площадь плоских фигур понятие

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Площади фигур

Площадь фигуры — это аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Содержание:

Понятие площади

Площадь — это тоже величина. Каждой плоской геометрической фигуре соответствует своя площадь. У пространственных фигур тоже есть соответствующая им площадь, называемая площадью поверхности.

Площадь фигур мы будем обозначать буквой S. Запись читается как «площадь фигуры F».

Определение. Измерить площадь фигуры — это значит сравнить ее с площадью некоторой фигуры, принятой за единицу измерения площади.

Измерить площадь фигуры в Древней Греции означало построить квадрат, площадь которого равна площади данной фигуры. С тех пор всякое вычисление площади принято называть квадратурой.

Если за единицу длины принимается 1 мм, то единицей площади является 1 (квадратный миллиметр); при единице длины 1 см единицей площади является 1 (квадратный сантиметр). Если единицей измерения длины является 1 м, ему соответствует единица площади 1 (квадратный метр).

Любую площадь S можно выразить через единицу измерения площади в виде , где k — числовой множитель, который показывает, сколько раз единичный квадрат укладывается в данной фигуре.

Пусть, например, за единицу измерения площади принят квадратный сантиметр (т. е. ). Тогда запись означает, что площадь фигуры равна , т. е. в данной фигуре квадрат со стороной 1 см укладывается 15 раз.

Можно сфорулировать свойства измерения площади.

1. Всякий многоугольник F имеет площадь . Площадь является величиной, численное значение которой неотрицательно, т. е. для любой фигуры F.

Площадь фигуры зависит только от ее размеров и формы и не зависит от места расположения фигуры в пространстве. Это формулируется так.

2. Если две фигуры равны, то равны и их площади.

Пусть дана фигура F, которая является объединением двух фигур , причем эти фигуры пересекаются не более чем по конечному числу отрезков и точек. Тогда

Есть случаи, когда фигура является объединением двух других фигур, но данное равенство не выполняется. На рисунке 2.138 изображены два треугольника Фигура R — их объединение. В этом случае (при сложении площадь ромбовидной области в центре рисунка войдет в сумму дважды).

Еще одно свойство площади формулируется следующим образом.

3. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины отрезка.

Для фигуры, разбитой на части, справедливо следующее свойство.

4. Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна сумме площадей частей фигуры.

Свойство измерения площади квадрата.

5. Площадь квадрата со стороной равна .

В геометрии различают фигуры равные и равновеликие.

Определение. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь.

Площади прямоугольника и прямоугольного треугольника

Теорема 33. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

где — стороны прямоугольника.

Проведя диагональ АС прямоугольника ABCD (рис. 2.139), можно легко доказать, что она разбивает этот прямоугольник на два равных треугольника ABC и CDA, а тогда нетрудно доказать теорему 34.

Теорема 34. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (рис. 2.140):

где — катеты прямоугольного треугольника.

Площади треугольников

Теорема 35. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты.

На рисунке 2.141 изображен треугольник ABC.

Есть еще одна формула для вычисления площади треугольника через его стороны. Эта формула носит имя древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Кроме этой формулы, есть еще так называемые ге-роновы треугольники — это треугольники, у которых целочисленные стороны и их площадь тоже есть целое число (примерами таких треугольников могут быть треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53).

Теорема 36 (формула Герона). Площадь треугольника равна

где — стороны треугольника, а р — его полупериметр, .

Существует формула площади треугольника, которая использует понятие синуса угла.

Теорема 37. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними

где — стороны ААВС, а — угол между этими сторонами.

Площади четырехугольников и многоугольников

Для вывода формулы площади параллелограмма определим высоту параллелограмма.

Определение. Высотой параллелограмма называют отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки какой-нибудь стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высотой параллелограмма можно считать также и длину этого перпендикуляра. У параллелограмма две пары противоположных параллельных сторон и соответственно две высоты.

На рисунке 2.142 изображен параллелограмм ABCD, — его высоты. Заметим, что основания высот параллелограмма могут попасть и на продолжение одной из сторон (рис. 2.143).

Теорема 38. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты.

ABCD — параллелограмм, AD = ВС = , AM = CN = h (рис. 2.144).

Для вывода формулы площади еще одного четырехугольника — трапеции определяется понятие высоты трапеции.

