площадь под графиком функции распределения (7 видео)

Содержание

Плотность распределения
Плотность распределения
Далее:
Определение плотности распределения
Готовые работы на аналогичную тему
Примеры задач на понятие плотности распределения
Плотность вероятности — это не сама вероятность
1. Почему так?
2. Плотность вероятности и вероятность
3. Непрерывная случайная величина и вероятность
4. Вероятность из плотности вероятности
Заимствуем идею в интегрировании
🌟 Видео

Видео:Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Плотность распределения

Услуги проектирования
Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.]
Плотность распределения

Видео:Нормальное Распределение за 6 МинутСкачать

Плотность распределения

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Опр Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины $X$ называют функцию $f( x )-$ первую производную от функции распределения $F( x )$ begin label ‘( x )=f( x ) end

Следовательно, функция распределения $F( x )$ является первообразной для функции плотности распределения вероятностей $f( x )$.

Теорема Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение принадлежащее интервалу $( )$ равна определенному интегралу от плотности. begin label P( < aleqslant X Пример. Найти функцию распределения по данной плотности и построить график. $ f( x )=left< < < begin \ < frac ,при,1 3 > \ end > >right. $

Решение. Построим график функции плотности распределения вероятностей.

при $xleqslant 1$ из условия $f( x )=0,Rightarrow F( x )=0 $
при $,1 3$, тогда $ F( x )=intlimits_ ^x =intlimits_ ^1 +intlimits_1^3 < frac dx > +intlimits_3^x =frac left| < _ ^ >right.=1. $

Построим график функции распределения

Свойства плотности распределения

1). Плотность распределения неотрицательная функция $f( x )geqslant 0$.

Доказательство Известно, что функция распределения $F( x )-$ неубывающая, следовательно, ее производная $ ‘( x )=f( x )$ неотрицательная функция.

Геометрически это означает, что график $f( x )$ расположен выше оси OX или на оси OX.

График $f( x )$плотности распределения называется кривой распределения.

2). Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от $( )$ равен 1. begin label intlimits_ ^infty dx=1 end

Если $X$ задана на $( )$, то $intlimits_a^b $

Геометрически это означает, что площадь под кривой распределения равна 1.

Критерий полноты

Класс $T_1$. Теорема о замкнутости класса $T_1$

Криволинейный интеграл первого рода

СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице

Замена переменных в тройном интеграле

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

Свойства тройного интеграла

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы

Критерий полноты . Лемма о несамодвойственной функции

Решение задач с помощью алгебры высказываний

Соленоидальное векторное поле

Введение

Упрощение логических функций

Огравление $Rightarrow $

Видео:Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Определение плотности распределения

Вы будете перенаправлены на Автор24

Как нам уже известно, случайную величину можно задавать с помощью таблицы или с помощью функции распределения вероятности. Предположим теперь, что случайная величина $X$ является непрерывной, а функция распределения вероятности $F(x)$ непрерывна и дифференцируема в своей области определения. Тогда для такой случайной величины существует еще один способ её задания — задания с помощью плотности распределения.

Плотностью распределения $varphi (x)$ непрерыной случайной величины называется первая производная от функции распределения вероятности $F(x)$.

. Подчеркнем, что данное понятие не применимо к дискретной случайной величине.

Геометрически, плотность распределения связана с функцией распределения вероятностей следующим образом: площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения и находящейся по левую сторону от величины $x$ и есть функция распределения вероятности (рис. 1).

Рисунок 1. Связь функций $varphi (x)$ и $F(x)$.

Геометрический смысл: вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(alpha ,beta )$ равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции распределения $varphi left(xright)$ и прямыми $x=alpha ,$ $x=beta $ и $y=0$ (рис. 2).

Рисунок 2. Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал $(alpha ,beta )$.

Готовые работы на аналогичную тему

Видео:Нормальное распределение в ExcelСкачать

Примеры задач на понятие плотности распределения

Пусть функция распределения $F(x)$ случайной величины $X$ имеет следующий вид:

а) Найти значение $alpha $.

б) Найти плотность распределения $varphi left(xright)$.

в) Построить график плотности распределения.

а) Так как необходимо найти плотность распределения, то случайная величина $X$ является непрерывной.

Тогда, при $x=3$, получим, что $(alpha +1)x^2=1$, то есть

б) Так как $varphi (x)$ = $F'(x)$, то получим:

в) Построим график функции $varphi left(xright)$.

г) Воспользовавшись геометрическим смыслом функции плотности распределения получим, что нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией $y=fracx$ и прямыми $x=1,$ $x=2$ и $y=0$.

Таким образом, получим:

Найти функцию распределения непрерывной случайной величины и построить её график, если плотность распределения имеет вид:

При решении будем использовать следующую формулу: $Fleft(xright)=intlimits^x_$

begin item При $xle 0$, по формуле, получим:

item При $x>2$, по формуле, получим:

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Построим её график.

. Заметим, что, так как дана плотность распределения, то случайная величина является непрерывной. Следовательно, функция $F(x)$ также должна быть непрерывной (как и получилось в нашем примере). Это может служить косвенной проверкой правильности решения такого рода задач.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20 02 2021

Видео:Распределение в Статистике за 5 МинутСкачать

Плотность вероятности — это не сама вероятность

Наибольшее значение вероятности — единица. Это общеизвестный факт! Однако для некоторых плотностей вероятности (например, плотности вероятности экспоненциального распределения на графике ниже), когда λ= 1.5 и ? = 0 плотность вероятности 1.5, что очевидно больше 1!

Видео:Функция распределения дискретной случайной величиныСкачать

1. Почему так?

Даже если плотность вероятности f(x) принимает значение больше 1, если область, в которую она интегрируется, меньше 1, то она сводится к 1. Рассмотрим пример простой плотности вероятности — непрерывное равномерное распределение в области [0, 0.5]. Плотность вероятности непрерывного распределения 1/(b-a) постоянно равна 2.

Полная вероятность — это площадь области под графиком f(x),
то есть 2*0.5 = 1. Как видите, даже если плотность вероятности больше 1, то при интегрировании в область меньше 1 она сводится к 1.

Видео:2.2. Функция распределения и ее характеристики.Скачать

2. Плотность вероятности и вероятность

Разве плотность вероятности f(x) не есть сама вероятность? Нет. Потому что f(x) может быть больше 1. f(?) — это просто высота графика плотности вероятности при X = ?.

Вся путаница “плотность вероятности = вероятность” возникает из-за того, что мы привыкли к понятию “функция вероятности = вероятность”, что верно. Однако плотность вероятности не то же самое, что функция вероятности. Ее не стоит интерпретировать так же, потому что дискретные и непрерывные случайные величины определяются по-разному.

Чтобы найти вероятность P(?=?) для дискретных случайных величин, мы ищем значение функции вероятности в одной точке. Вот так — в Пуассоновском распределении. Для непрерывных случайных величин мы берем интеграл от плотности вероятности на конкретном промежутке, чтобы найти вероятность того, что X попадет в этот промежуток.

Теперь, конечно, все понятно. Однако вы можете задаться вопросом… Почему мы должны интегрировать плотность вероятности? Можем ли мы просто суммировать значения плотности, как делаем это со значениями функции вероятности?

Нет. Потому, что для непрерывных случайных величин вероятность того, что ? принимает какое-либо конкретное значение ? равна 0. Ниже подробности.

Видео:Как построить эмпирическую функцию распределения в MS Excel?Скачать

3. Непрерывная случайная величина и вероятность

Посмотрим на предыдущий пример, непрерывное равномерное распределение в [0, 0.5]. Плотность вероятности при x=1 равна двум. Но почему вероятность при x=1 нулевая? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сначала ответить на другой.
Сколько всего чисел в области [0, 0.5]?

Бесконечность. Бесконечное множество, если быть математически точной. 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … Можно продолжать вставлять 0 перед единицей. Следовательно, непрерывная случайная величина имеет бесконечное число возможных значений, даже если область определения невелика и фиксирована. Допустим, плотность вероятности для каждого значения на промежутке [0, 0.5] имеет экстремально малое значение, например, 000000001. Тем не менее, сумма бесконечного числа значений достигнет бесконечности независимо от того, насколько малы эти значения. Значит, чтобы получить сумму вероятностей, равную 1, вероятность в каждой конкретной точке должна быть 1/∞, то есть 0.

Это тоже не имеет смысла. Если добавить бесконечное число нулей, все равно получится нуль. Полная вероятность должна составлять единицу, а не нуль.

Дело в том, что нельзя использовать понятие дискретной функции вероятности (у одного значения одна вероятность) для непрерывных величин. Нельзя определить вероятность непрерывных величин таким же образом, что и дискретных.

Видео:Рассмотрение темы: "Распределение Максвелла"Скачать

4. Вероятность из плотности вероятности

Видео:10-08 Эмпирическая функция распределенияСкачать

Заимствуем идею в интегрировании

Если вероятность того, что X находится точно в точке ?, равна нулю, как насчет очень маленького интервала вокруг точки ?? Например, [?, ?+d?]? Пусть d? будет 0.00000000001. Тогда вероятность того, что X попадет в интервал [?, ?+d?] — это область под кривой f(?) расположенной между [?, ?+d?]. Если d? бесконечно мало, этого приближения достаточно для P(?=?).

Если вы посмотрите определения плотности вероятности и функции вероятности, то увидите, что сумма в случае дискретных величин (функция вероятности) меняется на интегралы в случае непрерывных величин (плотность вероятности).
Почему используются термины «плотность» и «масса»? В физике мы интегрируем плотность для получения массы. Если думать о массе как о вероятности, то мы интегрируем плотность вероятности, чтобы получить вероятность (массу).
Что означает плотность вероятности в точке ?? Она означает то, насколько вероятность сконцентрирована на единицу длины ( d?) вблизи ?, или насколько плотна вероятность вблизи ?.
Нужно исправить график экспоненциального распределения в англоязычной Википедии. P(X) звучит как вероятность. Нужно изменить эту надпись на f(x) или «Плотность вероятности».