площадь под кривой физический смысл (2 видео)

Содержание

Интуитивное объяснение интеграла. Часть I — от умножения натуральных чисел до Ньютона и Лейбница
0. Предисловие
1. Предпосылки возникновения интегрирования
2. Геометрический и аналитико-алгебраический смысл интегрирования
3. Интуитивные способы отыскания значения интеграла
4. Отыскание значения интеграла через отыскание первообразной
Вычисление случайных погрешностей при прямых измерениях
Исследование малых деформаций жесткоупругих и вязкоупругих систем. Закон Гука
🔍 Видео

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Интуитивное объяснение интеграла. Часть I — от умножения натуральных чисел до Ньютона и Лейбница

Видео:Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Высшая математика.Скачать

0. Предисловие

Математика представляет собой универсальный, мощный и элегантный раздел знания. По-сути её предмет и значение невозможно разделить с наиболее фундаментальными разделами философии — логикой, онтологией и теорией познания. Именно поэтому она касается прямо или косвенно всех аспектов любого прикладного или теоретического знания.

К сожалению, так сложилось, что многим (и мне) она, порой кажется, слишком сложной, недоступной, наукой для избранных. Между тем, так только кажется ! Безусловно, она требует интеллектуального напряжения, памяти, воображения и много чего ещё, как и многие другие интеллектуальные занятия.

Отличительными особенностями её являются:

использование особой знаковой системы (цифры, буквы разных алфавитов, языковые правила и т.д.),

логическая строгость (понятия, определения, суждения, правила вывода задаются в явном и точном виде),

последовательность (не поймёшь пункт 3, если не понял пункты 1 и 2),

высокая плотность информации на единицу текста (часто смысла в тексте гораздо больше, чем в текстах иного содержания).

Легко показать, что любой интеллектуально развитый человек регулярно использует те же мыслительные конструкции, что и математика. Когда мы говорим давайте рассмотрим десять каких-либо операций (алгоритм) вроде кулинарного рецепта или простейшей программы или рассмотрим какой-либо частный случай явления, определим его свойства, отношения с другими явлениями, изучим структуру — мы прибегаем к универсальным способам мышления, которые характерны для любого знания и в том числе математического.

Эта статья никогда бы не появилась на свет, если бы учебная литература была бы настолько совершенна, что могла бы легко объяснить, что такое интеграл. Перечитав десятки книг и статей я с уверенностью могу сказать, что ни одна из них не объясняет все нюансы этого вопроса так и таким образом, чтобы среднему, неискушённому человеку было всё абсолютно ясно.

Многие источники не удовлетворительны по следующим причинам:

Говорят о какой-то площади под кривой при том, что читатель ни сном, ни духом не задумывался о площади, тем более под кривой и какой-то связи этой площади с универсальной идеей суммирования переменных величин

Без интуитивного подведения читателя через сложение и умножение чисел, основательного разъяснения связи …. сразу бросаются к определению интеграла через предел римановской суммы

Забывают рассказать об историческом процессе развития математики (зачем ввели интеграл, какие открытия этому предшествовали, что подвело к этому, как считали интегральные суммы до этого, как Ньютон и Лейбниц считали интегралы и т.д.)

Не считают нужным или не хотят привести пару тройку простых примеров интегрирования из прикладных наук

Сыпят доказательствами утверждений, которые новичку покажутся неуместными или второстепенными

Забывают напомнить выводы, обозначения и утверждения, использованные или доказанные ранее

Пропускают те или иные алгебраические преобразования, которые «очевидны» автору, но могут запутать новичка

Автору надоело чувствовать неясность и он решил взять дело в свои руки — расписать все аспекты так, чтобы было всё предельно ясно и понятно.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

1. Предпосылки возникновения интегрирования

Интеграл и интегрирование являются неотъемлемыми и последовательными элементами исследования величин и функций. Интегрирование теснейшим образом связано с важнейшими способами анализа и исследования числовых функций — средними, предельными, бесконечно малыми, бесконечно большими величинами, пределами, дифференциалами, производными и т.д. А потому, без осознания и исследования этих понятий невозможно и формирование понятия интеграла.

