площадь под экспонентой формула (7 видео)

Содержание

1.8. Как вычислить площадь с помощью определённого интеграла?
Экспонента: определение, формула, свойства, график
Определение и формула экспоненты
График экспоненты
Площадь поверхности. Интеграл по площади поверхности
Интеграл по поверхности
Общие свойства
💥 Видео

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

1.8. Как вычислить площадь с помощью определённого интеграла?

Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая определяет ось , прямые параллельны оси и парабола симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке график функции расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ: – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке над осью расположен график прямой ;
2) на отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
– нижний предел интегрирования, – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Видео:Площадь эллипсоида + вывод формулы площади поверхности вращенияСкачать

Экспонента: определение, формула, свойства, график

В данной публикации мы рассмотрим, что такое экспонента, как выглядит ее график, приведем формулу, с помощью которой задается экспоненциальная функция, а также перечислим ее основные свойства.

Видео:#161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ — ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e^(iπ)+1=0Скачать

Определение и формула экспоненты

Экспонента – это показательная функция, формула которой выглядит следующим образом:

Экспоненциальная функция (так часто называют экспоненту) может быть определена:

Через предел (lim):

Через степенной ряд Тейлора:

Видео:✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис ТрушинСкачать

График экспоненты

Ниже представлен график экспоненциальной функции

Как мы видим график (синяя линия) является выпуклым, строго возрастающим, т.е. при увеличении x увеличивается значение y .

Асимптотой является ось абсцисс, т.е. график во II четверти координатной плоскости стремится к оси Ox , но никогда не пересечет и не коснется ее.

Пересечение с осью ординат Oy – в точке , так как

Касательная (зеленая линия) к экспоненте проходит под углом 45 градусов в точке касания.

Видео:§58 Вычисление площадей с помощью интегралов. Часть 1/2Скачать

Площадь поверхности. Интеграл по площади поверхности

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Вычисление площади поверхности Пусть задана поверхность г, однозначно проектирующаяся на область D плоскости . Это означает, что данная поверхность задается уравнением Будем считать поверхность гладкой; это означает, что в области D функция /(ж, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные ).

Разобьем область D на квадрируемые подобласти без общих внутренних точек, площади которых обозначим соответственно через Пусть d — наибольший издиаметров частичных областей . В каждой подобласти Dk выберем произвольную точку На поверхности тг точке Р* будет соответствовать точка .

Проведем в точке Мк касательную плоскость к поверхности эт. Ее уравнение имеет следующий вид интеграл по поверхности 1-го рода Интеграл по площади поверхности Построим на границе частичной области dk, как на направляющей, цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz. Эта цилиндрическая поверхность вырежет из касательной плоскости, проведенной через точку Мк, область я* площади Лак.

Площадка П* проектируется на элементарную область Dk плоскости хОу взаимнооднозначно. Рассмотрим сумму Определение. Если при d 0 сумма (2) имеет конечный предел S, то число 5 называется площмдью поверхности Таким образом, мы заменяем данную поверхность «чешуйчатой», затем подсчитываем плошадь этой «чешуйчатой» поверхности и переходим к пределу при стремлении диаметра «чешуек» к нулю (диаметры чешуекстремятся к нулю при.

Перейдем теперь к выводу формулы, по которой вычисляют плошадь поверхности. Известно, что площадь проекции плоской фигуры на какую-нибудь плоскость равна произведению площааи проектируемой фигуры на косинус острого угла между плоскостью проекции и плоскостью, в которой лежит проектируемая фигура. Обозначим через 7* угол между касательной плоскостью к поверхности тг в точке Мк и плоскостью хОу (рис. 20). Тогда Но угол 7д есть вто же время угол между осью Oz и нормалью касательной плоскости к поверхности (1).

Обозначим ис 2° вектор нормали к касательной плоскости к поверхности в точке Мк через а через пг = — единичный вектор оси Oz.

Интеграл по поверхности

Тогда получим Таким образом, интеграл по поверхности 1-го рода Интеграл по площади поверхности По условию функции непрерывны в области D. Следовательно, функция непрерывна, а, значит, и интегрируема в области D. Поэтому при сумма (5) имеет конечный предел, Учитывая равенство (3), определяющее площадь S поверхности заключаем, что (6) где D„ — проекция поверхности х на плоскость . Выражение называется элементом площади поверхности.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Если спроектировать участок поверхности х на плоскость хОу, то получим гд eDxz — проекция участка поверхности на плоскость хОу. Соответственно, при проектировании на плоскость yOz имеем где Dyt — проекция участка поверхности на плоскость yOz. Пример 1. Найти площадь сферы радиуса R с центром в начале координат. Уравнение верхней полусферы Поэтому Следовательно, Область интегрирования Искомая площадь Отметим следующие полезные формулы:

1) для элемента площади цилиндрической поверхности радиуса J2 2) для элемента площади сферической поверхности радиуса J2 Используя формулу (11) для элемента площади сферической поверхности получим площадь сферы: Интеграл по площади поверхности (интеграл по поверхности 1-го рода)

Пусть на гладкой поверхности к задана непрерывная функция f(M). Разобьем поверхность хна части с площадями соответственно, выделим на каждой из частичных поверхностей по произвольной точке Mi, Mi. , Мп и составим сумму которую будем называть интегральной суммой для функции f(M) по площади поверхности -к. Определение.

Если при стремлении к нулю

наибольшего издиаметров частичных поверхностей тгк интегральная сумма (12) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения поверхности я на части, ни от выбора точек Л/*, то этот предел называется интегралом от функции f(M) по площади поверхности -к (интегралом по поверхности 1-го рода) и обозначается символом где da — элемент площади поверхности.

Общие свойства

Общие свойства двойных интегралов легко переносятся на интегралы по площади поверхности. В частности, если поверхность -к разбита на неперекрывающиеся части интеграл по поверхности 1-го рода Интеграл по площади поверхности Теорема 5. Пусть -к — гладкая поверхность, заданная уравнением , причем функция имеет непрерывные частные производные в некоторой области D), D С D.

Пусть, далее, f(x, у, z) — непрерывная функция, определенная на поверхности тг. Тогда справедливо равенство Интеграл где на ж, можно истолковать как массу т оболочки, представляющей собой поверхность ir, на которой масса распределена с поверхностной плотностью Пример 2. Найти массу параболической оболочки плотность которой меняется по закону ц = г (рис. 21). Имеем

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.