площадь параллелограмма через определитель

Видео:Площадь параллелограмма по векторамСкачать

Площадь параллелограмма через определитель

В. Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников

.Геометрическое определение вектора

.Алгебраические операции над направленными отрезками

..Сложение направленных отрезков

..Умножение направленных отрезков на число

..Параллельное проектирование вектора в пространстве

. Проекция точки на плоскость

. Проекция вектора на плоскость

..Ортогональная проекция вектора в пространстве

. Ортогональная проекция вектора на плоскость

. Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось

..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве

..Линейная зависимость векторов и размерность пространства

..Различные формы записи векторов

..Линейные операции над векторами в координатной форме

. Свойства скалярного умножения

. Скалярное умножение в декартовых координатах

..Некоторые примеры использования скалярного умножения

..Площадь параллелограмма, построенного на векторах

..Свойства определителя второго порядка

..Задачи на применение определителей

..Определитель третьего порядка и его свойства

..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат

.Ковариантные и контравариантные координаты вектора

..Индексная форма записи для выражений с определителями

..Свойства символов Веблена

..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах

.Линейный оператор и его матрица

.Доказательство теоремы об определителе

.Общие определения алгебраических операций с тензорами

.Примеры на применение тензоров в физике

..Задачи на тождественные преобразования

..Свойства определителя второго порядка

Мы уже упоминали, что предполагаем знакомство читателя с теорией определителей и теорией матриц. И если мы и собираемся остановиться на свойствах определителей второго порядка, то только для того, чтобы акцентировать внимание на их геометрическом смысле.

Прежде всего, обратимся снова к основной формуле и дадим для нее чисто геометрический вывод.

Пусть и – два произвольных вектора (рис. 27). Построим на них параллелограмм OABC .

Рис. 27

Сторону параллелограмма BC продолжим до пересечения с осью x в точке D . Очевидно, что площади параллелограммов OABC и OAMD совпадают. Также очевидно, что площадь параллелограмма OAMD совпадает с площадью прямоугольника ONED . Площадь же прямоугольника ONED , в свою очередь, равна площади прямоугольника ONFG , за вычетом площади прямоугольника EFGD . Следовательно, . Но . Осталось найти площадь прямоугольника EFGD . Высота этого прямоугольника равна , а ширина – DG , которая, в свою очередь, равна MH . Для того, чтобы найти длину отрезка MH , рассмотрим треугольники GFH и CFM . Эти треугольники подобные, и, следовательно, или и . Теперь можно найти площадь прямоугольника EFGD : . Откуда и следует искомая формула:

.

Все свойства определителя второго порядка непосредственно вытекают из этой формулы, которая может рассматриваться в качестве его определения, – приведем ее еще раз:

.

1. При умножении элементов любого столбца определителя на число α , его величина умножается на это же число.

.

Рис. 28

Геометрически это означает, что если мы увеличим одну из сторон параллелограмма в α раз, то и площадь его увеличится во столько же раз (рис. 28).

2. Если один из столбцов определителя может быть представлен в виде суммы столбцов , то определитель равен сумме определителей и :

.

Рис. 29

Геометрическая иллюстрация этого свойства представлена на рис. 29. Площадь параллелограмма AEFD равна сумме площадей параллелограммов ABCD и BEFC .

3. При перестановке строк определитель изменяет знак на противоположный.

, конечно, ведь при этом изменяется ориентация, задаваемая векторами и .

4. Если один из столбцов определителя равен нулю, то и определитель равен нулю. Это свойство очевидно.

5. Если к одному из столбцов определителя прибавить другой, умноженный на произвольное число, то величина определителя не изменится: . Это свойство мы уже неоднократно использовали. Формальное доказательство может быть получено на основе определения.

.

6. Определитель с одинаковыми строками равен нулю.

Геометрический смысл этого свойства очевиден: «площадь» параллелограмма, построенного на двух параллельных векторах, равна нулю.

7. Определитель с пропорциональными строками равен нулю. Следует из свойства 6 и 1.

8. Определитель единичной матрицы равен единице.

.

9. Определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:

.

10. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

.

Можно показать то же самое проще: .

11. Если в определителе строки поменять местами со столбцами, то определитель не изменится.

.

Это мало примечательный в геометрическом отношении факт, имеющий важное алгебраическое следствие: координаты векторов можно вставлять в определитель, как в качестве столбцов, так и в качестве строк. Свойства определителя симметричны по отношению к столбцам и строкам – все, что сказано в отношении столбцов, в равной мере относится и к строкам.