Исторически и логически они развивались и развиваются слитно и нераздельно.

Во введении к книге «Развитие понятия интеграла» известный историк математики профессор Фёдор Андреевич Медведев так охарактеризовал сущность интегрирования и процесс его развития в науке «. Интегрирование представляет собой абстрактное выражение разнообразнейших способов измерения величин, и по мере вовлечения в человеческое познание всё новых и новых объектов реальной действительности математики создают всё более и более общие схемы интеграционных процессов с тем, чтобы охватить всё расширяющийся круг объектов, подлежащих измерению» [1].

Как известно осознание самостоятельной значимости и полноценное развитие математики начались в Древней Греции. Постепенное накопление прикладных знаний о различного рода вычислительных, логических и геометрических задачах неизбежно привело к формированию теоретических начал и абстрактных представлений о существе многих математических идей.

Корпус прикладных и теоретических знаний накапливался и формировался шаг за шагом за счёт осмысления логического устройства мышления, применения арифметических операций, составления и решения алгебраических уравнений, построения и изучения свойств плоских и объёмных геометрических фигур.

Видео:Геометрический смысл определенного интеграла (1)Скачать

2. Геометрический и аналитико-алгебраический смысл интегрирования

Естественным образом, возникает два вида задач, которые отражают два смысла интегрирования: — геометрический и аналитико-алгебраический. Первый — отыскание площади плоской фигуры под произвольной кривой (квадратура) и отыскание объёма (кубатура). Второй — подсчёт суммарного значения некой переменной величины [2], которая изменяется, принимает различные значения сообразно единицам времени, длины и т.д.

Согласно дошедшим до нас источникам, именно отыскание квадратуры является первой формой постановки задачи интегрирования. Задача явно сформулирована и решена в трудах Евдокса Книдского (сформулировал метод исчерпывания, позднее развитый в XVI веке в метод неделимых), Евклида и Архимеда. Древнегреческих математиков интересовали задачи отыскания площади круга, поверхности сферы, сегмента параболы, а также объёма шара, цилиндра, пирамиды, конуса, тетраэдра и ряда других геометрических фигур.

Под проведением квадратуры понималось построение с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого заданной фигуре (то есть имеющего такую же площадь) или прямое вычисление соответствующей площади. Вероятно связи геометрии и анализа если и обнаруживались, то интуитивно и неявно. Во всяком случае координатный метод и понятия дифференциального исчисления точно не были известны, хотя и почти что точно были так или иначе интуитивно восприняты и неявно затронуты.

Что касается второго типа задач. Интегралы часто описываются как площадь под кривой. Это описание сбивает с толку. Точно также, как если сказать, что умножение — это нахождение площади прямоугольника. Именно понимание сущности умножения применительно к различного рода частным случаям позволяет понять аналитико-алгебраическую суть интегрирования.

Понимание и использование простейших случаев умножения, к примеру, умножения натуральных чисел, было известно с древнейших времён.

Однако, за всеми частными случаями умножения находится определённая общность. Вот как можно описать умножение чисел из различных числовых множеств:

В случае с натуральными числами. К примеру, умножим число 3 на число 4, то есть 3 × 4. Умножение — это повторяющееся сложение, то есть произведение чисел получим сложив число три четыре раза или наоборот сложив число четыре три раза [3].

В случае с вещественными числами.

Возьмём одно рациональное число — дробь, а другое целое. К примеру, умножим 3,5 на 2, то есть — 3,5 × 2. Умножение — это повторяющееся сложение, произведение получим сложив число три целых и пять десятых два раза. Также, получить произведение можно путём сложения произведений вначале целой части числа 3,5 то есть 3 на 2, а затем дробной то есть 0,5 на 2. Для целой части — сложим число три два раза, а для дробной части — возьмём единицу разделим на десять, затем возьмём пять частей от деления то есть пять десятых и сложим два раза.

