S´(х) = 0.

Корень уравнения: х = .

При х S´(х) > 0.

Следовательно, в точке х = S(х) имеет минимум.

Следовательно, функция в этой точке достигает наименьшего значения.

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, имеющего объем V, будет наименьшей при h = 2x = 2 = , т.е. когда цилиндр равносторонний.

3 этап. Ответ на вопрос задачи.

Наименьший расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой.

Полезно обратить внимание ребят на то, что в нашей стране выпускаются ежегодно сотни миллионов банок консервов в жестяной упаковке. Экономия 1% жести на изготовление каждой банки позволит за счет сэкономленного материала дополнительно изготовить несколько миллионов новых банок. Вместе с тем промышленность нередко выпускает консервы в жестяной таре, не обеспечивая наименьший расход материала на изготовление банки. Это обусловлено рядом причин: стремлением минимизации отходов при изготовлении банок, соображениями торговой эстетики. Возможностями транспортировки и т.д.

Задача 2. Фрагмент рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкир.

— А цена какая будет? – говорит Пахом.

— Цена у нас одна: 1000 рублей за день.

— Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?

— Мы этого, – говорит, — не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь за день , то твое, а цена 1000 рублей.

— Да ведь это, — говорит, — в день обойти земли много будет.

— Вся твоя, — говорит. – Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.

Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке( на экране).

Обежал он за день, например, прямоугольную трапецию периметром 40 км. С площадью S = 78 км².

Проверим, наибольшую ли площадь при этом получил бы Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму прямоугольника)?

Р = 40 км. a – первая сторона, 20 – а – вторая сторона.

Видео:Как правильно открывать консервные банки !Скачать

Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра

Видео:Декупаж жестяной банки, состаривание поверхностиСкачать

Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра

Задача на экстремум (по условию задачи составить функцию и затем исследовать ее на экстремум) Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты Н и радиуса D), чтобы на изготовление пошло минимальное количество жести. ПОЖАЛУЙСТА, ПОМОГИТЕ!

Ответы и объяснения 1

Обьем цилиндра равен V=πD²H H=V/(πD²) площадь поверхности цилиндра равна 2πD²+2πDH=2(πD²+V/D) S(D)=2(πD²+V/D) S'(D)=2(2πD-V/D²)=2(2πD³-V)/D² критические точки 0, ∛(V/2π) в точке ∛(V/2π) достигается минимум функции S(D), т.к. при переходе через эту точку производная S'(D) меняет знак с минуса на плюс. D=∛(V/2π) V=πD²H V=πD³H/D V=V·H/(2·D) H/D=2

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

Видео:Как быстро и просто сделать ровные края на консервной банкеСкачать

Задача на экстремум (по условию задачи составить функцию и затем исследовать ее на экстремум) Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра?

Математика | 10 — 11 классы

Задача на экстремум (по условию задачи составить функцию и затем исследовать ее на экстремум) Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра.

Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты Н и радиуса D), чтобы на изготовление пошло минимальное количество жести.

Обьем цилиндра равен V = πD²H

площадь поверхности цилиндра равна 2πD² + 2πDH = 2(πD² + V / D)

S'(D) = 2(2πD — V / D²) = 2(2πD³ — V) / D²

критические точки 0, ∛(V / 2π)

в точке ∛(V / 2π) достигается минимум функции S(D), т.

К. при переходе через эту точку производная S'(D) меняет знак с минуса на плюс.

Видео:Превращение консервной банки - баночка с крышкой в стиле шеббиСкачать

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы ту что в скобочках)?

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы ту что в скобочках).

Видео:[How to] Тайник из консервной банкиСкачать

Y = x ^ 2 + 25 / 10x имеет ли экстремумы данная функция?

Y = x ^ 2 + 25 / 10x имеет ли экстремумы данная функция.

Видео:Из металлической губки и консервной банки сделал печь своими рукамиСкачать

Исследовать функцию на монотонность и экстремума y = 2 + 3x — x3?

Исследовать функцию на монотонность и экстремума y = 2 + 3x — x3.

Видео:Самоделка из консервных банок эффективная походная печь #diy #tool #полезныесоветы #хитрости #советСкачать

Исследовать на экстремум функцию Пожалуйста, помогите))?

Исследовать на экстремум функцию Пожалуйста, помогите)).

Видео:Консервная банка может быть шедевром🌟 / DIYСкачать

Z = (x ^ 3) + (y ^ 3) — 6xy исследовать функцию на экстремум?

Z = (x ^ 3) + (y ^ 3) — 6xy исследовать функцию на экстремум!

Пожалуйста помогите( заранее спасибо!

Видео:Самоделка из консервной банки и трёх мебельных болтов походная печь #diy #tool #самоделкаСкачать

Исследовать функцию на экстремумы — y = — 2x ^ 2 + 5x — 6?

Исследовать функцию на экстремумы — y = — 2x ^ 2 + 5x — 6.

Видео:Блиндажная свеча из консервной банки для походов,рыбалки,палатки и охоты.Секрет выживания .Горелка.Скачать

(Срочно, пожалуйста помогите, прошу) Исследовать функцию на монотонность и экстремум : y = x3 — 3×2 + 4?

(Срочно, пожалуйста помогите, прошу) Исследовать функцию на монотонность и экстремум : y = x3 — 3×2 + 4.

Видео:чудеса из консервной банки. Мгновенно!Скачать

Исследовать функцию на промежутке монотонности и экстремумы точки ?

Исследовать функцию на промежутке монотонности и экстремумы точки :

Видео:Динамик из консервной банкиСкачать

Исследовать функцию у = 3х ^ 3 — 12х + 4 на монотонность и экстремумы?

Исследовать функцию у = 3х ^ 3 — 12х + 4 на монотонность и экстремумы.

Видео:Вторая жизнь консервной банки.Скачать

Исследовать функцию на монотонность и экстремум у = — х3 + 3х2 + 24х — 8?

Исследовать функцию на монотонность и экстремум у = — х3 + 3х2 + 24х — 8.

Вопрос Задача на экстремум (по условию задачи составить функцию и затем исследовать ее на экстремум) Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Математика и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

12 велосипедов (у каждого один руль) 12 * 2 = 24 (у каждого велосипеда обязательно) 27 — 24 = 3 колеса вот и получается что три трехколесных велосипеда.

1)24 — 15 = 9(р) — поймал Коля 2)24 — 16 = 8(р) — поймал Петя 3)9 + 8 = 17(р) — поймали Петя и Коля 4)24 — 17 = 7(р) — поймал Вася Ответ : Коля поймал 9 рыбок, Петя поймал 8 рыбок, Вася поймал 7 рыбок.

24 / 3 = 8 я так думая наверное.

1. умножение в ( ) = 41118 2. Сложение в ( ) = 41851 3. Деление = 110101 4. 31750 это ответ.

Сначала рассчитаем время, за которое первый прошел весь путь : 20 + 52 = 72 (минуты) ; значит, первый проходит за минуту 1 / 72 всего пути ; Рассчитаем, какую часть всего пути прошел первый пешеход до встречи : 20 * 1 / 72 = 20 / 72 = 5 / 18 (пути) ;..

Есть два варианта как я решила. 1 — й вариант. 5ц = 500кг 1т = 1000кг 1) 450÷15 = 30(т) с 1 теплицы в прошлом году 2) 30000 + 500 = 30500(кг) с 1 теплицы в этом году 3)15×30500 = 457500(кг) 457400кг = 457, 5 т ответ : 457, 5 т огурцов всего собрали..

(3, 12 + 2, 15) * 2 1) 3, 12 + 2, 15 = 5, 27 2) 5, 27 * 2 = 10, 54 Ответ : 10, 54.

1) 6 / 100 * 15 = 0, 9 кг — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 2) 30 — 18 = 12 12 / (30 / 100) = 40% — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 3) а) 8 / 80 * 100 = 10кг б)12 / 80 * 100 = 15..

Видео:ОГОНЬ! Не горит. Щепочница из консервной банки не работает.Скачать

Вычисление параметров банки, имеющей форму прямого кругового цилиндра

Консервная банка имеет форму прямого кругового цилиндра и заданный объем V (см 3 ). Чтобы ее можно было изготовить из минимального количества жести и уменьшить длину сварных швов, необходимо определить вариант банки, имеющей наименьшую площадь поверхности S (см 2 ) и наименьшую длину швов l (см).

Исходные формулы: V = πr 2 h, S = 2πr 2 + 2πrh, l = 4πr + h, где r — радиус, h — высота банки.

Программа вычисляет параметры банки r, h, s, l для каждого из вариантов.

Исходное данное (объем V) записывается в ячейку памяти П7.