..Задачи на применение определителей

Задачи, которые мы собираемся решить, являются полезными теоремами элементарной геометрии.

1. Доказать, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Рис. 30

;

;

,

и, следовательно, .

2. Теорема о площадях треугольников, имеющих равные углы.

Если угол одного треугольника равен углу другого, то площади их относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Рис. 31

Пусть треугольники ABC и AED имеют равные углы. Совместим стороны, заключающие эти углы (рис. 31). Проведем векторы

, , , . Так как векторы и лежат на одной прямой, то , где и . Аналогично .

, .

Следовательно, => .

3. Теорема о биссектрисе.

Биссектриса делит противоположную сторону треугольника на части в отношении, равном отношению сторон, прилежащих к этим частям.

Рис. 32

Применяя теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы, сразу получаем: .

Далее:

.

Далее: ;

,

и, следовательно, .

Сопоставляя последнее отношение с первым, получаем:

, что и требовалось доказать.

Этой традиционной фразой мы и закончим разговор о площадях и определителях второго порядка. Хотя, если честно, то нам гораздо более хотелось, если не доказать, то показать полезность применения определителей при решении чисто геометрических задач.

Настало время переходить к пространству с тремя измерениями.

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Примеры как вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

Вы будете перенаправлены на Автор24

Вспомним в начале, что такое векторное произведение.

Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:

$[ab] = begin i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \ end$.

Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.

Площадь параллелограмма, стороны которого определяются двумя векторами $vec$ и $vec$ равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.

Это соотношение совсем несложно вывести.

Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:

$S = a cdot b cdot sin α$

Даны векторы $vec$ c координатами $$ и вектор $vec$ с координатами $$ в декартовой системе координат. Найти, чему равна площадь параллелограмма, образованного $vec$ и $vec$.

Решение:

Отыщем векторное произведение для этих векторов:

$[c times g] = begin i & j & k \ 5 & 3 & 7 \ 3 & 7 & 10 \ end= i cdot begin 3 & 7 \ 7 & 10 \ end — j cdot begin 5 & 7 \ 3 & 10 \ end + k cdot begin 5 & 3 \ 3 & 7 \ end = i cdot (3 cdot 10 – 49) – j cdot (50 -21) + k cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=$.

Теперь найдём модульное значение для полученного направленного отрезка, оно и является значением площади построенного параллелограмма:

Готовые работы на аналогичную тему

Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.

Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами $vec$ с координатами $$ и $vec$ с координатами $$.

Решение:

Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, $z$, можно принять за нуль.

Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:

$S = begin 2 & 3\ -5 & 6 \ end = sqrt =3 sqrt3$.

Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:

Рисунок 1. Разложение вектора по базису. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:

Решение:

Вычислим векторное произведение $vec times vec$:

$[vec times vec ]= (2a + 3b) times ( a – 4b) = 2 [a times a] – 8 [a times b] + 3 [b times a] – 12 [b times b]$.

Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: $[a times a]$ и $[b times b]$ равны нулю, $[b times a] = — [a times b]$.

Используем это для упрощения:

$[vec times vec ]= -8[a times b] + 3 [b times a] = -8[a times b] — 3[a times b] =-11[a times b]$.

Теперь воспользуемся формулой $(1)$ :

$[vec times vec ] = |-11 [a times b]| = 11 cdot |a| cdot |b| cdot sin α = 11 cdot 1 cdot 1 cdot frac12=5,5$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07 05 2021

Видео:Площадь параллелограмма как определитель матрицыСкачать

Онлайн калькулятор. Площадь параллелограмма построенного на векторах.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь параллелограмма построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади параллелограмма построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Видео:Определитель как площадь параллелограммаСкачать

Калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

Выберите каким образом задается параллелограмм:

Введите значения векторов: Введите координаты трех любых вершин параллелограмма:

Инструкция использования калькулятора для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

Теория. Площадь параллелограмма построенного на векторах.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🔥 Видео

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать

§16 Нахождение площади параллелограммаСкачать

Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

Геометрия 8 класс. Площадь параллелограммаСкачать

как найти площадь параллелограмма построенного на векторахСкачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

8 класс. Площадь параллелограмма. Геометрия.Скачать

Площадь параллелограмма между двумя векторами. 4 способа нахождения. Линейная алгебра Скачать

2018-10-14. Геометрический смысл определителя 2х2Скачать

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах.Скачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

Площадь параллелограммаСкачать