Возьмём два рациональных числа — две дроби и получим произведение. К примеру, умножим 3,5 на 2,1 то есть — 3,5 × 2,1, произведение получим сложив произведение 3,5 на 2 и 3,5 на 0,1 [4]. Словесно это будет выглядеть следующим образом, для первого произведения — сложим число три целых пять десятых два раза, для второго — разделим число три целых пять десятых на десять частей и возьмём одну часть то есть одну десятую.

В случае с отрицательными числами (-2,3 × 4,3), умножение — сумма произведений и разворот числовой оси или иными словами отражение суммарного значения произведения — в данном случае числа 9,89 относительно начала отсчёта, то есть числа ноль, в результате получаем -9,89.

В случае с комплексными числами (3 × 3i), умножение выступает вращением и масштабированием.

Мы ходим вокруг да около «применения» одного числа к другому, и действия, которые мы применяем (повторное суммирование, масштабирование, зеркальное отображение или вращение), могут быть разными. Интегрирование — это всего лишь еще один шаг в этом направлении.

Когда мы умножаем числа мы повторяем сложение, где в каждом слагаемом знаем какие находятся операнды, а именно — повторяющиеся числа.

К примеру, если мы хотим вычислить пройденный путь телом, движущимся с одинаковой скоростью в каждый момент времени, то мы просто перемножим скорость на время (значение функции скорости одинаково, а геометрически грубо говоря одинаково во всем прямоугольнике).

Но изменяющаяся скорость требует совмещения скорости и времени по частям (момент за моментом, секунда за секундой). В каждый момент скорость может быть разной.

Вот как это выглядит в большой перспективе:

Обычное умножение (прямоугольник): берем расстояние, на которое мы продвинулись за секунду, предполагая, что эта величина была постоянной во все последующие секунды движения, и «масштабируем ее».

Интегрирование (по частям): рассматриваем время как ряд мгновений, в каждое из которых скорость разная. Суммируем расстояния, пройденные в каждое из мгновений (секунд, миллисекунд и т. д.).

То есть, интегральную сумму (значение интеграла, определённый интеграл) можно определить, как максимально точную сумму значений искомой переменной величины

при её изменении в промежутке от до где а .

Точность достигается в пределе, то есть при всё большем уменьшении размера промежутков между значениями или, что тоже самое, при всё большом увеличении числа отрезков (числа — обозначающего индекс-номер последнего отрезка)

Несомненно греческих и более поздних мыслителей интересовали задачи на отыскание суммарного значения переменных величин. Вероятно их устраивало простое суммирование значений переменной величины, приближённые вычисления. Если мы возьмём приращение переменной равное единице, то интеграл приближённо будет равен сумме значений функции в рассматриваемом промежутке.

В дальнейшем, начиная с XVI века (работы Галилея, Кеплера, Кавальери и других о методе неделимых) понимание интегрирования постепенно совершенствовалось и развивалось пока не достигло формализации у Бернхарда Римана в середине XIX века и дальнейшего обобщения.

Видео:Понятие определенного интеграла, его геометрический смыслСкачать

3. Интуитивные способы отыскания значения интеграла

Итак, каким же образом вычислить интегральную сумму ? Можно попробовать несколько способов:

Умножить совокупное приращение переменной на значение функции и получить площадь прямоугольника, который добавит значительный излишек, либо срежет значительную часть в зависимости от того какое значение функции мы выберем. Вручную мы можем подобрать такое значение функции, что при умножении её на приращение переменной мы получим довольно точное значение площади (определённого интеграла в промежутке). Для этого нам потребуется провести линию так, чтобы площадь излишка примерно равнялась срезанной площади. Однако, это не даст нам универсального метода отыскания значения искомой величины.