Результаты вычислений для обоих вариантов записываются в ячейки памяти:

S → П8 (отображается на дисплее при расчете первого варианта;

l → П9 (отображается на дисплее при расчете второго варианта;

Инструкция по пользованию программой для МК-52 с БРП-4

• 1. Наберите адрес 1369663 и введите программу, нажав клавиши А↑, ↑↓.
• 2. Введите исходное данное.
• 3. Включите счет, нажав для выполнения первого варианта клавиши В/0, С/П (время вычисления около 15 с), а для выполнения второго варианта клавиши БП, 3, 0, С/П (время вычисления около 15 с). Если вычисление второго варианта производится после первого, то программа запускается нажатием клавиши С/П.
• 4. Считайте результаты.
• 5. Для повторного запуска программы повторите пп.2-4.

Инструкция по пользованию программой для ЭКВМ

• 1. Загрузите программу с нулевого адреса.
• 2. Введите исходное данное.
• 3. Включите счет, нажав для выполнения первого варианта клавиши В/0, С/П, а для выполнения второго варианта клавиши БП, 3, 0, С/П. Если вычисление второго варианта производится после первого, то программа запускается нажатием клавиши С/П.
• 4. Считайте результаты.
• 5. Для повторного запуска программы повторите пп.2-4.

Тестовый пример

1. S = 189,32 см 2 , l = 46,16 см, r = 3,17 см, h = 6,34 см.

2. S = 214,27 см 2 , l = 40,79 см, r = 2,16 см, h = 13,6 см.

Видео:Самоделка из консервных банок маленькая мини печка #diy #самоделка #toolСкачать

Программа «Вычисление параметров банки, имеющей форму прямого кругового цилиндра»

Программа 53 из блока расширения памяти БРП-4, переключатель «1/2» блока в положении «2», адрес 1369663.

Задача

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Задача: В некотором государстве ввели компьютерный паспорт гражданина.(задача)
Доброго времени суток,форумчане. Хотелось бы попросить помощи в решении одной задачи от умных.

Задача на k-тую цифру последовательности, задача на схему Горнера.
Ну, собственно опять прошу помощи. Задача 1: Определить k-тую цифру последовательности.

Задача на перебор вариантов. Задача Л.Эйлера. Про чиновника
Задача Л.Эйлера. Некий чиновник купил лошадей и быков на сумму 1770 талеров. За каждую лошадь он.

Первая смешанная задача для волнового уравнения на отрезке (задача о колебаниях ограниченной струны) методом Фурье
Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке (задача о колебаниях ограниченной.

Спасибо большое) буду разбираться)

Добавлено через 5 минут
Разобраться трудновато! Знаю что получается площадь будет у меня 50 см2. А вот как от этого плясать не понял

Задача нелегкая, но нужно просто посидеть и разобраться. Вам не все нужно — выберите нужные Вам формулы и приведите к правильному виду. Если не получится — я вечером гляну сегодня — часов через 6-7 када дома буду

блин. сопротивляется форум внешним ссылкам

Добавлено через 6 минут
блин — мобильный интернет — это жесть. иногда: в общем там написано:

Каковы должны быть размеры консервной банки, имеющей вид прямого кругового цилиндра при заданной S площади полной поверхности, чтобы ее объем был наибольшим?поверхности, чтобы ее объем был наибольшим?

S=2πr²+2πr•h => h=(S-2πr²)/(2πr); V=πr²•h=r•(S-2πr²)/2
Дифференцируем по r.
V’=½•(S-6πr²).

Функция имеет экстремум при S=6π•r², это минимум, так как производная меняет знак с минуса на плюс. Подставляем в формулу для h:
h=(6πr²-2πr²)/(2πr)=2r. То есть высота должна быть вдвое больше радиуса (или равна диаметру).

Экстремальные задачи с производной

Совершенно верно, иногда от таких задач действительно захватывает дух. Сегодня на уроке мы разберём ещё одно важное приложение производной, имеющее самое что ни на есть прикладное значение! Речь пойдёт о задачах с конкретным геометрическим, физическим, экономическим и т.д. содержанием, в которых исходя из условия, нужно самостоятельно составить функцию и найти её точку минимума либо максимума (и/или, соответственно, минимум либо максимум).

Для полноценного изучения урока необходимо уметь находить производные, ПОНИМАТЬ, что такое производная и быть знакомым с понятиями возрастания, убывания и экстремума функции. Таким образом, начинающим рекомендую начать с вышеуказанных статей, чтобы не словить здесь реальный экстрим =) А уже заматеревшие студенты не должны испытать особых трудностей. Разминочная алгебраическая задача и новый материал по ходу решения:

Известно, что сумма двух положительных чисел равна 12. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение их квадратов было максимальным?

Решение: прежде всего, хорошо осознаем, что от нас требуется: в условии фигурируют два положительных числа, причём ни то, ни другое мы не знаем. Но вот их сумма равна 12.

Если это, например, 2 и 10, то произведение квадратов ;
если 7 и 5, то и т.д.

И нам нужно отыскать такую пару, для которой данное произведение будет наибольшим. Понятно, что с методом подбора тут замучаешься, к тому же искомые числа ведь могут оказаться и дробными. Поэтому привлечём на помощь могучий аппарат математического анализа.

Но сначала вспомним школу и вспомним, как, наивно хлопая ресницами, мы что-то обозначали за «икс»…. Обозначим за одно из чисел. Тогда второе число будет равно:

Проверим, что их сумма действительно равна 12:
– а ведь и правду говорят, что всё гениальное просто =)

Теперь составим функцию произведения их квадратов:

Многие читатели уже понимают последующие шаги: далее нужно найти производную, критические точки и обнаружить точку (и), в которой функция достигает максимума (если таковые, конечно, вообще существуют).

И небольшой вопрос техники: производную здесь можно найти несколькими способами. На мой взгляд, удобен следующий вариант: загоняем множители под единую степень и раскрываем там скобки: , после чего дифференцируем сложную функцию:

Итак, – критические точки.

По условию оба числа положительны, поэтому значения сразу исключаем из рассмотрения. Осталось проверить достаточное условие экстремума для точки и выяснить, достигает ли там функция минимума либо максимума. А может статься, и ничего не достигает.

Проверка вам хорошо знакома: чертим числовую ось, выясняем знаки производной слева и справа от точки и выносим вердикт. Так решать можно, и это будет правильным решением, но есть и другой путь!

Второе достаточное условие экстремума

Пусть производная функции равна нулю в критической точке :
и пусть там существует вторая ненулевая производная: . Тогда:

если , то функция достигает минимума в точке ;
если , то – максимума.

В нашем случае нужно найти вторую производную и вычислить – если окажется, что , то является точкой минимума; если же – то точкой максимума.

Для удобства дифференцирования утрамбуем предшественницу:
и незамедлительно оценим это удобство:

Подставим критическое значение :
, значит, функция достигает максимума в данной точке:

Ответ: искомые числа: 6 и 6, при этом максимальное произведение квадратов:

Вообще говоря, по условию не требовалось находить само произведение, но по правилам хорошо тона его лучше рассчитать и указать в ответе. К тому же это весьма любопытно.

На практике в подавляющем большинстве случаев встречаются задачи с геометрическим смыслом, и поэтому основная часть урока будет посвящена именно им. Начнём с несложного типового примера, который почему-то довольно часто вызывает проблемы:

Найти наименьшее расстояние между параболой и прямой

Решение: вот, пожалуйста, самый что ни на есть практический смысл – представьте, что вам нужно пройти от дороги к дороге. Совершенно понятно, что в отсутствии препятствий это наиболее выгодно осуществить по кратчайшему пути.

Поскольку условие запрашивает наименьшее расстояние, то, очевидно, нам нужно составить функцию расстояния между параболой и прямой . За аргумент этой функции принимаем абсциссу точки , которая принадлежит параболе и «свободно перемещается по ней»:

Используем формулу расстояния от точки до прямой :

В нашем случае (т.е. );
.

Таким образом:
– функция расстояния между параболой и прямой, зависящая от абсциссы точки параболы.

Дифференцируем по обычным правилам, невзирая на модуль:

– критическая точка

Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Оцените, насколько второе достаточное условие приятнее и удобнее 1-го:
для всех «икс». В частности:
, следовательно, функция достигает минимума в точке :

Искомая «дорога» изображена малиновым отрезком на чертеже.

Ответ:

Физики в лирике могут найти ординату точки , уравнение нормали и её точку пересечения с прямой . Кстати, почему кратчайший путь проходит именно по нормали? Приложите ребро ладони к прямой и начните плавно сдвигать его к параболе: первая точка, которой вы коснётесь – будет в точности точка , ваша рука займёт положение касательной к графику функции в данной точке, а расстояние между двумя прямыми как раз и определится малиновым отрезком нормальной прямой.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Из куска проволоки длиной 30 см требуется согнуть прямоугольник наибольшей площади. Каковы размеры этого прямоугольника?

Давайте немного проанализируем условие:

Что требуется найти? Очевидно, длину и ширину – это «традиционные» характеристики, определяющие прямоугольник.

Какую функцию нужно составить? Наверное, многие уже поняли данную закономерность:

Требуется найти минимальную/максимальную площадь? Составляем функцию площади;
Минимальную/максимальную диагональ? Составляем функцию длины диагонали;
Минимальный/максимальный периметр? Составляем функцию периметра
и т.д.

Напоминаю, что периметр – это длина границы фигуры, в данном случае – сумма длин сторон прямоугольника. Кстати, задачу легко переформулировать «чисто математически»:

«Найти прямоугольник максимальной площади, если его периметр равен 30 см»

Выполните схематический чертёж, подумайте, что обозначить за «икс» (впрочем, чего тут думать), составьте функцию площади – и дальше по накатанной.

Краткое решение и ответ в конце урока.

После простых разогревающих заданий рассмотрим что-нибудь поосновательнее:

На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строк) 192 . Верхнее и нижнее поля занимают по 4 см, левое и правое – по 3 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Решение: разруливаем задачу по той же логической схеме:

Что требуется найти? Наиболее выгодные размеры страницы. А страница обычно имеет форму прямоугольника. Коль скоро речь идёт об экономии бумаги, то, очевидно, нужно найти такую ширину и высоту листа, чтобы его площадь была минимальна. Из чего следует, что нам необходимо составить функцию площади страницы. Причём условие жёстко задаёт размеры полей, а вот под область печати отведено 192 и её размеры могут быть произвольными (заштрихованный прямоугольник на схематическом чертеже):

Обозначим за ширину области печати (малиновый отрезок) (можно обозначить высоту – получится равноценное решение). Тогда высота области печати:
(красный отрезок).

Учитывая известные значения полей, найдём ширину всего листа:

И его высоту:

Составим функцию площади листа и сразу подготовим её для дифференцирования:

Найдём критические точки:

Точка не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи, а вот значение куда более интересно.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

(считать тут совсем не обязательно), значит, функция достигает минимума в точке .

Таким образом, размеры оптимального листа:
;
;
при этом минимальная площадь:

Ответ: ширина оптимальной страницы: , её высота: ; при этом минимальная площадь:

Как видите, основная трудность состоит в том, чтобы разобраться в условии и составить нужную функцию. И в преодолении этой трудности здОрово помогает чертёж. Поэтому всегда стараемся выполнить схематический чертёж или хотя бы рисунок. Даже в таких простых случаях, как в Задаче № 3, не говоря уже о только что разобранном примере.

Следующее задание для самостоятельного решения:

В полукруг радиуса вписать прямоугольник наибольшего периметра

Просто и со вкусом. И снова несколько подсказок, которые полезно иметь в виду и при решении других задач:

! Во-первых, обратите внимание, что условие сформулировано в общем виде и величина считается известной. Если совсем тяжко, решите задачу с каким-нибудь конкретным значением радиуса, например, с радиусом .

! Во-вторых, выполните схематический чертёж, который здесь очень прост: одна из сторон прямоугольника лежит на диаметре полукруга, а вершины противоположной стороны – на полуокружности. Очевидно, что в полукруг можно вписать бесконечно много прямоугольников и ваша задача найти такой, периметр которого максимален. Какую функцию нужно составлять, надеюсь, всем понятно. Подумайте, что удобнее обозначить за «икс» и, кроме того, освежите в памяти теорему Пифагора.

! В-третьих, задачу можно решить в разных стилях. Образец решения оформлен «исключительно геометрически», однако есть и такой вариант: начертить полукруг в декартовой системе координат – в верхней полуплоскости центром в точке . Далее составить уравнение окружности, выразить функцию верхней полуокружности и рассмотреть переменные координаты вершины прямоугольника, которая на этой полуокружности лежит. Более того, ввиду симметрии фигур относительно оси задачу можно решить в 1-й координатной четверти, т.е. изобразить лишь четвертинку круга (но затем не забыть удвоить одну из сторон прямоугольника). Кому как удобнее.

