площадь пирамиды неправильной четырехугольной формула (3 видео)

Содержание

Формулы площади четырехугольной пирамиды произвольного типа и правильной. Пример геометрической задачи
Четырехугольная пирамида
Площадь пирамиды с четырехугольным основанием произвольного типа
Площадь правильной фигуры
Решение задачи по геометрии
Площадь боковой поверхности разных пирамид
Виды фигуры
Термины и обозначения
Формулы площади
Видео
Как найти площадь поверхности пирамиды
Видео

Видео:Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамидыСкачать

Формулы площади четырехугольной пирамиды произвольного типа и правильной. Пример геометрической задачи

Четырехугольная пирамида, пожалуй, самая известная фигура из данного класса объемных геометрических объектов. Ее свойства и характеристики изучают в старших классах школ. Данная статья призвана ответить на вопрос о том, по какой формуле площадь четырехугольной пирамиды рассчитывается.

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

Четырехугольная пирамида

Чтобы не ходить далеко за примерами этой фигуры, сразу скажем, что великая пирамида Хеопса является самой известной четырехугольной правильной фигурой.

С чисто геометрической точки зрения пирамида четырехугольная представляет собой объект, образованный пятью гранями: четырьмя треугольниками и одним плоским четырехугольником. Построить в пространстве эту фигуру не представляет никакого труда. Для этого берется плоский четырехугольник (квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм и так далее), а затем все его вершины соединяются с одной единственной точкой в пространстве, которая станет вершиной пирамиды. В результате таких простых геометрических операций мы получаем четырехугольную пирамиду.

Видно, что фигура состоит из пяти граней, пяти вершин, одна из которых является главной, и восьми ребер (4 относятся к основанию, 4 принадлежат треугольникам).

Не все четырехугольные пирамиды имеют одинаковую форму. Существует несколько типов этих фигур. Например, пирамиды бывают наклонные и прямые. В первом случае перпендикуляр, который опущен из вершины к четырехугольному основанию, пересекает последнее в точке, не совпадающей с его центром. В случае же прямой фигуры точка пересечения перпендикуляра плоскости основания и является его центром. Напомним, что центр выпуклого четырехугольника лежит в точке пересечения двух диагоналей.

Помимо наклонных и прямых фигур, четырехугольные пирамиды могут быть правильными и неправильными. Любая пирамида с квадратным основанием, которая является прямой, будет правильной. Правильные пирамиды отличаются друг от друга размерами (длиной стороны квадрата a, длиной ребер боковых b и высотой h). При выполнении вычислений различных геометрических характеристик с правильными пирамидами, в виду их высокой симметрии, удобно работать. Кроме того, многие свойства этих фигур описываются специальными выражениями, включая формулу площади правильной пирамиды четырехугольной.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

Площадь пирамиды с четырехугольным основанием произвольного типа

Чтобы определить площадь любого многогранника, необходимо сложить площади всех его сторон. Изучаемая фигура имеет пять сторон, четыре из которых являются треугольными. Их площади найти несложно, если знать высоту каждого треугольника h_bi (она является апофемой пирамиды) и длину каждой стороны четырехугольника a_i. Тогда для четырехугольной пирамиды формула площади боковой поверхности примет вид:

К значению S_b следует добавить площадь четырехугольника S₄, чтобы получить площадь полной поверхности пирамиды. Величину S₄ несложно определить, если известны стороны a_i и углы четырехугольника.

Видео:Демо-вариант ЕГЭ по математике (базовый уровень) #16-3Скачать

Площадь правильной фигуры

Как было сказано выше, для правильной пирамиды четырехугольной формула площади поверхности имеет конкретный вид. Получим ее.

Начнем с рассмотрения площади основания. Поскольку оно представляет собой обычный квадрат, то его площадь вычисляется с помощью простого выражения:

Теперь обратим внимание на боковую поверхность. Представлена она четырьмя одинаковыми треугольниками, которые к тому же являются равнобедренными, или равносторонними. Все апофемы треугольников равны, обозначим их длину h_b. Площадь поверхности боковой будет равна:

Тогда формула площади поверхности четырехугольной пирамиды правильной примет следующий вид:

Видео:Объем пирамиды. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение задачи по геометрии

Известно, что ребро правильной пирамиды, которая имеет квадрат в основании, равно длине диагонали этого основания. Зная, что сторона квадрата равна 8 см, необходимо определить площадь всех граней данной фигуры.

Поскольку диагональ квадрата d равна длине ребра бокового b, то получаем:

Теперь следует увидеть, что в изучаемой пирамиде ребро b, апофема h_b и половина стороны квадрата образуют треугольник с углом 90 o . Этот факт позволяет воспользоваться теоремой Пифагора для определения h_b:

Теперь можно применить формулу площади четырехугольной пирамиды:

Остается подставить значение стороны квадрата из условия и записать ответ: S = 233,33 см 2 .

Видео:🔴 Найдите объём правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Площадь боковой поверхности разных пирамид

Перед изучением вопросов о данной геометрической фигуре и её свойствах, следует разобраться в некоторых терминах. Когда человек слышит о пирамиде, ему представляются большущие постройки в Египте. Так выглядят самые простые из них. Но они бывают разных видов и форм, а значит и формула вычисления для геометрических фигур будет разной.

Видео:11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.Скачать

Виды фигуры

Пирамида – геометрическая фигура, обозначающая и представляющая собой несколько граней. По сути – это тот же многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а по бокам расположены треугольники, соединяющиеся в одной точке – вершине. Фигура бывает двух основных видов:

В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.

Во втором случае, оснований два — большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.

Видео:🙂 Площадь поверхности правильной пирамидыСкачать

Термины и обозначения

Правильный (равносторонний) треугольник – фигура с тремя одинаковыми углами и равными сторонами. В этом случае все углы имеют 60 градусов. Фигура является простейшей из правильных многогранников. Если эта фигура лежит в основании, то такой многогранник будет называться правильной треугольной. Если в основании лежит квадрат, пирамида будет называться правильной четырёхугольной пирамидой.
Вершина – самая верхняя точка, где сходятся грани. Высота вершины образуется прямой линией, исходящей от вершины к основанию пирамиды.
Грань – одна из плоскостей многоугольника. Она может быть в виде треугольника в случае с треугольной пирамидой либо в виде трапеции для усечённой пирамиды.
Сечение – плоская фигура, образующаяся в результате рассечения. Не стоит путать с разрезом, так как разрез показывает и то, что находится за сечением.
Апофема – отрезок, проведённый из вершины пирамиды к её основанию. Он также является высотой той грани, где находится вторая точка высоты. Данное определение справедливо лишь по отношению к правильному многограннику. К примеру – если это не усечённая пирамида, то грань будет представлять собой треугольник. В данном случае высота этого треугольника и станет апофемой.

Видео:Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Формулы площади

Находить площадь боковой поверхности пирамиды любого типа можно несколькими способами. Если фигура не симметричная и представляет собой многоугольник с разными сторонами, то в данном случае легче вычислить общую площадь поверхности через совокупность всех поверхностей. Иными словами – надо посчитать площадь каждой грани и сложить их вместе.

В зависимости от того, какие параметры известны, могут потребоваться формулы вычисления квадрата, трапеции, произвольного четырёхугольника и т.д. Сами формулы в разных случаях тоже будут иметь отличия.

В случае с правильной фигурой находить площадь намного проще. Достаточно знать всего несколько ключевых параметров. В большинстве случаев требуются вычисления именно для таких фигур. Поэтому далее будут приведены соответствующие формулы. В противном случае пришлось бы расписать всё на несколько страниц, что только запутает и собьёт с толку.

Основная формула для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды будет иметь следующий вид:

S=½ Pa ( P – периметр основания, а – апофема)

Рассмотрим один из примеров. Многогранник имеет основание с отрезками A1, А2, А3, А4, А5, и все они равны 10 см. Апофема пусть будет равна 5 см. Для начала надо найти периметр. Так как все пять граней основания одинаковые, можно находить так: Р=5*10=50 см. Далее применяем основную формулу: S =½*50*5=125 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычислить легче всего. Формула имеет следующий вид:

S =½* ab *3, где а – апофема, b – грань основания. Множитель тройки здесь означает количество граней основания, а первая часть – площадь боковой поверхности. Рассмотрим пример. Дана фигура с апофемой 5 см и гранью основания 8 см. Вычисляем: S =1/2*5*8*3=60 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычислять немного сложнее. Формула выглядит так: S =1/2*( p _01+ p _02)*a , где р_01 и р_02 являются периметрами оснований, а – апофема. Рассмотрим пример. Допустим, для четырёхугольной фигуры даны размеры сторон оснований 3 и 6 см, апофема равна 4 см.

Тут для начала следует найти периметры оснований: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см. Осталось подставить значения в основную формулу и получим: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см в квадрате.

Таким образом, можно найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды любой сложности. Следует быть внимательным и не путать эти вычисления с полной площадью всего многогранника. А если это всё же понадобится сделать – достаточно вычислить площадь самого большого основания многогранника и прибавить её к площади боковой поверхности многогранника.

Видео:Как найти площадь пирамиды. Мастер-класс. Точка Гравитации.Скачать

Видео

Закрепить информацию о том, как найти площадь боковой поверхности разных пирамид, вам поможет это видео.

Видео:Правильная пирамида № 258Скачать

Как найти площадь поверхности пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.