2. Сложить произведения приращения переменной на значение функции в соответствующих точках, получив тем самым сумму площадей прямоугольников, внешне напоминающих лестницу (ступеньки). В самом простом случае приращение равно единице. На этом методе и основано формальное определение определённого интеграла, данное Б. Риманом. О нём мы поговорим ниже.

3. Воспользоваться иными так называемыми численными способами отыскания значения интегральной суммы (интеграла).

Видео:Геометрический смысл определенного интеграла. Криволинейная трапецияСкачать

4. Отыскание значения интеграла через отыскание первообразной

Однако есть более изящный и универсальный способ вычисления интегральной суммы, который был открыт Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницом. Этот способ устанавливает фундаментальную связь дифференцирования (производной) и интегрирования (первообразной).

Чтобы рассмотреть суть открытия, необходимо последовательно прийти к ряду идей и рассуждений.

Пусть имеется некоторая функция от числовой переменной — Обозначим её [5].

Следует отметить несколько обстоятельств относительно рассматриваемой функции:

Функция является числовой, то есть область определения и область значений являются числовыми — принимают числовые значения (более точно — вещественные значения).

Функция непрерывна и принимает значения в каждой точке с соответствующим значением переменной (к примеру, в точкесуществует значение функции , а в точке значение

Функция может иметь любое выражение. Мы можем иметь набор значений функции в соответствующих точках в виде таблицы (функция задана таблично). Или функция может быть явно задана в виде аналитического выражения (к примеру, в случае с функцией от одной вещественной переменной — , и т.д.).

Функция может описывать зависимость величины любой природы — физической, биологической, экономической и т.д.

Для наглядности изобразим график рассматриваемой функции в виде произвольной кривой.

Пусть мы хотим отыскать всю или часть совокупного значения (аналитико-алгебраический смысл интегрирования) или площадь под кривой (геометрический смысл). Выберем промежуток между двумя точками и и продолжим наши рассуждения.

Искомое значение представляет собой функцию и очевидно, что оно будет зависеть от размера промежутка и того значения изначальной функции, которое она принимает в каждой точке этого промежутка. Также, очевидно, что промежуток значений переменной для изначальной функции и функции площади будет одинаковым [6].

Сказанное выше легко показать и увидеть на графике.

Заметим, что значения функции площади не равны значению изначальной функции при том же значении переменной [7]. Значения площади постоянно возрастает слева-направо, то есть при каждом шаге приращения промежутка суммирования (интегрирования).

Пусть теперь исследуемая функция является функцией скорости движения материальной точки (тела) по некоторой траектории. Тогда, очевидно, по определению производной, что скорость в конкретный момент времени — это первая производная пути (координаты) по времени

Если скорость это производная пути и мы знаем аналитическое выражение её выражающее, то мы можем найти выражение для самого пути то есть для самой функции. Мы можем это сделать через операцию, обратную нахождению производной то есть через отыскание первообразной. Это справедливо, поскольку производная и соответствующее ей семейство первообразных единственны.

Данный вывод можно обобщить на все интегрируемые функции.

Далее, легко понять из простых арифметических и геометрических соображений, что значение интегральной суммы (площади) будет равно разности значений полученной функции (первообразной), взятых в соответствующих точках [8].

То есть если требуется найти интегральную сумму в промежутке от до , где первое и второе — некоторые произвольные значения переменной, то необходимо вычислить разность

Указанная сумма и есть определённый интеграл, который записывается, как

[1]. Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука, 1974. С. 4

[2]. Имеется ввиду сумма значений переменной, которая является элементом интегрирования, интегрируемой величиной.

[3]. Не имеет значения каким образом будем вычислять произведение, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то есть данная операция обладает свойством коммутативности.

[4]. 3,5 · 2 + 3,5 · 0,1 = 3,5 (2 + 0,1) = 3,5 · 2,1.

[5]. Вместоможет быть любое обозначение, к примеру, — это не имеет значения. Буквавсего лишь обозначает имя для функции, а скобки отделяют имя от сущностей — обычно числовых переменных над которыми совершаются те или иные операции, дающие в результате значение функции.