! И, в-четвёртых, эта задача о том, что иногда совсем не обязательно «разбивать лоб» о новый материал ? Если вам показался слишком сложным 2-й достаточный признак экстремума, то никто ведь не запрещает использовать 1-й достаточный признак – определите знаки первой производной слева и справа от критической точки на промежутке и сделайте вывод.

Наш урок в самом разгаре и настало время разобрать задачи, которые встречались в моей практике без преувеличения десятки раз:

Определите размеры открытого бассейна объемом , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, на облицовку стен и дна которого уйдет наименьшее количество материала.

Решение: представили бассейн. Квадратное дно. Стены. Размеры бассейна однозначно определяются его длиной и шириной, которые в данном случае совпадают (по условию дно квадратное) и глубиной (высотой стенки). Требуется найти такие размеры бассейна, чтобы на облицовку его поверхности ушло наименьшее количество материала (например, плитки). Из чего следует, что нам нужно составить функцию суммарной площади дна и 4 стен. Изобразим на чертеже развёртку бассейна – его дно и 4 стенки, которые аккуратно лежат рядышком:

За «икс» здесь, конечно же, напрашивается обозначить сторону квадрата. Тогда площадь дна равна . Осталось выразить – высоту стены и найти её площадь .

По условию, объём бассейна равняется 32 кубическим метрам. Даже не вспоминая и не разыскивая соответствующую формулу, нетрудно сообразить, что объём прямоугольного параллелепипеда – это произведение площади его «дна» на высоту:

В нашем случае: .

Составим функцию суммарной площади дна и четырёх одинаковых стен бассейна:

Найдем критические точки:

– критическая точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция достигает минимума в точке .

Таким образом:
сторона оптимального бассейна ;
глубина ;
при этом минимальная площадь облицовки:
.

Ответ: сторона оптимального бассейна: 4 м, глубина: 2 м; при этом минимальная площадь облицовки .

Кстати, это решение совсем не очевидно – так, например, на оптимальный вариант с успехом претендует «лягушатник» размером глубиной 1 метр, и «на глазок» очень трудно определить, что выгоднее – ведь площадь облицовки последнего лишь ненамного больше: . И да – надо отдать должное авторам задач за реалистичность, а то не так уж и редко получаются забавные результаты а-ля бассейн глубиной 32 метра, что называется, купайтесь и не квакайте =)

Аналогичная задача про суровые челябинские шпроты:

Каковы должны быть размеры консервной банки цилиндрической формы, чтобы на её изготовление пошло наименьшее количество материала, если объем банки 0,5 литра?

Но перед тем как решать, пожалуйста, ознакомьтесь с парой полезных замечаний:

Во-первых, литр – это единица объёма. Я специально заострил внимание на физике, поскольку на обывательском уровне литр очень часто неверно отождествляют с килограммом (единицей массы). Ощутите разницу – пол-литровая банка кильки и та же банка, наполненная гвоздями. Один литр равен одному кубическому дециметру или тысяче кубических сантиметров:

А теперь очень важный момент: так как размеры банки, очевидно, выразятся в сантиметрах, то 0,5 литра следует сразу перевести в кубические сантиметры!

К слову, что это за размеры? Цилиндр стандартно определяется радиусом основания и высотой . Во-вторых. Освежим в памяти формулы:

площадь круга:
площадь боковой поверхности цилиндра:
объём цилиндра:

И в который раз остановлюсь на важном принципе эффективного изучения математики: не зубрите формулы (без крайней необходимости, конечно). В частности, позабытую площадь боковой поверхности цилиндра несложно вывести даже в уме: представьте стенку консервной банки без дна и крышки. Сделайте вертикальный разрез и расправьте боковину на столе. В результате получился прямоугольник, одна из сторон которого, понятно, равна высоте банки , а другая – длине окружности . Площадь же прямоугольника рассчитывается элементарно:

Решение проводится по аналогии с Задачей 6, примерный образец в конце урока.

Закрепим типовик своего рода обратными задачами:

Определить наибольшую вместимость цилиндрического бака, если его площадь поверхности (без крышки) должна равняться

Решение: в данном случае всё наоборот – известна площадь поверхности (если трудно, замените конкретным числом) и требуется определить максимальный объём бака.

За «икс» обозначим… а зачем, собственно, лишние буквы? Ещё с первых уроков о производной многие поняли, что дифференцировать можно по любой переменной, и сейчас мы окончательно избавимся ото всех комплексов.

От какой переменной искать функцию объёма? В соответствующей формуле наиболее «наворочен» радиус, поэтому логично попытаться составить функцию , зависящую именно от него. Нужно только выразить высоту .

Сумма площадей дна (не забываем, что крышка отсутствует!) и боковой поверхности в точности равна известному значению: , откуда находим:

Таким образом:

Найдём критические точки:

Геометрическому смыслу задачи, разумеется, удовлетворяет положительный корень . Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция достигает максимума в точке .

При этом высота бака:

максимальный объём:

Ответ: радиус основания оптимального бака: , высота: , при этом максимальный объём:

Решение в общем виде, бывает, кажется непривычным, однако оцените его универсальность – теперь достаточно лишь подставить конкретное значение площади и сразу рассчитать размеры оптимального цилиндра.

Успокоительное задание для самостоятельного решения:

Прямоугольный лист картона имеет размеры . Требуется вырезать по его углам такие квадраты, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась коробка наибольшей вместимости.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Помимо рассмотренных выше геометрических объектов, на практике также можно встретить треугольники, трапеции, шары, конусы и т.д., но это более редкие гости (что касаемо забытых формул – справочники в помощь). К сожалению, нельзя объять необяътное, и поэтому в рамках этой статьи я ограничился самыми распространёнными примерами. И действительно, задач ведь придумать можно очень много – и всех их не перерешаешь, главное, чтобы вы хорошо поняли принципы и методы решения, которые я постарался изложить максимально пОлно и качественно.

Кроме того, существуют экстремальные задачи физического, химического, экономического и др. содержания, однако по причине отсутствия таковых в моей коллекции кот даже и не плакал. Но, понимая, что такое производная и обладая элементарной техникой дифференцирования, вы не должны испытать серьёзных затруднений с этими задачами, хотя для их решения, конечно, нужно разобраться и в самой физике/химии/экономике или иной предметной области.

Пример 3: Решение: найдем полупериметр прямоугольника: . Обозначим через длину стороны прямоугольника (любую). Тогда – длина смежной стороны:

Составим функцию площади прямоугольника:
.
Найдем критические точки:

– критическая точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума.
, значит, функция достигает максимума в точке .
Таким образом – оптимальная длина стороны прямоугольника, длина смежной стороны: ; при этом максимальная площадь:

Ответ: оптимальный прямоугольник представляет собой квадрат со стороной ; при этом максимальная площадь: .

Пример 5: Решение: выполним чертёж:

Пусть (как вариант, за «икс» можно обозначить или даже ).
Рассмотрим прямоугольный . По теореме Пифагора:

Составим функцию периметра прямоугольника:

Найдём критические точки:
Решим простейшее иррациональное уравнение:

Уравнению удовлетворяет корень (корень же появился в результате возведения обеих частей в квадрат и является посторонним).
Проверим выполнение достаточного условия экстремума.
Способ первый: определим знаки производной:

Примечание: используем стандартный метод интервалов: в производную подставляем какое-нибудь значение, лежащее левее точки , например, и подставляем какое-нибудь значение из правого интервала – проще всего взять .
Вывод: функция достигает максимума в точке .
Способ второй:

, значит, функция достигает максимума в точке .
Таким образом, размеры оптимального прямоугольника:

При этом максимальный периметр:

Ответ: оптимальный прямоугольник имеет размеры , при этом максимальный периметр:

Пример 7: Решение: составим функцию площади полной поверхности цилиндра , зависящую от его радиуса. Пусть – радиус дна (и крышки) консервной банки:

Тогда площадь дна: . Столько же и площадь крышки.
По условию объём консервной банки равен :

Выразим через площадь боковой поверхности банки:

Площадь полной поверхности банки равна сумме площадей дна, крышки и боковой поверхности:

Найдём критические точки:

– критическая точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция достигает минимума в точке .
Высота оптимальной банки:

Ответ: радиус основания оптимальной банки: , её высота:

Пример 9: Решение: пусть – сторона вырезаемых по углам квадратов (высота будущей коробки). Тогда смежные стороны дна коробки составят и :

Составим функцию объёма коробки:

Найдём критические точки:

Решим квадратное уравнение:

– критические точки. Второе значение не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи, поскольку суммарная длина отреза сверху и снизу (ширины листа).
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция достигает максимума в точке .
Ответ: размеры оптимальной коробки:
– высота (сторона вырезаемых по углам квадратов);
– длина;
– ширина;
при этом максимальный объем:
.