площадь поперечного сечения пирамиды

Видео:Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Как строить сечения тетраэдра и пирамиды

Площадь сечения пирамиды

Пирамида — это многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а боковые грани являются треугольниками, имеющие общую вершину. Основными математическими характеристиками пирамиды являются площадь основания и высота.

Сечение пирамиды — это изображение фигуры, образованной рассечением пирамиды плоскостью в поперечном или продольном направлении.

площадь поперечного сечения пирамиды

Формула для расчета площади основания пирамиды или сечения параллельного основанию:

a — размер основания или сечения пирамиды.

Формула для расчета площади диагонального сечения пирамиды:

a — основание пирамиды;
h — высота пирамиды.

Смотрите также статью о всех геометрических фигурах (линейных 1D, плоских 2D и объемных 3D).

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета площади основания, бокового и диагонального сечения пирамиды, если известны основание пирамиды и высота правильной четырехугольной пирамиды. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать площадь сечения пирамиды (площадь диагонального сечения пирамиды, площадь бокового сечения пирамиды, площадь основания пирамиды и площадь сечения пирамиды параллельного основанию).

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Как определить площадь сечения цилиндра, конуса, призмы и пирамиды? Формулы

На практике часто возникают задачи, которые требуют умения строить сечения геометрических фигур различной формы и находить площади сечений. В данной статье рассмотрим, как строятся важные сечения призмы, пирамиды, конуса и цилиндра, и как рассчитывать их площади.

Видео:10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сечений

Объемные фигуры

Из стереометрии известно, что объемная фигура совершенно любого типа ограничена рядом поверхностей. Например, для таких многогранников, как призма и пирамида, этими поверхностями являются многоугольные стороны. Для цилиндра и конуса речь идет уже о поверхностях вращения цилиндрической и конической фигур.

площадь поперечного сечения пирамиды Вам будет интересно: Что значит слыть: толкование, синонимы

Если взять плоскость и пересечь ею произвольным образом поверхность объемной фигуры, то мы получим сечение. Площадь его равна площади части плоскости, которая будет находиться внутри объема фигуры. Минимальное значение этой площади равно нулю, что реализуется, когда плоскость касается фигуры. Например, сечение, которое образовано единственной точкой, получается, если плоскость проходит через вершину пирамиды или конуса. Максимальное значение площади сечения зависит от взаимного расположения фигуры и плоскости, а также от формы и размеров фигуры.

Ниже рассмотрим, как рассчитывать площади образованных сечений для двух фигур вращения (цилиндр и конус) и двух полиэдров (пирамида и призма).

Видео:Сечение Пирамиды Плоскостью Параллельной боковому ребруСкачать

Сечение Пирамиды Плоскостью Параллельной боковому ребру

Цилиндр

Круговой цилиндр является фигурой вращения прямоугольника вокруг любой из его сторон. Цилиндр характеризуется двумя линейными параметрами: радиусом основания r и высотой h. Ниже схематически показано, как выглядит круговой прямой цилиндр.

площадь поперечного сечения пирамиды

Для этой фигуры существует три важных типа сечения:

Эллиптическое образуется в результате пересечения плоскостью боковой поверхности фигуры под некоторым углом к ее основанию. Круглое является результатом пересечения секущей плоскости боковой поверхности параллельно основанию цилиндра. Наконец, прямоугольное получается, если секущая плоскость будет параллельна оси цилиндра.

Площадь круглого сечения рассчитывается по формуле:

Площадь осевого сечения, то есть прямоугольного, которое проходит через ось цилиндра, определяется так:

Видео:Построение сечения пирамиды. Метод следов.Скачать

Построение сечения пирамиды. Метод следов.

Сечения конуса

Конусом является фигура вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Конус имеет одну вершину и круглое основание. Его параметрами также являются радиус r и высота h. Пример конуса, сделанного из бумаги, показан ниже.

площадь поперечного сечения пирамиды

Видов конических сечений существует несколько. Перечислим их:

  • круглое;
  • эллиптическое;
  • параболическое;
  • гиперболическое;
  • треугольное.

Они сменяют друг друга, если увеличивать угол наклона секущей плоскости относительно круглого основания. Проще всего записать формулы площади сечения круглого и треугольного.

Круглое сечение образуется в результате пересечения конической поверхности плоскостью, которая параллельна основанию. Для его площади справедлива следующая формула:

Здесь z — это расстояние от вершины фигуры до образованного сечения. Видно, что если z = 0, то плоскость проходит только через вершину, поэтому площадь S1 будет равна нулю. Поскольку z Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Видео:№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1

Свойства поперечных сечений пирамиды

Введение . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Понятие многогранника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Свойства пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Усеченная пирамида . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . 8

2.3. Построение пирамиды и ее плоских сечений. . . .9

3. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1. Изображение призмы и построение ее

4. Параллелепипед. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Некоторые свойства параллелепипеда. . . . . . . 16

5. Теорема Эйлера о многогранниках . . . . . . . . . . . . . . . 18

6. Подобие многогранников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. Правильные многогранники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1. Сводная таблица многогранников . . . . . . . . . . . 22

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Введение

Как-то Блез Паскаль сказал: «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее». С этой позиции попробуем рассмотреть стереометрию, являющуюся одним из разделов геометрии. Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве. Например, капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет и маленький теннисный шарик, и более крупные предметы — наша планета и многие другие космические объекты. А консервная банка — это цилиндр.