Определение. Высотой трапеции называют отрезок перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки основания трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Высотой можно также считать длину этого перпендикуляра. На рисунке 2.145 ВМ — высота трапеции ABCD.

Теорема 39. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты, т. е. если и — основания трапеции, h — высота и S — площадь трапеции, то

Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, можно разбить его на треугольники, не имеющие общих внутренних точек, и найти сумму их площадей.

Такое разбиение выпуклого многоугольника можно осуществить, проведя, например, диагонали из одной его вершины (рис. 2.146). Иногда удобно пользоваться другими разбиениями (рис. 2.147, 2.148).

Пример:

Через середину основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что полученный таким образом четырехугольник — параллелограмм и что его площадь равна половине площади треугольника.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1.

2. AD = DC. (рис. 2.149)

3. DE || ВС, DF || АВ.

4. Надо доказать, что BEDF — параллелограмм и что

5. Так как DE || ВС и DF || АВ, то BEDF — параллелограмм (2, определение параллелограмма).

Нужно установить связь между площадью параллелограмма и треугольника. Для этого удобно параллелограмм разбить на треугольники.

6. Соединим точки В и D и рассмотрим полученные треугольники (построение) (рис. 2.150).

7. равны (BD — общая сторона, и , как углы внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (1, 2, 3, признак равенства треугольников по сторонам и двум прилежащим углам).

8. Эти треугольники и равновелики.

9. Треугольники BFD и CFD также равновелики между собой (хотя в общем случае они не равны), так как BF = FC (DF — средняя линия), т. е. основания их равны и они имеют одинаковую высоту, так как вершина D у них общая.

10. Аналогично равновелики между собой и

11. следовательно, площади и параллелограмма BEDF можно записать так: а (8, 10, свойства площадей).

12. (11).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры

Статья рассказывает о понятии площадей и их свойств. Заключительная часть статьи включит себя математическое описание квадрируемых фигур с приведением примеров решения.

Видео:Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах (часть 1).Скачать

Понятие площади, свойства площади

Для вычисления площади основываются на свойствах площадей:

• положительность;
• аддитивность, это когда замкнутая область представлена несколькими фигурами, которые не имеют общих точек и равняются сумме площадей этих фигур.
• инвариантность;
• нормированность.

Единица измерения площади – это элементарный квадрат, имеющий сторону r .

Если рассмотреть фигуру G с ограничениями и за обозначение площади принять S ( G ) , то при построении прямых, изобразить параллельными осям О х и О у , причем на расстоянии, равном rобозначению r . Заданные прямые преобразуют сетку, которая разбивает х О у на квадраты. Буквой М обозначается фигура, которая состоящая из элементарных квадратов, которые располагаются внутри G , причем не касаются границ, а М ‘ – фигуру, которая состоит из квадратов и имеющая с границей G хотя бы одну общую точку, а М М ‘ фигуру, которая объединяет М и М ‘ (на рисунке изображается синей и красной областями).

Площади фигур возьмем за обозначение М и М М ‘ , значит S ( M ) и S ( M M ‘ ) будут равны, исходя из количества составляющих квадратов. Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.

Если постоянно уменьшать одну из сторон квадрата, то можно получить сетку с множеством значений площадей S ( M ) и S ( M M ) ‘ . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Множество S M имеет ограничения, значит, имеет тонкую грань в виде a = s u p S M , тогда внутреннюю площадь обозначим как G . Множество S M M ‘ имеет ограничения снизу, значит, нижняя грань обозначается как A = i n f S M M ‘ , внешнюю площадь обозначим как G .

Фигура G с внешней площадью равной внутренней называют квадрируемой, а число S ( G ) = a = A является площадью этой фигуры. S ( G ) = a = A значит, что площадь квадрируемой функции является числом единственным и обладает этим свойством.

Площадь фигуры G называется предел последовательности значений S M ‘ , когда r → 0 . Квадрируемая фигура G имеет площадь равную 0 .

Квадрируемость можно ввести иным образом, то есть рассмотреть вписанные и описанные окружности, через которые произвести вычисления.

Фигура G считается квадрируемой, когда для любого положительного числа S M ‘ имеется входящая и включающая многоугольные фигуры P и Q , отсюда следует, что P ⊂ G ⊂ Q и S ( Q ) — S ( P ) ε .

Для примера подходит круг с вписанным и описанным 2 n + 1 треугольниками, где n n является натуральным числом.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Квадрируемые фигуры

Рассмотрим, как необходимо изображать и задавать квадрируемые фигуры. Все встречающиеся фигуры в разделах геометрии называют квадрируемыми. Любая такая фигура имеет ограничения, то есть будем находить площади ограниченных фигур. Объединение и пересечение или разность также является квадрируемой фигурой.

Самыми распространенными видами для вычисления площадей считаются:

• Если фигура квадрируема, тогда она имеет ограничения линиями графиков y = f ( x ) и x = g ( y ) . Первый рисунок, приведенный ниже, ограничивается сверху параболой y = — 1 8 ( x — 4 ) 2 + 9 , а снизу кривой вида y = 1 3 x · sin x + 2 , справа и слева прямыми, имеющими значения х = 1 , х = 9 . Второй рисунок имеет границы в виде линий y = 1 3 ( x — 6 ) 2 + 1 , y = ln ( x — 1 ) + 7 , y = — e x — 8 + 8 , y = — 1 3 x + 5 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

• Фигура считается квадрируемой, если имеется возможность ограничения гладкими кривыми, то есть границы задаются при помощи параметрического уравнения вида x = ϕ ( t ) y = ψ ( t ) , где функции ϕ ( t ) и ψ ( t ) являются непрерывными на интервале t 1 ; t 2 , не имеют пересечений и соответствуют условию ϕ ‘ ( t 0 ) ≠ 0 ψ ‘ ( t 0 ) ≠ 0 при любом значении t 0 ∈ t 1 ; t 2 . Для примера рассмотрим фигуру, которая ограничивается осями координат и частью астроиды вида x = 3 cos 3 t y = 3 sin 3 t , где t ∈ 0 ; π 2 .

• Фигура считается квадрируемой, когда она ограничена замкнутыми кривыми, где начала и конец совпадают. Явным примером такой функции является лепесток фигуры, имеющий уравнение r = 5 cos 5 φ . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Видео:Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.Скачать

Итоги

Площадь – это такая функция, благодаря которой она определена как класс квадрируемых фигур со свойствами аддитивности, инвариантности и нормированности.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Вычисление площадей плоских фигур

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Внешние, внутренние и граничные точки плоских множеств

Ранее мы неоднократно использовали понятие площади плоской фигуры, опираясь на его интуитивное толкование. Здесь мы дадим определение понятия площади плоской фигуры, установим свойства площадей и опишем класс фигур, имеющих площадь. Для этого введем несколько понятий, относящихся к плоским фигурам, т. е. к множествам, состоящим из точек плоскости.

Напомним, что открытым кругом с центром и радиусов называют множество точек плоскости, расстояние которых от точки меньше . Любой открытый круг с центром называют окрестностью точки .

Пусть на плоскости задано некоторое множество . Назовем точку этого множества внутренней, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в . Точку плоскости называют внешней точкой для этого множества, если у нее есть окрестность, не содержащая ни одной точки множества . Наконец, точки плоскости, не являющиеся ни внутренними, ни внешними для множества , называют граничными точками этого множества. Граничные точки могут как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему. Совокупность граничных точек множества образует границу этого множества. Если все граничные точки множества принадлежат этому множеству, то его называют замкнутым, а если ни одна граничная точка не принадлежит множеству , то его называют открытым.

На рисунке 20 изображен квадрат. Точка е является внутренней для этого квадрата, точка — внешней, а точка — граничной. Граница квадрата состоит из отрезков и .

В дальнейшем будем говорить, что фигуры и налегают друг на друга, если у них есть хоть одна общая внутренняя точка (рис. 21). Если фигура является объединением попарно не налегающих друг на друга фигур , то говорят, что разбита на фигуры ; при этом не исключается, что некоторые из них имеют общие граничные точки (рис. 22).

Видео:Площади плоских фигур | Лекции по математике – математик Николай Андреев | НаучпопСкачать

Квадрируемые области

Перейдем к определению понятия площади. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат . Назовем прямоугольник допустимым, если его стороны параллельны осям координат, причем не будем исключать и вырожденные прямоугольники , т. е. прямоугольники, у которых длина одной или обеих сторон равна нулю. Подмножество плоскости, которое можно разбить на конечное число допустимых прямоугольников, назовем ступенчатой фигурой (рис. 23). Очевидно, что объединение и пересечение двух ступенчатых фигур являются ступенчатыми фигурами.

Назовем площадью допустимого прямоугольника произведение длин его сторон и

При этом площадь вырожденного прямоугольника равна нулю. Очевидно, что если прямоугольник разбит на два прямоугольника (рис. 24), это площадь всего прямоугольника равна сумме площадей его частей:

Вообще, если прямоугольник разбит на конечное число прямоугольников , то

Кроме того, если прямоугольник получается из прямоугольника параллельным переносом, то .

Отметим, что квадрат со стороной, равной 1, имеет площадь, равную 1.

Определим далее площадь ступенчатой фигуры. Пусть ступенчатая фигура разбита на прямоугольники . Положим тогда .

Одна и та же ступенчатая фигура может разбиваться на прямоугольники различными способами. Легко доказать, что ее площадь не зависит от способа разбиения.

Мы определили функцию на множестве ступенчатых фигур. Она обладает следующими свойствами:

а) Если ступенчатые фигуры и не имеют общих внутренних точек, то

б) Если ступенчатая фигура получается из ступенчатой фигуры параллельным переносом, то .

Из свойства а), в частности, следует, что если и — ступенчатые фигуры и , то . В самом деле, если присоединить к граничные точки, то получится ступенчатая фигура , не налегающая на и такая, что . Значит,

Совокупность ступенчатых фигур не охватывает таких фигур, как, например, треугольник, параллелограмм общего вида, круг, эллипс. Даже повернутый прямоугольник уже не является ступенчатой фигурой (стороны ступенчатой фигуры параллельны осям координат). Поэтому надо распространить понятие площади на более широкий класс фигур.

Возьмем на плоскости фигуру и поставим ей в соответствие два числовых множества. Множество состоит из площадей ступенчатых фигур, все точки которых принадлежат фигуре , а множество — из площадей ступенчатых фигур, содержащих фигуру . Очевидно, что множество расположено слева от множества . Поэтому существует хотя бы одно число, разделяющее эти множества.

Введем следующее определение.

Фигура называется квадрируемой (имеющей площадь), если соответствующие ей числовые множества разделяются единственным числом. Это единственное число , разделяющее и , назовем площадью фигуры .

Применяя критерий единственности разделяющего числа, получаем необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры

Для того чтобы фигура была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> нашлись такие ступенчатые фигуры и , что , причем .

Отметим, что граница фигуры лежит в области, заключенной между границами ступенчатых фигур и . Эта область сама является ступенчатой фигурой (рис. 25). Поэтому указанное условие можно сформулировать и так:

Для того чтобы фигура была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> границу фигуры можно было заключить в ступенчатую фигуру, площадь которой меньше .

Видео:Вычисление площадей плоских фигурСкачать

Достаточное условие квадрируемости

Отметим следующее достаточное условие квадрируемости .

Теорема 1. Для того чтобы фигура была квадрируемой, достаточно, чтобы ее граница состояла из конечного числа дуг , являющихся графиками непрерывных функций или .

Доказательство. Покажем сначала, что дугу можно заключить в ступенчатую фигуру, имеющую сколь угодно малую площадь. Зададим 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» />. Так как функция непрерывна на отрезке , найдется разбиение этого отрезка такое, что для любого выполняется неравенство

где — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке . Но тогда дуга целиком содержится в объединении прямоугольников, имеющих основания и высоты (рис. 26). Общая площадь этих прямоугольников не превосходит числа

Объединение этих прямоугольников образует ступенчатую фигуру, содержащую дугу и имеющую площадь, меньшую, чем .

Поскольку граница фигуры состоит из конечного числа таких дуг, ее тоже можно накрыть ступенчатой фигурой сколь угодно малой площади, и потому область квадрируема.

Например, круг квадрируем, так как его граница состоит из двух дуг, задаваемых уравнениями и при , а эти функции непрерывны.

Иногда оказывается полезным следующее достаточное условие квадрируемости фигур.

Теорема 2. Если для любого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> найдутся такие квадрируемые фигуры и , что и , то фигура тоже квадрируема.

Доказательство. Зададим 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> и выберем такие квадрируемые фигуры и , что и . Так как и квадрируемы, то найдутся такие ступенчатые фигуры и , что , причем

Это и доказывает квадрируемость плоской фигуры .

Видео:Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатахСкачать

Свойства площадей квадрируемых фигур

Покажем, что площади квадрируемых фигур обладают свойствами, похожими на свойства площадей ступенчатых фигур. Сначала докажем следующее утверждение:

1. Пусть квадрируемые фигуры и не имеют общих внутренних точек и . Тогда фигура тоже квадрируема, причем ее площадь равна сумме площадей фигур и

В самом деле, из квадрируемости фигур и вытекает, что для любого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> существуют такие ступенчатые фигуры , что , причем

Положим и . Тогда — ступенчатая фигура, содержащаяся в , а — ступенчатая фигура, содержащая . При этом фигуры и не имеют общих внутренних точек (рис. 27), и потому

Фигуры и могут иметь общие внутренние точки (рис. 28), а потому можно утверждать лишь, что

Итак, для любого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> нашлись ступенчатые фигуры и такие, что , причем . Поэтому фигура квадрируема.

Из неравенств и вытекает, что

С другой стороны, , а потому в силу соотношений (2) и (3) имеем

Мы видим, что числа и разделяют одни и те же множества . При этом, как было показано, для любого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> найдутся такие , что

Поэтому указанные множества могут разделяться лишь одним числом. Это и доказывает соотношение (1).

Доказанное свойство называют аддитивностью площади .

Второе свойство площадей состоит в том, что площадь квадрируемой фигуры не изменяется при параллельном переносе. Это следует из того, что при этом переносе каждая внутренняя ступенчатая фигура для переходит во внутреннюю ступенчатую фигуру для образа фигуры , и то же самое верно для внешних ступенчатых фигур. Но это значит, что при параллельном переносе не изменяются ни множество , ни множество , а потому неизменным остается и разделяющее их число, т. е. площадь фигуры.

Недостатком данного выше определения площади является то, что оно связано с выбором системы координат на плоскости. Мы доказали лишь, что площадь не изменяется (инвариантна) при параллельных переносах, но не доказали такого же утверждения относительно других перемещений (симметрии, поворотов и т. д.). Справедливо более общее утверждение:

2. Если фигура квадрируема и — конгруэнтная ей фигура, то тоже квадрируема, причем .

В курсе геометрии доказывают, что любое перемещение является композицией осевых симметрии. Поэтому достаточно доказать наше утверждение для случая, когда получается из с помощью осевой симметрии.

Рассмотрим сначала случай, когда — прямоугольник, одна из сторон которого параллельна оси симметрии (рис. 29). В этом случае образ этого прямоугольника может быть получен из не только с помощью осевой симметрии, но и с помощью параллельного переноса. Поэтому . Но любую квадрируемую фигуру можно с любой степенью точности заменить фигурой, состоящей из прямоугольников, одна из сторон которых параллельна оси симметрии. Применяя доказанное утверждение для каждого из этих прямоугольников и складывая полученные равенства, убеждаемся, что равенство верно для любых квадрируемых фигур.

Мы доказали, что в классе квадрируемых фигур площадь обладает следующими свойствами:

1°. Для любой фигуры ее площадь — неотрицательное число (неотрицательность площади).

2°. Площади конгруэнтных фигур равны (инвариантность площади относительно перемещений).

3°. Если фигуры и не имеют общих внутренних точек, то

4°. Площадь единичного квадрата равна единице (условие нормировки).

Можно доказать, что условия 1°–4° однозначно определяют площадь в классе квадрируемых фигур. Это позволяет понятию площади дать аксиоматическое определение, сказав, что на совокупности фигур определено понятие площади, если на задана числовая функция , удовлетворяющая условиям 1°–4° (при этом, разумеется, требуется, чтобы совокупность вместе с двумя не налегающими друг на друга фигурами содержала их объединение).

💡 Видео

Площадь фигурыСкачать

Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать

Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать

Двойной интеграл. Площадь плоской фигуры.Скачать

8 класс, 10 урок, Понятие площади многоугольникаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Видеоурок по математике "Вычисление площади фигуры"Скачать

07 Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интегралаСкачать

Алгебра и начала анализа. 11 класс. Вычисление площадей плоских фигур /05.10.2020/Скачать