Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = sin x на отрезках: а) [0, π]; б) [0, 2π].
а) На отрезке [0, π] функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле 
, полагая y = sin x, находим
б) На отрезке [0, 2π], функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок [0, 2π] разделить на два [0, π] и [π, 2π], в каждом из которых функция сохраняет знак.
По правилу знаков, на отрезке [π, 2π] площадь берется со знаком минус.
Площадь под синусоидой
Как посчитать площадь под синусоидой? Более точно: площадь, между графиком функции $sin x$ и его «основанием».
Оказывается, эту площадь можно посчитать без применения интегралов, по сути — ничего не считая! Стоит только вспомнить, что функция синуса — нечётная, т.е. $sin (-x)=-$. На геометрическом языке это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.
Центральная симметрия подсказывает идею модели, иллюстрирующую подсчёт площади. На листе бумаги распечатаем график синуса и закрасим под ним площадь на отрезке $[-pi/2, pi/2]$. На «прозрачке» повторим картинку.
Если наложить прозрачку на бумажный график, то картинки, естественно, совпадут. Воткнув канцелярскую скрепку в начало координат, повернём прозрачку на $180^circ$. Кривая синуса совпадёт с собой! А вот закрашенным, причём без наложений, окажется уже весь прямоугольник $[-pi/2, pi/2]times [-1,1]$. Посчитать площадь прямоугольника, а затем поделить пополам, — несложно.
PDF для печати (695 КБ)
Итак, площадь под синусом (между графиком функции $sin x$ и его «основанием») на участке $[-pi/2, pi/2]$ равна $pi$, а на полном периоде, соответственно, $2pi$. Этот факт в совокупности с лепестками Роберваля, о которых будет отдельный сюжет, дают способ вычислить площадь под аркой циклоиды.
По сути, модель основана на том, что синусоида делит прямоугольник на две равновеликие части. Подобный трюк, очевидно, можно проводить и с другими нечётными (или сводящимися к ним) функциями.
4.I. Вычисление площадей
Внимательно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 193—196. Разберите примеры, приведенные в п° 196. При решении задач с геометрическим содержанием всегда старайтесь сопроводить решение чертежом.
I. Уравнения кривых заданы в декартовой системе координат.
443. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы , прямыми X=I9 х — А и отрезком
Решение. В теоретическом курсе показано, что площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу
В данном случае (рис. 5) криволинейная трапеция ABDC9 площадь которой мы вычисляем, ограничена параллельными прямыми AB и CD, отрезком прямой AC и отрезком кривой линии BD.
Искомая площадь равна:
444. Вычислить площадь трапеции, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой х = 2.
Решение. Из рисунка 6 видно, что искомая площадь расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно,
445. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми;
Решение. На рисунке 7 изображена фигура, площадь которой мы должны вычислить. Как видно из рисунка, площадь фигуры OBMAO можно представить как разность двух площадей (пл. OBMPO и OAMPU1 где MP — перпендикуляр, опущенный из точки M на ось Ох).
Найдем координаты точки Al. Решая систему уравнений
получим Следов ат ельн о,
Легко видеть, что данную задачу можно решить и другим путем. Искомую площадь можно представить в виде разности двух площадей—пл. OAMNO и пл. OBMNO (MN — перпендикуляр, опущенный из точки M на ось Oy):
Ясно, что значение площади OBMAO не зависит от способа ее вычисления.
446. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой:
Решение. Из уравнений кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси Ох. Следовательно, можно легко вычислить половину искомой площади (см. рис. 8).
Рекомендуем провести самостоятельно подробное исследование кривой.
Записав уравнение кривой в виде легко найдем точки пересечения кривой с осью Ох, положив у = 0. Мы получим. Учитывая все сказанное, окончательно найдем:
447. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой w И осью Ох, если
Вся площадь петли равна:
Решение. Из рисунка 9 видно, что искомая площадь на сегменте Расположена над осью Ох, а на сегменте
Под осью Ох. Следовательно, достаточно вычислить площадь, ограниченную полуволной синусоиды на отрезке |, и удвоить полученный результат:
448. Найти всю площадь фигуры, ограниченной кривыми , прямыми X = 3, X = —2 и осью Ох.
Решение. Из рисунка 10 видно, что искомая площадь может быть представлена как сумма площадей:
где BA и MN—перпендикуляры, опущенные из точек В и Al на ось Ох.
Определим координаты точек В, С, М, Р. Для этого решим следующие системы уравнений:
Решая систему (I) уравнений, найдем координаты точек В и M : В (I, 2), M <— I, 2).
Решая систему (2) уравнений, найдем координаты точки С : С (3, К».
Решая систему (3) уравнений, найдем координаты точки P : Р(— 2, 5).
Найдем теперь значения промежуточных площадей:
449. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
450. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
451. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами:
452. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
453. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
454. Найти площадь «Ьигуоы. огоаниченной линиями:
455. Найти площадь круга:
456. Найти площадь эллипса
457. Найти площадь, заключенную между кривыми
458. Найти площадь фигуры, ограниченной гипоци-лоидой
459. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой
460. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой , осями координат и прямой х=3,5.
461. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми:
462. Найти площадь частей эллипса отсеченных гиперболой
463. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
464. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми
2. Кривые заданы параметрическими уравнениями. Если кривая, ограничивающая площадь плоской фигуры, задана параметрическими уравнениями:
где функции Непрерывны вместе со своими про
изводными на То для вычисления площади
плоской фигуры следует в определенном интеграле произвести замену переменной:
465. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом!
Решение. Эллипс расположен симметрично относительно обеих осей (рис. Последовательно, можно вычислить сначала • часть площади данной фигуры. Вычислим площадь той части плоской фигуры, которая расположена в первом квадранте:
Найдем пределы интегрирования для переменной t из условий:
466. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой:
PsP ш е н и е. Искомая площадь изображена на рисунке 12. Вычислим сначала площадь тсй части плоской фигуры, которая расположена в первом квадранте, это будет
часть всей искомой площади. Найдем пределы интегрирования для переменной / из условий:
467. Вычислить площадь, ограниченную одной аркой циклоиды: И осью Ох.
Решение. Из рисунка 13 видно, что при изменении параметра t от 0 до 2л точка (ху у) обегает всю арку циклоиды, причем х изменяется в промежутках от 0 до 2т. Следовательно,
Вся площадь, ограниченная астроидой, равна:
468. Вычислить площадь четверти круга: x = 2cos t, y = 2sint.
469. Найти площадь, ограниченную эволютой эллипса:
(.Эволютой кривой называется геометрическое место её центров кривизны. Эволютой эллипса является деформированная астроида.)
470. Найти площадь, ограниченную кардиоидой:
х = a(2cost — cos 21), у = a (2sin/— sin 2/).
3. Кривые заданы в полярной системе координат. Из
теоретического курса известно, что площадь S1 ограниченная неподвижным полярным радиусом г0, подвижным полярным радиусом г и кривой г — /(ф), может быть вычислена по следующей формуле:
S = — j J/-2 Лр = J — j /( найдут* ся из условия cos ф> 0, следовательно,