площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Видео:Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Площадь поверхности призмы. 11 класс.

Площадь основания правильной шестиугольной призмы. Формулы площади правильного шестиугольника

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

В школьном курсе геометрии изучаются свойства различных видов призм, включая шестиугольную. Последняя часто встречается при рассмотрении кристаллических решеток металлов, поэтому знание ее характеристик важно при определении свойств этого класса материалов. Данная статья посвящена вопросу площади основания правильной шестиугольной призмы.

Видео:Объём шестиугольной призмы 5 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Объём шестиугольной призмы 5 задание проф. ЕГЭ по математике

Объемная фигура — призма

В геометрии под призмой понимают такую фигуру, которая образована двумя одинаковыми многоугольниками, расположенными параллельно друг другу, и некоторым числом параллелограммов, соединяющих вершины названных многоугольников. Если основание образовано многоугольником с n вершинами, то количество параллелограммов также будет равно n.

Призмы характеризуются по типу многоугольника в основании (правильные и неправильные треугольные, четырехугольные и так далее), который может быть вогнутым и выпуклым, и по углу между боковыми гранями (параллелограммами) и основанием (прямоугольные и косоугольные).

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Основными элементами любой призмы являются ее грани (Г), ребра (Р) и вершины (В). На рисунке выше приведена для примера треугольная призма. Как видно, она имеет 6 вершин (по 3 для каждого основания). Ниже приведена развертка этой призмы. Рисунок показывает, что она состоит из 5 граней: 2 треугольника и 3 прямоугольника.

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Чтобы посчитать число ребер рассматриваемой фигуры, следует применить теорему Эйлера:

Это выражение дает число ребер для этой призмы, равное 9. Действительно, если обратиться к трехмерному изображению призмы выше, то можно увидеть, что 6 ребер образуют основания фигуры, и еще 3 ребра являются результатом пересечения прямоугольников.

Видео:🔴 Стороны основания правильной шестиугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Стороны основания правильной шестиугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Призма шестиугольная

Перед рассмотрением вопроса площади основания правильной шестиугольной призмы, сначала познакомимся с этой фигурой. Из названия и приведенной выше классификации призм понятно, что речь пойдет о фигуре, в основании которой лежит шестиугольник. Это означает, что число сторон в такой призме будет равно 8 (два основания и шесть параллелограммов), а число вершин составит 12 (6 + 6). Тогда количество ребер будет равно:

Из этих 18-ти ребер основаниям принадлежат 12.

Если в основании находится правильный шестиугольник, а углы между боковыми сторонами (параллелограммами) и основаниями равны 90 o , то такая фигура будет называться прямоугольной призмой с правильным шестиугольником в основании, или просто правильной шестиугольной призмой. Ее схематическое изображение приводится ниже.

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

В правильной шестиугольной призме все ребра равны только в том случае, если c = a, где c — высота (длина бокового ребра) и a — длина стороны шестиугольника. В общем случае c ≠ a.

Далее приведем формулы для расчета площади поверхности и объема рассматриваемой призмы. Чтобы это сделать, необходимо знать площадь основания правильной шестиугольной призмы.

Видео:Стереометрия, номер 33.1Скачать

Стереометрия, номер 33.1

Площадь шестиугольника

Получим формулу площади правильного шестиугольника. Для этого рассмотрим эту плоскую фигуру, которая изображена на рисунке ниже.

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Видно, что многоугольник состоит из шести одинаковых сторон, которые образуют угол 120 o . Поскольку этих углов шесть, то их сумма составит 720 o .

Рисунок также показывает, что правильный шестиугольник гармонично вписывается в окружность. Если соединить центр окружности с каждой вершиной фигуры, то получим 6 одинаковых треугольников. Поскольку угловая мера всей окружности составляет 360 o , то соответствующие углы треугольника равны 60 o (360 o /6). Они обозначены на рисунке. Поскольку каждый серый отрезок делит угол шестиугольника пополам, то оставшиеся два треугольника также равны по 60 o . Это означает, что изображенные 6 треугольников являются равносторонними. Длина каждой из их сторон равна стороне шестиугольника, обозначим ее буквой a.

Из курса геометрии известно, что площадь S3 любого треугольника равна произведению его высоты h на сторону a, к которой она проведена, деленному пополам, то есть:

Длину h легко вычислить, используя понятие о тригонометрической функции. Она равна:

Тогда площадь всего треугольника равна:

Умножая эту площадь на 6, получаем формулу площади правильного шестиугольника:

Для полноты информации следует отметить, что существует формула площади правильного многоугольника с произвольным количеством сторон n. Ниже приведено соответствующее выражение:

Если подставить в это выражение значение n = 6, то мы получим формулу площади основания правильной шестиугольной призмы, которая совпадет с приведенной выше.

Заметим, что деление шестиугольника на 6 равносторонних треугольников означает, что шестиугольная призма состоит из 6 правильных треугольных призм.

Видео:Вариант 6 Задание 8 ЕГЭ 2016 Математика, И В Ященко 36 вариантов Решение ОтветСкачать

Вариант 6  Задание 8  ЕГЭ 2016 Математика, И В  Ященко  36 вариантов  Решение  Ответ

Площадь поверхности

Полная площадь поверхности любой призмы может быть получена, если сложить соответствующие площади So для двух оснований и для боковой поверхности Sb, представленной параллелограммами:

Изучим развертку рассматриваемого вида призмы, которая приведена на рисунке ниже.

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Мы видим, что призма состоит из двух одинаковых шестиугольников и 6 прямоугольников. Обозначим сторону основания буквой a, а стороны прямоугольников буквами a и c (сторона a является общей для шестиугольника и прямоугольника). В таком случае площадь полной поверхности шестиугольной призмы будет составлять:

Видео:34 Стереометрия на ЕГЭ по математике. Вычисление объема правильной шестиугольной призмы.Скачать

34 Стереометрия на ЕГЭ по математике. Вычисление объема правильной шестиугольной призмы.

Объем призмы

Эта важная величина для любого реального объекта в случае призмы находится просто: необходимо лишь умножить площадь основания на высоту фигуры, то есть:

Поскольку мы рассматриваем прямоугольную призму, то ее высота равна длине бокового ребра, то есть h = c. Тогда формула для объема правильной шестиугольной призмы запишется в виде:

Таким образом, для определения площади и объема рассматриваемой фигуры необходимо знать длину ее ребра в основании и на боковой поверхности.

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2

Для чего нужно знать свойства шестиугольной призмы?

Как было сказано во введении, эти призмы встречаются в природе в металлах. В частности, кристаллическая атомная упаковка титана, цинка, циркония, магния и некоторых других металлов имеет форму шестиугольной призмы, в основании которой лежат 7 атомов (6 в вершинах и 1 в центре). От соотношения длины ребра этой фигуры к длине стороны основания зависят многие механические свойства этих металлов (деформационные и упругие характеристики).

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Выше приведен пример этой упаковки атомов, который носит сокращенное название ГПУ (гексагональная плотная упаковка).

Видео:ЕГЭ Задание 8 Правильная шестиугольная призмаСкачать

ЕГЭ Задание 8 Правильная шестиугольная призма

Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Видео:№221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 смСкачать

№221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Основание: равносторонний треугольник.

<table data-id="97" data-view-id="97_79105" data-title="Площадь правильной треугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснование

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value="площадь основания правильной шестиугольной призмы формула» data-order=»площадь основания правильной шестиугольной призмы формула«> площадь основания правильной шестиугольной призмы формулабоковая поверхностьполная

<td data-cell-id="B4" data-x="1" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value="площадь основания правильной шестиугольной призмы формула» data-order=»площадь основания правильной шестиугольной призмы формула«> площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Основание: квадрат.

<table data-id="98" data-view-id="98_52245" data-title="Площадь правильной четырехугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснованиебоковая поверхностьполная

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Основание: правильный шестиугольник

<table data-id="99" data-view-id="99_96678" data-title="Площадь правильной шестиугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснование

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value="площадь основания правильной шестиугольной призмы формула» data-order=»площадь основания правильной шестиугольной призмы формула«> площадь основания правильной шестиугольной призмы формулабоковая поверхностьполная

<td data-cell-id="B4" data-x="1" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value="площадь основания правильной шестиугольной призмы формула» data-order=»площадь основания правильной шестиугольной призмы формула«> площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Видео:Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4Скачать

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:
площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см 2 . Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:
площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Видео:Стереометрия. ЕГЭ. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмыСкачать

Стереометрия. ЕГЭ. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы

Площадь правильной шестиугольной призмы

Правильная шестиугольная призма — это прямая призма основанием которой служит правильный шестиугольник.

площадь основания правильной шестиугольной призмы формула

Как мы видим — призма имеет два основания, эти основания правильные шестиугольники со стороной a , и шесть боковых сторон, которые представляют из себя прямоугольники со сторонами a и h

Площадь правильной шестиугольной призмы складывается из двух площадей оснований и шести площадей боковых граней.

Подставим сюда формулу площади прямоугольника и формулу площади правильного шестиугольника и получим:

🔍 Видео

Объем многогранника часть правильной шестиугольной призмыСкачать

Объем многогранника   часть правильной шестиугольной призмы

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы#огэматематика #математикаСкачать

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы#огэматематика #математика

Площадь полной поверхности призмыСкачать

Площадь полной поверхности призмы

🔴 Сторона основания правильной треугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Сторона основания правильной треугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Задача 1.1. Нахождение диагонали шестиугольной призмыСкачать

Задача 1.1. Нахождение диагонали шестиугольной призмы

ЕГЭ математика задача 2 вариант 8Скачать

ЕГЭ математика задача 2 вариант 8

Стереометрия. ЕГЭ. Найдите объем многогранника, вершины - точки правильной шестиугольной призмыСкачать

Стереометрия. ЕГЭ. Найдите объем многогранника, вершины - точки правильной шестиугольной призмы

🔴 В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ЕГЭ. Математика. База . Задача 16. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмыСкачать

ЕГЭ. Математика. База . Задача 16. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы
Поделиться или сохранить к себе: