площадь по синусу и стороне

Содержание
  1. Площадь треугольника через синус
  2. Определение
  3. Введение
  4. Теорема
  5. Формула
  6. Пример
  7. Доказательство
  8. Заключение
  9. Как найти площадь треугольника
  10. По формуле Герона
  11. Через основание и высоту
  12. Через две стороны и угол
  13. Через сторону и два прилежащих угла
  14. Площадь прямоугольного треугольника
  15. Площадь равнобедренного треугольника через стороны
  16. Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
  17. Площадь равностороннего треугольника через стороны
  18. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  19. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  20. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  21. Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
  22. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
  23. Как найти площадь треугольника
  24. Основные понятия
  25. Формула площади треугольника
  26. Общая формула
  27. 1. Площадь треугольника через основание и высоту
  28. 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
  29. 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
  30. 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
  31. 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
  32. 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
  33. Для прямоугольного треугольника
  34. Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
  35. Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
  36. Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
  37. Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
  38. Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
  39. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  40. Для равнобедренного треугольника
  41. Вычисление площади через основание и высоту
  42. Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
  43. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  44. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  45. Площадь равностороннего треугольника через сторону
  46. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  47. Таблица формул нахождения площади треугольника
  48. 📺 Видео

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Площадь треугольника через синус

площадь по синусу и стороне

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Определение

Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.

Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.

Видео:100. Теорема о площади треугольникаСкачать

100. Теорема о площади треугольника

Введение

Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!

Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.

Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.

Теорема

площадь по синусу и стороне

( S = frac2 * BC * AC * sin angle BCA ) ​

Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.

Формула

[ S = frac2 * a * b * sin α ]

Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.

Пример

площадь по синусу и стороне

Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.

Нужно найти площадь треугольника omk.

Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.

Найти: S △omk — ?

Решение:

1) ​ ( S = frac2*a*b*sin α ) ​​ ( implies ) ​ ( S = frac2*mk*ok*sin okm ) ​

2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6

Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.

Доказательство

Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.

Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.

площадь по синусу и стороне

Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Заключение

В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.

Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.

Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

площадь по синусу и стороне

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

площадь по синусу и стороне

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

площадь по синусу и стороне

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

площадь по синусу и стороне

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

площадь по синусу и стороне

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

площадь по синусу и стороне

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

площадь по синусу и стороне

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

площадь по синусу и стороне

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

площадь по синусу и стороне

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

площадь по синусу и стороне

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

площадь по синусу и стороне

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

площадь по синусу и стороне

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

площадь по синусу и стороне

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

Как найти площадь треугольника

площадь по синусу и стороне

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Видео:Секретные формулы площади треугольникаСкачать

Секретные формулы площади треугольника

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

8 класс, 13 урок, Площадь параллелограмма

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Видео:Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синусаСкачать

Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

📺 Видео

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shortsСкачать

👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shorts

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Площадь параллелограмма треугольника и трапецииСкачать

Площадь параллелограмма треугольника и трапеции

Треугольники №15, 18. Площадь части треугольника. Высота и основание. Площадь через синус(ОГЭ)Скачать

Треугольники №15, 18. Площадь части треугольника. Высота и основание. Площадь через синус(ОГЭ)
Поделиться или сохранить к себе: