площадь по координатам гаусса (3 видео)

Содержание

Вычисление площади участка тахеометром Leica FlexLine TS06/09
Формула Гаусса
Подпрограмма «Площадь и объем» на электронном тахеометре Leica серии TS02/06/09
Вызов подпрограммы
Графическая визуализация
Результаты измерений
Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин на плоскости
Урок 34. Площадь многоугольника
📸 Видео

Видео:Аналитический способ определения площадей. Формула землемера, геодезиста, Гаусса.Алгоритм шнурованияСкачать

Вычисление площади участка тахеометром Leica FlexLine TS06/09

Для вычисления площади простого многоугольника с любым количеством вершин, представленных в виде списка координат, при последовательном обходе которых, не образуются пересекающиеся линии, применяется формула Гаусса, иначе называемая «формулой землемера», «формулой геодезиста», «формулой шнурования», «алгоритмом шнурования», а также «методом треугольников».
Суть метода заключается в построении треугольников, состоящих из сторон многоугольника и лучей проведённых из начала координат к вершинам многоугольника, и сложении площадей треугольников, включающих внутреннюю часть многоугольника с вычитанием площадей треугольников, расположенных снаружи.

Видео:Расчет площади по координатамСкачать

Формула Гаусса

Площадь, вычисленная по приведенной формуле, будет иметь отрицательное значение при обходе фигуры по часовой стрелке и положительное при обходе против часовой стрелки.

S — площадь многоугольника,
n — количество сторон многоугольника,
(x_i, y_i), i = 1, 2, …, n — координаты вершин многоугольника.

Примеры

1. Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости. Для примера возьмём треугольник с координатами . Возьмём первую координату x первой вершины и умножим её на координату y второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определён по следующей формуле:

где x_i и y_i обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3.

Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x₅ и y₅:

S для четырехугольника — переменные до x₄ и y₄:

2. Рассмотрим многоугольник, представленный на рисунке и заданный точками (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6):

Площадь этого многоугольника:

Видео:Алгоритмы. Нахождение площади многоугольника по формуле ГауссаСкачать

Подпрограмма «Площадь и объем» на электронном тахеометре Leica серии TS02/06/09

Подпрограмма позволяет вычислять площади участков, ограниченных максимум 50-ю точками, соединенных отрезками прямой. Эти точки должны быть измерены, взяты из памяти либо заданы с клавиатуры — с расположением их по часовой стрелке. Вычисленная площадь проектируется на горизонтальную плоскость (2D) или на наклонную опорную плоскость, заданную своими тремя точками (3D). Кроме того, можно вычислить объем, заключенный между плоскостью с постоянной высотной отметкой и заданным полигоном (2D/3D).

P0 — Точка установки инструмента
P1 — Начальная точка
P2 — Проектная точка
P3 — Точка визирования
P4 — Точка визирования
a — Суммарная длина всех сегментов границы полигона от начальной точки до текущей измеренной точки.
b — Вычисленная площадь полигона, замыкающегося на начальную точку P1 и спроектированная на горизонтальную плоскость.

Видео:БРУТАЛЬНАЯ формула площади!Скачать

Вызов подпрограммы

1. Выберите Программы в Главном меню.
2. Откройте окно Площадь и объем из меню Программы.

На дисплее всегда будет показываться площадь, спроектированная на горизонтальную плоскость.

Назад — Отбраковка измерений или отмена выбора предыдущей точки.
РЕЗ-ТЫ — Вывод на дисплей и запись дополнительных результатов (периметр, объем).
ОБЪЕМ — Вычисление объема до плоскости с постоянной высотной отметкой. Отметка должна быть введена с клавиатуры или измерена.
Опр. 3D — Здесь можно задать наклонную опорную плоскость, выбрав в памяти или измерив три ее точки.
2D-площади будут вычисляться и выводиться на дисплей, как только три точки будут взяты из памяти или измерены. 3D-площади вычисляются после определения наклонной отсчетной плоскости по трем точкам.

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Графическая визуализация

P0 — Точка установки инструмента
P1 — Точка для задания наклонной отсчетной плоскости
P2 — Точка для задания наклонной отсчетной плоскости
P3 — Точка для задания наклонной отсчетной плоскости
P4 — Точка визирования
a — Постоянная высотная отметка
b — Периметр (3D), т.е. общая длина сегментов границы полигона от начальной до текущей точки c Площадь (3D), спроектированная на наклонную отсчетную плоскость
d — Объем (3D) = a х c e Периметр (2D), т.е. общая длина сегментов границы полигона от начальной до текущей точки площади 2D
f — Площадь (2D), спроектированная на горизонтальную плоскость
g — Объем (2D) = f x a
Следующий шаг Нажмите на Рез-т для вычисления площади и объема и перехода в окно Площадь и Объем — Рез-ты.

Видео:Военная топография определение полных прямоугольных координатСкачать

Результаты измерений

Значения периметра и объема постоянно обновляются по мере добавления новых точек.
Следующий шаг
• Нажмите на Нов.у-д для определения нового участка,
• либо на Дп.т-ка для добавления новой точки границы текущего полигона.
• либо на ESC для выхода из программы.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин на плоскости

Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин. Выпуклый многоугольник строится по точкам с использованием алгоритма Джарвиса

Калькулятор ниже был написан для решения частной задачи расчета площади выпуклого четырехугольника по координатам его вершин. Он только обобщает эту задачу до задачи расчета площади любого выпуклого многоугольника вообще. Собственно, на сайте уже был подобный калькулятор Площадь многоугольника, но там требовалось вводить длины сторон и диагоналей, а это несколько труднее, чем вводить только координаты вершин.

Принцип работы остается таким же — многоугольник разбивается на непересекающиеся треугольники, подсчитывается площадь всех треугольников (это легко сделать зная длины всех трех сторон — Расчет площади треугольника по формуле Герона), затем площади суммируются. Основная проблема была в том, чтобы сделать его устойчивым к ситуации, когда точки вводят не по порядку. Предположим, сначала вводят первые четыре точки получая фигуру на рисунке ниже

При добавлении следующей точки, например, так, как на следующем рисунке

должен уже получиться многоугольник ADCBE, а не ABCDE, разбитый на треугольники ADC, ACB и ABE, соответственно.

Чтобы получить правильный многоугольник, фактически требуется получить оболочку введенных точек. Для этого калькулятор использует алгоритм Джарвиса (или алгоритм обхода Джарвиса, или алгоритм заворачивания подарка), который определяет последовательность элементов множества, образующих выпуклую оболочку для этого множества. Метод можно представить как обтягивание верёвкой множества вбитых в доску гвоздей.

Алгоритм работает за время , где n — общее число точек на плоскости, h — число точек в выпуклой оболочке. Для выпуклого многоугольник соответственно будет . Не самый оптимальный алгоритм, зато очень простой, и для этого калькулятора вполне производительный.

Как пользоваться калькулятором: начинаете вводить координаты точек выпуклого многоугольника. Начиная с трех точек алгоритм Джарвиса будет стоить обтягивающий контур, затем контур будет разбиваться треугольники и подсчитываться общая площадь. Для справки также будут выводиться площади всех треугольников.

Видео:Системы координат в геодезии. Зональная система прямоугольных координат. Гаусса-КрюгераСкачать

Урок 34. Площадь многоугольника

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель.

Решения многих задач вычислительной геометрии основывается на нахождении площади многоугольника. На этом уроке мы выведем формулу для вычисления площади многоугольника через координаты его вершин, напишем функцию для вычисления этой площади.

Задача. Вычислить площадь многоугольника, заданного координатами своих вершин, в порядке их обхода по часовой стрелке.

Сведения из вычислительной геометрии

Для вывода формулы площади многоугольника нам понадобятся сведения из вычислительной геометрии, а именно, понятие ориентированной площади треугольника.

Ориентированная площадь треугольника – это обычная площадь, снабженная знаком. Знак ориентированной площади треугольника АВС такой же, как у ориентированного угла между векторами и . То есть ее знак зависит от порядка перечисления вершин.

На рис. 1 треугольник АВС – прямоугольный. Его ориентированная площадь равна (она больше нуля, так как пара , ориентирована положительно). Эту же величину можно вычислить другим способом.

Пусть О – произвольная точка плоскости. На нашем рисунке площадь треугольника ABC получится, если из площади треугольника OBC вычесть площади OAB и OCA. Таким образом, нужно просто сложить ориентированные площади треугольников OAB, OBC и OCA. Это правило работает при любом выборе точки О.

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника нужно сложить ориентированные площади треугольников

В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной многоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Итак, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника. Посмотрим, как выразить ее в координатах.

Векторное произведение двух векторов на плоскости есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Векторное произведение, выраженное через координаты векторов:

Площадь треугольника будет равна половине этой площади:

В качестве точки О удобно взять начало координат, тогда координаты векторов, на основании которых вычисляются ориентированные площади, совпадут с координатами точек.

Пусть (х₁, y₁), (x₂, у₂), …, (х_N,у_N) —координаты вершин заданного многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки. Тогда его ориентированная площадь S будет равна:

Это и есть наша рабочая формула, она используется в нашей программе.

Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S,вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади нам необходимо взять его абсолютное значение.

Итак, рассмотрим программу для нахождения площади многоугольника, заданного координатами вершин.

Координаты вершин считывается из файла input.pas., хранятся в массиве А в виде записей с двумя полями. Для удобства обхода многоугольника в массиве вводится n+1 элемент, значение которого равно значению первого элемента массива.

Входные данные:
5
0.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5

Выходные данные:
S= 3.91

Мы решили задачу о нахождении площади многоугольника по координатам его вершин. Задачи усложняются. Если у вас есть замечания к этой статье, или пожелания, напишите в комментарии. Буду Вам очень признательна за сотрудничество.