[6]. Переменная-аргумент — одна и таже, то есть иными словами значения переменной-аргумента в точках для и одно и тоже. Далее, мы покажем, что производная , то есть можно записать или .

[7]. То есть . К примеру, пусть функция задана выражением . Тогда, при , , а значение . Если. Тогда, при , , а значение .

[8]. Пусть имеется точка, число 7 и 10, чтобы найти величину промежутка между этими значениями надо найти разность то есть 10 — 7 = 3.

Видео:Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Вычисление случайных погрешностей при прямых измерениях

При прямых измерениях значение искомой величины получают непосредственно по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время по часам и т. д.

При проведении измерений величины х, из-за наличия случайных ошибок, получаем n различных значений: х₁, х₂, х₃… х_n

Истинным значением некоторой величины х принято считать среднее арифметическое значение этой величины.

Разность между средним значением и результатом i – го измерения называют абсолютной погрешностью отдельного измерения величины х

Средняя абсолютная погрешность измерения величины х

Для характеристики точности измерений служит относительная ошибка, которую принято выражать в процентах или в частях целого

ּ .

Доверительный интервал – интервал значений величины х, внутри которого с определенной вероятностью, называемой доверительной, находится величина х_ист:

Для нахождения доверительного интервала и доверительной вероятности необходимо установить закон, которому подчиняются случайные отклонения измеряемой величины от ее среднего арифметического значения. Этот закон – функция распределения, или плотность вероятности величины х.

Зная , можно определить вероятность того, что непрерывная случайная величина будет иметь значение в интервале от до .

Кривая нормального распределения и ее физический смысл

В лабораторном эксперименте проведено n измерений одной и той же физической величины и получены ее значения х₁, х₂, х₃. х_n. Отложив эти значения в виде точек на оси абсцисс (рис.1), получим на этой оси множество точек (если число измерений достаточно велико), причем их плотность в одних местах будет больше, в других меньше. Выделим на оси абсцисс равные интервалы Δx = d, и сосчитаем, сколько точек попало в каждый интервал. Построив над каждым интервалом прямоугольник с высотой, равной количеству точек в данном интервале, получим ступенчатую кривую (гистограмму).

Например, в выделенный интервал, заключенный между значениями х_i и х_i + d, попало k_i точек и высота прямоугольника 1 равна k_i.

Отношение площади выделенного прямоугольника к площади всех прямоугольников, т.е. k_id/[(k₁ + k₂+ . + k_n)d] = k_id/nd = k_i/n, определяет вероятность того, что при проведении единичного измерения его результат окажется в интервале между х_i и x_i + d.

Гистограмму строят так, чтобы сумма площадей всех прямоугольников была равна единице (такая процедура называется нормировкой). Тогда вероятность попадания результата измерения в интервале от х₁ до х₂ равна суммарной площади прямоугольников, заключенных между х₁ и х₂.

Если неограниченно увеличивать число измерений n, а интервал d устремить к нулю, то в пределе нормированная гистограмма перейдет в непрерывную кривую (рис.2), которую называют кривой нормального распределения. Функция распределения определяется формулой Гаусса

Физический смысл остается тем же: площадь под любым участком кривой нормального распределения равна вероятности «попадания» результата измерения в интервал х, ограниченный этим участком.

Входящую в формулу Гаусса величину s называют стандартным отклонением, а s 2 — дисперсией измерения.

При достаточно большом числе измерений стандартное отклонение (или средняя квадратичная ошибка) определяется по формуле

Средняя квадратичная ошибка s используется, когда необходимо знать надежность полученных результатов.

В случае выполнения серии измерений, необходимо рассчитать средние арифметические каждого отдельного измерения и их средние квадратичные погрешности s, а затем определить среднюю квадратичную погрешность серии независимых прямых измерений одной и той же величины по формуле

или средняя квадратичная ошибка среднего значения

где: s — средняя квадратичная ошибка каждого отдельного измерения, n – число измерений.

При выполнении лабораторных работ студенты могут использовать как среднюю абсолютную ошибку, так и среднюю квадратичную. Какую из них применять указывается непосредственно в каждой конкретной работе (или указывается преподавателем).

Обычно если число измерений не превышает 3 – 5, то можно использовать среднюю абсолютную ошибку. Если число измерений порядка 10 и более, то следует использовать более корректную оценку с помощью средней квадратичной ошибки.

Видео:Геометрический смысл определенного интеграла (2)Скачать

Исследование малых деформаций жесткоупругих и вязкоупругих систем. Закон Гука

ИССЛЕДОВАНИЕ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ЖЕСТКОУПРУГИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ СИСТЕМ. ЗАКОН ГУКА

Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 1.2

Исследование малых деформаций жесткоуругих и вязкоупругих систем. Закон Гука.

Цель работы: графическим методом исследовать деформацию растяжения жесткоупругой и вязкоупругой систем в области упругой деформации для пружин и резиновой ленты, соответственно.

Задачи: для жесткоупругой системы проверить выполнение закона Гука. С помощью закона Гука рассчитать коэффициенты жесткости данных в работе пружин. Для вязкоупругой системы – резиновой ленты — исследовать механический упругий гистерезис и по графику рассчитать отношение площади под гистерезисом к площади под деформационной кривой нагружения. Показать, что данное отношение пропорционально отношению величины упругой энергии, превращенной в тепловую энергию, к полной упругой энергии, запасенной образцом при деформации.

Деформация растяжения относится к простейшему виду деформаций. Обобщенной характеристикой деформации растяжения является диаграмма растяжения (рис.1) или график зависимости механического напряжения от относительного удлинения . В диаграмме содержится информация обо всех механических свойствах материала при растяжении. Впервые эта диаграмма была получена Р. Гуком при растяжении металлической проволоки в 1670 г.

Рис. 1. Диаграмма упругой, неупругой и пластической деформации растяжения металлической проволоки

Как следует из диаграммы растяжения проволоки, область упругих напряжений имеет два участка, ограниченных пределом пропорциональности и пределом упругости. На первом участке деформационной кривой выполняется закон Гука, устанавливающий линейную зависимость напряжения от относительной деформации , где — модуль упругости растяжения или модуль Юнга. В настоящее время этот закон Гука в обобщенном виде служит основанием математической теории упругости. А на втором участке соотношение нелинейно и закон Гука не выполняется, хотя вплоть до предела упругости тело восстанавливает свои размеры и форму после снятия внешней нагрузки.

Для исследования линейной зависимости и, соответственно, закона Гука хорошей моделью упругого тела является жесткая пружина, для которой предел пропорциональности практически равен пределу упругости (нелинейным участком можно пренебречь). Поэтому важным является практическое использование жесткой пружины в пружинных весах. Взаимосвязь между растяжением пружины и приложенной силой была также впервые исследована Р. Гуком и известна как экспериментальный закон Гука. Достаточно в хорошем приближении можно считать, что сила, требуемая для растяжения пружины, пропорциональна удлинению пружины

(1.1)

где — коэффициент жесткости, зависящий от размеров пружины и материала, из которого она изготовлена (рис. 2). При силах, не доходящих до предела упругости, пружина возвращается к своей исходной длине или форме после снятия нагрузки. Под действием внешней силы тело деформируется до тех пор, пока внешняя сила не уравновесится внутренней силой или силой упругости . Переходя к стержню или проволоке заданного материала длиной и площадью поперечного сечения , на которое действует сила , закон Гука можно записать в виде:

, (1.2)

где — механическое напряжение, и перейти к формуле .

Рис.2. Зависимость силы растяжения от удлинения пружины.

Под действием внешней приложенной силы в жесткоупругом теле атомы смещаются из своих равновесных положений, что сопровождается увеличением потенциальной энергии тела на величину, равную работе внешней силы. Так средняя сила, требуемая для растяжения пружины, равна

, (1.3)

А работа растяжения пружины как мера изменения потенциальной энергии тела при его деформации равна произведению средней силы на удлинение:

, (1.4)

Это означает, что пока удлинение или сжатие пружины пропорционально приложенной силе, отклонения межатомных расстояний от их равновесных значений пропорциональны действующим между атомами силам – силам упругости:

, (1.5)

Таким образом, возвращающие или упругие силы, которые можно получить при дифференцировании потенциальной энергии, согласно условию потенциальности упругих сил , прямо пропорциональны отклонению атомов от положения равновесия. Поэтому тело в области упругих деформаций можно представить как совокупность атомов-шариков, соединенных пружинами, ориентации которых фиксированы другими пружинами.

На втором нелинейном участке деформационной кривой упругой области, лежащей между пределами пропорциональности и упругости, при деформации проявляются вязкоупругие свойства твердых тел. Вязкость или внутреннее трение – это свойство твердых тел (а также газов и жидкостей) оказывать сопротивление деформации. Вязкость твердых тел сопровождается возникновением внутри тела слоев, движущихся относительно друг друга по направлению приложенных сил, и, соответственно, возникновением касательных сил трения между ними. С вязкостью твердых тел связано развитие остаточных деформаций. Однако при очень малых сдвигах внутренних слоев обратный ход деформационной кривой при снятии нагрузки свидетельствует на опыте о восстановлении формы, размеров и объема твердого тела. В этом случае говорят, что данное тело обладает вязкоупругими свойствами. Для таких тел в нелинейной области упругих деформаций наблюдается механический упругий гистерезис, при котором прямой и обратный ход деформационной кривой не совпадают (рис. 3). Механический упругий гистерезис – это проявление внутреннего трения в твердых телах, при котором происходит отставание во времени упругих деформаций от напряжений. Площадь под кривой механического гистерезиса численно определяет ту часть упругой энергии, запасенной телом при деформации, которая превращается во внутреннюю энергию за счет работы сил трения.

Модельным образцом для исследования нелинейного участка упругой области деформационной кривой и наблюдения упругого механического гистерезиса является резиновая лента. Линейный участок деформационной кривой у резиновой ленты как видно на рисунке 3 практически отсутствует или пренебрежимо мал. Кривая упругого гистерезиса называется петлей гистерезиса. Петля упругого гистерезиса может меняться, если образец многократно нагружать и снимать нагрузку, что указывает на связь между явлением внутреннего трения и усталостью материала. Площадь петель гистерезиса при этом увеличивается.

Рис. 3 Зависимость силы растяжения от относительного удлинения резиновой ленты. Петля упругого гистерезиса.

2. Описание установки. Вывод рабочей формулы.

На рисунке 4 показана лабораторная установка. Установка содержит следующее оборудование:

Цилиндрическая опора, вставленная в треножник,

Зажим для образцов на цилиндрической опоре,

Метровая шкала, вставленная в крепежный болт,

Курсоры для шкалы,

Резиновая лента с квадратным сечением,

Держатель для гирь с отверстиями,

Гири, 10г и гири,50г,

Рис. 4. Лабораторная установка

Коэффициент жесткости данных в работе пружин определяется из формулы (1.1)

1. Подвесьте одну из двух пружин без груза за крепежный болт (рис. 4 и 5).

2. С помощью курсора по шкале линейки снимите отсчет положения нижнего конца пружины , затем подвесьте к пружине держатель массы =10г с грузом массы и снимите отсчет по линейке нового положения нижнего конца пружины , как показано на рис.5. Разность отсчетов , соответствующую удлинению пружины под действием внешней нагрузки, занесите в таблицу 1.

3. Повторите измерения десять раз, пока общая масса грузов не достигнет 200г. Полученные данные измерений занесите в таблицу 1.

4. Повторите опыт по пунктам 2,3 для второй пружины и данные измерений занесите в таблицу 2.

5. По методу случайной ошибки сделайте обработку данных измерения для каждой пружины, получите средние значения коэффициентов жесткости и соответствующие им абсолютные и относительные погрешности для обеих пружин.

Рис. 5. Схема измерения абсолютного удлинения пружины

6. Постройте графики зависимости растягивающей силы от удлинения для обеих пружин. Рассчитайте по графикам коэффициенты жесткости пружин и сделайте сравнительный анализ результатов, полученных в пунктах 5 и 6.

7. Возьмите резиновую ленту, на обоих концах ее при помощи шелковой нити сделайте маленькие петли как показано на рис.6. Одну из петель пропустите через крепежный болт, а на вторую петлю подвесьте держатель для гирь.

8. Аналогично эксперименту с пружиной подвешивайте к ленте с держателем гирьки с шагом в 10г до тех пор, пока общая масса не достигнет 200г. Полученные значения удлинений на каждом шаге записывайте в таблицу 3. При смене гирек придерживайте рукой ленту.

Рис.6. Закрепление резиновой ленты в крепежном блоке

9.Снимайте гирьки с держателя также с шагом в 10г. Значения оставшихся удлинений на каждом шаге записывайте в таблицу 3. Последнее измерение должно соответствовать отсчету .

10.Постройте график зависимости растягивающей силы от удлинения резиновой ленты, которая соответствует как увеличению нагружения, так и снятию внешней нагрузки, на миллиметровой бумаге. Определите, какая часть упругой энергии, запасенной при растяжении ленты, затрачивается на внутреннее трение при деформации. Для этого посчитайте на миллиметровой бумаге число целых клеточек и число полуклеточек под кривой нагружения ленты, а затем ту же процедуру повторите для гистерезиса. Отношение суммы целого числа клеточек и деленного пополам числа полуклеточек, соответствующей площади гистерезиса, пропорциональной , к сумме целого числа клеточек и деленного пополам

числа полуклеточек, соответствующей площади под кривой нагружения, пропорциональной запасенной при деформации упругой энергии , даст качественную относительную оценку превращения механической упругой энергии, запасенной при деформации, во внутреннюю энергию в виде тепла . По полученному результату сделайте вывод.

11.Таблицы 1,2 и 3 для внесения в них экспериментальных и расчетных данных начертите самостоятельно.

4. Вопросы к лабораторной работе 1.2 «Исследование малых деформаций жесткоупругих и вязкоупругих систем. Закон Гука»

1.Какие деформации твердых тел являются упругими? Какие – неупругими? Какие – пластическими?

2.Определите, что называют диаграммой растяжения? Проведите анализ деформационной кривой и дайте определения всем ее пределам.

3.Сформулируйте физический смысл обобщенного закона Гука и модуля Юнга. От чего зависит модуль Юнга? Запишите размерность модуля Юнга.

4.Объясните схематически, как возникают продольные и поперечные деформации в образце при действии растягивающей силы. Определите физический смысл коэффициента Пуассона. Как коэффициент Пуассона связан с модулем Юнга и модулем сдвига?

5.Сформулируйте закон Гука для деформации пружины. Какой физический смысл имеет коэффициент жесткости пружины? Какова размерность коэффициента жесткости?

6.Определите физический смысл силы упругости. Запишите условие потенциальности упругих сил и нарисуйте модель действия упругих сил в кристалле. Докажите математически линейность закона Гука.

7.Выведите формулу для определения потенциальной энергии упругой деформации.

8.Вчем заключается сущность упругого механического гистерезиса при растяжении полимерных материалов?

9.Какой физический смысл имеет площадь под кривой упругого механического гистерезиса?

10.Как практически можно рассчитать относительную величину, показывающую какую часть от полной упругой энергии, запасенной образцом при деформации, составляет внутренняя энергия, рассеянная в образце.

11.К какому виду фундаментальных взаимодействий относятся силы упругости?

12.Почему для пружин выполняется закон Гука, а для резиновой ленты нет?