Стереометрия вокруг нас: в быту и в профессиональной деятельности. Мы, безусловно, не можем «увидеть» науку, но можем ежедневно лицезреть объемные тела в пространстве, которые она изучает. Разве не интересно рассматривать себя в зеркале со всех сторон? А ведь человеческая фигура — это тоже объемный предмет.

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, необходимо уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Назовем секущей плоскостью любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры. Секущая плоскость пересекает грани фигуры по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением фигуры. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

1. Понятие многогранника

Многогранник – геометрическое пространственное тело, ограниченное со всех сторон конечным числом плоских многоугольников. Гранями многогранника называются многоугольники, ограничивающие многогранник (грани — ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). Ребрами многогранника называются общие стороны смежных граней (ребра — AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). Вершинами многогранника называются вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящимися в одной точке. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани (BN). Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани (плоскость BEN).

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника его поверхности. Гранями выпуклого многогранника могут быть только выпуклые многоугольники (примером выпуклого многогранника может служить куб, рис. 1).

Если же грани многоугольника самопересекаются, то такой многогранник называется невыпуклым (рис. 2).

Сечением многогранника плоскостью называется часть этой плоскости, ограниченная линией пересечения поверхности многогранника с этой плоскостью.

площадь поперечного сечения пирамиды

площадь поперечного сечения пирамиды.

площадь поперечного сечения пирамиды площадь поперечного сечения пирамиды площадь поперечного сечения пирамидыплощадь поперечного сечения пирамиды

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого — произвольный многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

площадь поперечного сечения пирамиды площадь поперечного сечения пирамидыОснованием пирамиды называется многогранник, полученный в секущей плоскости (ABCDE). Боковыми гранями пирамиды называются треугольники ASB, BSC, … с общей вершиной S, которая называется вершиной пирамиды. Боковыми ребрами пирамиды называются ребра, по которым пересекаются боковые грани. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершин пирамиды на плоскость ее основания. Апофемой пирамиды называется высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды.

Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника.

Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

площадь поперечного сечения пирамиды площадь поперечного сечения пирамидыРассмотрим правильную пирамиду PA1A2…An . Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро PA1 – гипотенуза треугольника OPA1, в котором OP=h, OA1=R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно √(h 2 +R 2 ), поэтому PA1=PA2=…= PAn.

площадь поперечного сечения пирамидыМы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды PA1A2…An равны друг другу, поэтому боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны друг другу, так как A1A2…An – правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды.

Свойства пирамиды

Свойства поперечных сечений пирамиды.

1. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:

· площадь поперечного сечения пирамидыбоковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональ­ные отрезки;

· в сечении получится многоуголь­ник, подобный многоугольнику, лежащему в ос­новании;

· площади сечения и основания будут относиться друг к другу как квадраты их рас­стояний от вершины пирамиды:

площадь поперечного сечения пирамиды

2. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.

Площадью боковой поверхности (или просто боковой поверхностью) пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности (или просто полная поверхность) пирамиды — сумма площади ее боковой поверхности и площади основания.

Свойства высоты пирамиды

1. Если боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды проходит в плоскости этой грани.

2. Если два смежных боковых ребра пирамиды равны, то основание высоты пирамиды находится на перпендикуляре, проведенном через середину той стороны основания, из концов которой исходят эти боковые ребра.

3. Если две смежные боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе угла, образованного теми сторонами основания, через которые проходят эти боковые грани.

4. Если боковое ребро пирамиды образует равные углы с двумя примыкающими к нему сторонами основания, то основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе угла, образованного этими сторонами основания.

5. Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно пересекающейся с ним стороне основания, то основание высоты пирамиды находится на перпендикуляре, восстановленном (в плоскости основания пирамиды) к этой стороне из точки ее пересечения с этим боковым ребром.

ПРИМЕЧАНИЕ:если пирамида обладает какими — либо двумя из этих особенностей, то можно однозначно указать точку, являющуюся основанием высоты пирамиды.

площадь поперечного сечения пирамидыНа рисунке изображен фрагмент правильной n – угольной пирамиды SABCD…, где SH – высота пирамиды; SK – апофема. Введем следующие обозначения: угол альфа (ά) – угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания; бета (β)– угол между боковой гранью и плоскостью основания; угол игрек (γ) – угол между смежными боковыми ребрами; угол фи (φ) – угол между смежными боковыми гранями.

площадь поперечного сечения пирамиды

Если в правильной пирамиде известен один из этих углов, то можно найти остальные три. Шесть отношений приведены в таблице:

площадь поперечного сечения пирамиды

Объем пирамиды находится по формуле:

где Sосн – площадь основания, H – высота.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды выражается так:

где P – периметр основания, h – высота боковой грани

2.2. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, например пирамида ABCDA1B1C1D1.

площадь поперечного сечения пирамидыОснованиями усеченной пирамиды называются параллельные грани ABCD и A1B1C1D1 (ABCD – нижнее основание, а A1B1C1D1 – верхнее основание).

Высота усеченной пирамиды – отрезок прямой, перпендикулярный основаниям и заключенный между их плоскостями.

Усеченная пирамида правильная, если ее основания – правильные многоугольники, а прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

площадь поперечного сечения пирамидыАпофемой усеченной пирамиды называют высоту ее боковой грани.

Боковой поверхностью усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Полная поверхность усеченной пирамиды равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Усеченная пирамида получается из пирамиды отсечением от нее верхней части плоскостью, параллельной основанию. Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, боковые грани – трапеции.

Объем усеченной пирамиды находится по формуле:

площадь поперечного сечения пирамидыV=1/3 H(S+SS1 +S1),

где S и S1 – площади оснований, а H – высота.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды выражается так:

где P и P1 – периметры оснований, h – высота боковой грани (или апофема правильной усеченной пирамиды).

2.3. Построение пирамиды и ее плоских сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. а). В частности, также треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два не соседних боковых ребра пирамиды (рис. б).

площадь поперечного сечения пирамидыплощадь поперечного сечения пирамиды

площадь поперечного сечения пирамиды площадь поперечного сечения пирамиды площадь поперечного сечения пирамидыплощадь поперечного сечения пирамиды

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

площадь поперечного сечения пирамидыЕсли на грани, не параллельной следу g, известна какая — нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани — точка D на рисунке (в). Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. площадь поперечного сечения пирамидыПереходя к соседней боковой грани, площадь поперечного сечения пирамидыстроят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

площадь поперечного сечения пирамиды

площадь поперечного сечения пирамиды

На данном рисунке построено сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер.

площадь поперечного сечения пирамидыПризмой (n-угольной призмой) называется многогранник, у которого две грани (называемые основаниями) — равные n-угольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные n грани (боковые грани) — параллелограммы, у которых две стороны лежат на основаниях. Общие стороны боковых граней призмы называются боковыми ребрами призмы.

площадь поперечного сечения пирамидыНа данном рисунке изображена пятиугольная призма. У нее основаниями являются пятиугольники А1А2. А5, А1 ’ А’2. А’5. XX’ — отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований. Боковые ребра призмы — отрезки А1А’2, А1А’2, . А5А’5. Боковые грани призмы — параллелограммы А1А2А’2А1 , А2А3А ’ 3А’2, . .

Отрезок XX’ прямой, перпендикулярной плоскостям оснований призмы, заключенный между ними, называется высотой призмы.

Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани. У n-угольной призмы n (n-3) диагонали.

Диагональной плоскостью призмы принято называть плоскость, проходящую через диагональ основания и боковое ребро призмы, а фигуру, полученную при пересечении этой плоскости с поверхностью призмы, называют диагональным сечением призмы (A4A2A * 4). Сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам, называют перпендикулярным сечением призмы.

площадь поперечного сечения пирамиды

Угол между плоскостью и перпендикулярного сечения призмы и плоскостью ее основания равен углу между боковым ребром и высотой призмы.

Сечения призмы плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением призмы.

🎦 Видео

Построение сечения пирамиды по трем точкамСкачать

Построение сечения пирамиды по трем точкам

Построение сечений (часть 1). Пирамиды. сечениеСкачать

Построение сечений (часть 1). Пирамиды. сечение

C2. Найти площадь сечения пирамиды плоскостьюСкачать

C2. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью

№3. Как строить сечения пирамидСкачать

№3. Как строить сечения пирамид

Основы Сопромата. Геометрические характеристики поперечного сеченияСкачать

Основы Сопромата. Геометрические характеристики поперечного сечения

Как строить сеченияСкачать

Как строить сечения

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Построение сечения четырехугольной пирамидыСкачать

Построение сечения четырехугольной пирамиды

Задача 14: Периметр сечения пирамидыСкачать

Задача 14: Периметр сечения пирамиды

Площадь сеченияСкачать

Площадь сечения

Как правильно построить сечение пирамиды плоскостью.Скачать

Как правильно построить сечение пирамиды плоскостью.

10 класс, 32 урок, ПирамидаСкачать

10 класс, 32 урок, Пирамида

Урок #28 │СЕЧЕНИЕ ПИРАМИДЫ ПЛОСКОСТЬЮСкачать

Урок #28 │СЕЧЕНИЕ ПИРАМИДЫ ПЛОСКОСТЬЮ

Построение сечений Занятие 1Скачать

Построение сечений Занятие 1
Поделиться или сохранить к себе: