- КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА.
- Интегрирование.
- Площадь прямоугольника
- Перегруппировка
- Метод неделимых
- Геометрические приложения определенного интеграла
- Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла
- Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости
- Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости
- Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара
- Вывод формулы для площади сферы
- Как найти площадь поверхности вращения с помощью интеграла
- Вычисление площади поверхности вращения, заданной в прямоугольных координатах
- Вычисление площади поверхности вращения, заданной параметрически
- Вычисление площади поверхности вращения, заданной в полярных координатах
- 📹 Видео
Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать
КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА.
Как найти площадь круга? У меня этот вопрос встал очень остро на экзамене по физике в университете, когда я решал одну из задач. Память человека вещь непредсказуемая, сегодня ты помнишь все до мелочей, а завтра это все уже выветрилось из головы. И благо если это была глупость какая, а если нет? Если это день рождения жены или тещи, пароль аккаунта в контакте, или площадь круга. Как это было в моем случае.
Здравствуйте дорогие друзья, меня зовут Валентин Анатольевич, и сегодня мы вычисляем площадь круга 3 способами. Точнее способ будет один, это формула 
, но вот варианты ее получения будут различны.
Честно говоря, я уже и не помню правильно или нет решил ту задачу, я даже не помню, что это была за задача. Но сам момент того, как выполняя промежуточные расчеты я интегрировал уравнение окружности, чтоб получить казалось бы, простейшую формулу из школьной программы… сильно врезался в память
Итак, первый способ у нас будет от студентов физико-математических факультетов.
Интегрирование.
1. Берем уравнение окружности. Для тех, кто не знает его легко получить из теоремы Пифагора, заменив там катеты на координаты x и y, а за гипотенузу приняв радиус R. Конечно, при условии, что центр окружности будет находится на пересечении координатных осей.
К счастью, это я помнил.
2. Выражаем y.
3. Если вычислить определенный интеграл для значений x от 0 до R, мы получим площадь одной четверти круга.
Соответственно, чтоб получить всю площадь, нам необходимо будет все это безобразие до множить на 4.
4. Давайте выполним замену переменной, и представим x как 
. Тогда: 
.
5. Найдем пределы интегрирования. Для этого необходимо в наше уравнение замены переменной подставить значения x и вычислить чему будет равно t при этих значениях. Получаем промежуток от 0 до 
.
6. Итак запишем нашу формулу:
7. Сделаем еще кое какие математические преобразования и вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона -Лейбница.
Готово. В принципе, не так сложно если не впадать в ступор при виде синусов и косинусов, а также уметь интегрировать.
Но вот вопрос. Люди умели находить с большой точностью площадь круга и до интегрального исчисления. Поэтому давайте попробуем обойтись интегралов.
Площадь прямоугольника
Условно, можно сказать, что площадь — это количество квадратиков, со стороной в единицу помещающихся в данной фигуре. К примеру, кухня в хрущевке имеет размеры 2 на 3 метра. Перемножаем длину на ширину и получаем площадь 6 квадратных метров. То есть если у нас имеется 6 квадратных кусков линолеума, со стороной в 1 метр, мы ими полностью без остатка, покроем весь пол.
Прямоугольную кухню легко разбить на квадраты, но что делать если у нас круг? Скажем круглый кусок сыра.
Любой старший прапорщик, обладая не дюжей армейской смекалкой вам скажет, что нужно в таком случае из круга сделать прямоугольник. И он окажется прав. Почему? По тому что старший прапорщик всегда прав.
В общем метод номер два. Метод старших прапорщиков.
Перегруппировка
Делим круг на восемь равных секторов и совмещаем друг с другом. 
Отдаленно напоминает прямоугольник? Нет? Отжимаемся восемь раз, и делим еще.
Если секторов будет бесконечно много, то в таком случае, искривления их дуг будут незначительны. А это значит мы получим уже треугольники.
Опять совместим их друг с другом как и в первом случае. И у нас уже идеальный прямоугольник, с шириной равной радиусу 
, и длиной в половину длины окружности, то есть 
.
Перемножаем получаем:
Если внимательно посмотреть на полученную формулу мы увидим, что с её помощью можно найти площадь прямоугольного треугольника с основанием равным длине окружности и высотой равной ее радиусу.
Равенство площадей такого треугольника и круга доказывал Архимед, в своей работе о площадях круга.
Я не буду приводить здесь доказательство этой теоремы, скажу только, что Архимед использовал многоугольники. Один вписанный в окружность, а другой описанный вокруг нее. Площадь круга находилась где-то между площадями этих многоугольников, причем при увеличении сторон, их площади приближались друг к другу, а значит приближались и к площади круга.
Но все же как получить из круга треугольник? Давайте воспользуемся методом неделимых Бонавентуры Кавальери.
Метод неделимых
Представим, что наш круг состоит из бесконечно большого числа окружностей, толщина линий которых стремится к нулю. Если развернуть эти окружности в отрезки и сложить друг на друга стопкой, мы получим треугольник с основанием равным длине большей окружности, то есть 
и высотой равной радиусу.
Площадь треугольника как известно это половина произведения основания на высоту.
Или в нашем случае 
. 
Те, кто внимательно слушал, наверно помнят, что в теореме Архимеда говорится о прямоугольном треугольнике. Но его довольно легко получить сместив наши отрезки к левому или правому краю. К слову, так легким движением мы докажем еще одну теорему из школьной геометрии. Если знаете какую, пишите в комментариях.
Так же можете написать, как старшие прапорщики находят объем шара, или как бы с этой задачей справился Бонавентура Кавальери.
А я с вами прощаюсь, желаю счастья и до скорых встреч.
Видео:Площадь круга, продолжение, вывод через интегралыСкачать
Геометрические приложения определенного интеграла
 Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла |
| Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости |
| Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости |
| Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара |
| Вывод формулы для площади сферы |
Видео:Площадь круга через интегралСкачать
Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла
В данном разделе справочника приведена таблица, содержащая формулы, с помощью которых можно вычислить:
Площади криволинейных трапеций различного вида (площади фигур, ограниченных графиками функций);
Длины дуг кривых на плоскости;
Объемы тел, если известны площади их поперечных сечений;
Объемы тел, полученных при вращении криволинейных трапеций вокруг оси абсцисс Ox ;
Площади поверхностей тел, полученных при вращении графиков функций вокруг оси абсцисс Ox .
| Рисунок | Формула | Описание | |||||||
 |  | ||||||||
 |  | ||||||||
 |  | ||||||||
 |  | ||||||||
 |  | ||||||||
 |  |
,
.
.
, 8 .
 | (1) |
Подставим найденную производную в формулу (1), а затем вычислим полученные интегралы при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона — Лейбница:
Ответ . 
Видео:Как вывести формулу площади круга?Скачать
Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара
Решение . Рассмотрим произвольную n — угольную пирамиду BA1A2 . An с вершиной B, высота BK которой равна H, а площадь основания A1A2 . An равна S. Обозначим через S (x) площадь сечения 
этой пирамиды плоскостью, параллельной параллельной основанию пирамиды и находящейся на расстоянии расстоянии x от вершины пирамиды B (рис. 4).
Поскольку многоугольники и A1A2 . An подобны с коэффициентом подобия 
, то площади этих многоугольников удовлетворяют равенству
 | (2) |
Рассмотрим теперь в пространстве систему координат Oxyz и расположим нашу пирамиду BA1A2 . An так, чтобы ее вершина B совпала с началом координат O, а высота пирамиды BK оказалась лежащей на оси Ox (рис. 5).
Тогда сечение пирамиды и будет поперечным сечением, поскольку его плоскость перпендикулярна оси Ox.
Итак, мы получили формулу для объема пирамиды
котрой пользовались в различных разделах справочника.
Замечание . Совершенно аналогично выводится формула для объема конуса. Формулы для объема прямой призмы объема прямой призмы и для объема цилиндра вывести таким способом еще проще, поскольку у них все сечения, перпендикулярные высоте, равны между собой. Мы рекомендуем провести эти выводы читателю самостоятельно в качестве полезного упражнения.
Пример 5 . Вывести формулу для объема шара радиуса R, воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения.
 | (3) |
графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O. Шар радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции (3) и ограниченной снизу отрезком
оси Ox (рис. 6).
что и должно было получиться.
Видео:Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]Скачать
![Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]](https://i.ytimg.com/vi/JsrRqLK8zKg/0.jpg)
Вывод формулы для площади сферы
Решение . Снова рассмотрим функцию
| (4) |
графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O (рис. 7).
Поскольку сфера радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox графика функции (4), то в соответствии с формулой для вычисления площади поверхности тела вращения получаем
Подставим найденную производную в выражение, стоящее под знаком квадратного корня:
Таким образом, подынтегральная функция принимает вид:
Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать
Как найти площадь поверхности вращения с помощью интеграла
Прежде чем перейти к формулам площади поверхности вращения, дадим краткую формулировку самой поверхности вращения. Поверхность вращения, или, что то же самое — поверхность тела вращения — пространственная фигура, образованная вращением отрезка AB кривой вокруг оси Ox (рисунок ниже).
Представим себе криволинейную трапецию, ограниченную сверху упомянутым отрезком кривой. Тело, образованное вращением этой трапеции вокруг то же оси Ox, и есть тело вращения. А площадь поверхности вращения или поверхности тела вращения — это его внешняя оболочка, не считая кругов, образованных вращением вокруг оси прямых x = a и x = b .
Заметим, что тело вращения и соответственно его поверхность могут быть образованы также вращением фигуры не вокруг оси Ox, а вокруг оси Oy.
Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать
Вычисление площади поверхности вращения, заданной в прямоугольных координатах
Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая, вращением которой вокруг координатной оси образовано тело вращения.
Формула для вычисления площади поверхности вращения следующая:
(1).
Пример 1. Найти площадь поверхности параболоида, образованную вращением вокруг оси Ox дуги параболы 
, соответствующей изменению x от x = 0 до x = a .
Решение. Выразим явно функцию, которая задаёт дугу параболы:
Найдём производную этой функции:
Прежде чем воспользоваться формулу для нахождения площади поверхности вращения, напишем ту часть её подынтегрального выражения, которая представляет собой корень и подставим туда найденную только что производную:
Далее по формуле (1) находим:
Ответ: длина дуги кривой равна
.
Пример 2. Найти площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси Ox астроиды 
.
Решение. Достаточно вычислить площадь поверхности, получающейся от вращения одной ветви астроиды, расположенной в первой четверти, и умножить её на 2. Из уравнения астроиды выразим явно функцию, которую нам нужно будет подставить в формулу для нахождения площади повержности вращения:
.
Производим интегрирование от 0 до a:
Ответ: площадь поверхности вращения равна 
.
Видео:Астроида: найдем площадь и длину через определенный интегралСкачать
Вычисление площади поверхности вращения, заданной параметрически
Рассмотрим случай, когда кривая, образующая поверхность вращения, задана параметрическими уравнениями
Тогда площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
(2).
Пример 3. Найти площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной циклоидой и прямой y = a . Циклоида задана параметрическими уравнениями
Решение. Найдём точки пересечения циклоиды и прямой. Приравнивая уравнение циклоиды 
и уравнение прямой y = a , найдём
Из этого следует, что границы интегрирования соответствуют
Теперь можем применить формулу (2). Найдём производные:
Запишем подкоренное выражение в формуле, подставляя найденные производные:
Найдём корень из этого выражения:
.
Подставим найденное в формулу (2):
.
И, наконец, находим
В преобразовании выражений были использованы тригонометрические формулы
Ответ: площадь поверхности вращения равна 
.
Видео:Найдем площадь и центр тяжести через двойной интегралСкачать
Вычисление площади поверхности вращения, заданной в полярных координатах
Пусть кривая, вращением которой образована поверхность, задана в полярных координатах:
Площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:
(3).
Пример 4. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты 
вокруг полярной оси.
Решение. Действительные значения для ρ получаются при 
, то есть при 
(правая ветвь лемнискаты) или при 
(левая ветвь лемнискаты).
Решение. Дифференциал корня из формулы площади поверхности вращения равен:
В свою очередь произведение функции, которой задана лемниската, на синус угла равно
.
Поэтому площадь поверхности вращения найдём следующим образом:
.
📹 Видео
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
ПЛОЩАДЬ КРУГА. ЛАЙФХАК #math #логика #загадка #математика #геометрияСкачать
Определённый интеграл. ПлощадьСкачать
Доказательство площади окружности через интегралСкачать
Площадь сферы внутри цилиндра. Поверхностный интегралСкачать
Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать
Площадь круга - Доказательство Архимеда πR²Скачать
Площадь кругаСкачать
Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать
