площадь многоугольника равна периметру

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Как узнать площадь многоугольника?

В задачах по геометрии часто требуется вычислить площадь многоугольника. Причем он может иметь довольно разнообразную форму – от всем знакомого треугольника до некоторого n-угольника с каким-то невообразимым числом вершин. К тому же эти многоугольники бывают выпуклыми или вогнутыми. В каждой конкретной ситуации полагается отталкиваться от внешнего вида фигуры. Так получится выбрать оптимальный путь решения задачи. Фигура может оказаться правильной, что существенно упростит решение задачи.

Видео:Площадь фигурыСкачать

Немного теории о многоугольниках

Если провести три или более пересекающихся прямых, то они образуют некоторую фигуру. Именно она является многоугольником. По количеству точек пересечения становится ясно, сколько вершин у него будет. Они дают название получившейся фигуре. Это может быть:

• треугольник;
• четырехугольник;
• пяти- или шестиугольник и так далее.

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

1. Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
2. У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Какие их виды существуют?

Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника. В выпуклом всегда все вершины лежат с одной стороны от такой прямой.

В школьном курсе геометрии большая часть времени уделяется именно выпуклым фигурам. Поэтому в задачах требуется узнать площадь выпуклого многоугольника. Тогда существует формула через радиус описанной окружности, которая позволяет найти искомую величину для любой фигуры. В других случаях однозначного решения не существует. Для треугольника формула одна, а для квадрата или трапеции совершенно другие. В ситуациях, когда фигура неправильная или вершин очень много, принято разделять их на простые и знакомые.

Видео:Как различать периметр и площадь?Скачать

Как поступить, если фигура имеет три или четыре вершины?

В первом случае он окажется треугольником, и можно воспользоваться одной из формул:

• S = 1/2 * а * н, где а — сторона, н — высота к ней;
• S = 1/2 * а * в * sin (А), где а, в — стороны треугольника, А — угол между известными сторонами;
• S = √(p * (p — а) * (p — в) * (p — с)), где с — сторона треугольника, к уже обозначенным двум, р — полупериметр, то есть сумма всех трех сторон, разделенная на два.

Фигура с четырьмя вершинами может оказаться параллелограммом:

• S = а * н;
• S = 1/2 * d₁ * d₂ * sin(α), где d₁ и d₂ — диагонали, α — угол между ними;
• S = a * в * sin(α).

Формула для площади трапеции: S = н * (a + в) / 2, где а и в — длины оснований.

Видео:Что такое периметр. Как найти периметр многоугольника?Скачать

Как поступить с правильным многоугольником, у которого больше четырех вершин?

Для начала такая фигура характеризуется тем, что в ней все стороны равны. Плюс к этому, у многоугольника одинаковые углы.

Если вокруг такой фигуры описать окружность, то ее радиус совпадет с отрезком от центра многоугольника до одной из вершин. Поэтому для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника с произвольным числом вершин, потребуется такая формула:

S_n = 1/2 * n * R_n 2 * sin (360º/n), где n — количество вершин многоугольника.

Из нее легко получить такую, которая пригодится для частных случаев:

1. треугольника: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. квадрата: S = 2 * R 2 ;
3. шестиугольника: S = (3√3)/2 * R 2 .

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Ситуация с неправильной фигурой

Выходом для того, как узнать площадь многоугольника, если он не является правильным и его нельзя отнести ни к одной из известных ранее фигур, является алгоритм:

• разбить его на простые фигуры, например, треугольники, чтобы они не пересекались;
• вычислить их площади по любой формуле;
• сложить все результаты.

Видео:ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 8 класс геометрия АтанасянСкачать

Что делать, если в задаче даны координаты вершин многоугольника?

То есть известен набор пар чисел для каждой точки, которые ограничивают стороны фигуры. Обычно они записываются как (x₁; y₁) для первой, (x₂; y₂) — для второй, а n-ая вершина имеет такие значения (x_n; y_n). Тогда площадь многоугольника определяется, как сумма n слагаемых. Каждое из них выглядит так: ((y_i+1 +y_i)/2) * (x_i+1 — x_i). В этом выражении i изменяется от единицы до n.

Стоит отметить, что знак результата будет зависеть от обхода фигуры. При использовании указанной формулы и движении по часовой стрелке ответ будет получаться отрицательным.

Видео:Быстрый способ ➜ Найдите площадь многоугольника на рисункеСкачать

Пример задачи

Условие. Координаты вершин заданы такими значениями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Требуется вычислить площадь многоугольника.

Решение. По формуле, указанной выше, первое слагаемое будет равно (1.8 + 0.6)/2 * (3.6 — 2.1). Здесь нужно просто взять значения для игрека и икса от второй и первой точек. Несложный расчет приведет к результату 1.8.

Второе слагаемое аналогично получается: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 — 3.6) = -2.6. При решении подобных задач не стоит пугаться отрицательных величин. Все идет так, как нужно. Это планомерно.

Подобным образом получаются значения для третьего (0.29), четвертого (-6.365) и пятого слагаемых (2.96). Тогда итоговая площадь равна: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = — 3.915.

Видео:Как найти площадь многоугольника? | 1 задание ЕГЭ профиль #егэпрофиль #профиль #умскул #егэСкачать

Совет по решению задачи, для которой многоугольник изображен на бумаге в клетку

Чаще всего озадачивает то, что в данных имеется только размер клеточки. Но оказывается, что больше сведений не нужно. Рекомендацией к решению такой задачи является разбивание фигуры на множество треугольников и прямоугольников. Их площади довольно просто сосчитать по длинам сторон, которые потом легко сложить.

Но часто есть более простой подход. Он заключается в том, чтобы дорисовать фигуру до прямоугольника и вычислить значение его площади. Потом сосчитать площади тех элементов, которые оказались лишними. Вычесть их из общего значения. Этот вариант порой предполагает несколько меньшее число действий.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Площадь многоугольника — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Математика, отделяя линию от площади и площадь от тела, утверждает, что реально только тело, а линия и площадь — абстракции.

До настоящего времени в теоремах и задачах рассматривались лишь числовые характеристики отдельных элементов геометрических фигур — длины сторон, градусные меры углов и т. п. В отличие от них площадь характеризует фигуру в целом, т. е. зависит как от ее формы, так и от размеров.

В повседневной жизни человек имеет дело с площадями каждый день — измеряет жилые помещения и приусадебные участки, лесные массивы и сельскохозяйственные угодья и т.д. Вычислением площадей вы занимались и на уроках математики в младших классах. Тем не менее, дать строгое с научной точки зрения определение площади не так просто, и соответствующая математическая теория была создана значительно позже многих известных теорем.

В этой главе мы обобщим сведения о многоугольниках и их площадях. Благодаря этому ваш математический багаж пополнится немалым количеством новых формул, которые необходимо знать и уметь применять. В этой связи дадим вам совет: усвоить какую-либо формулу значительно проще, если понять и запомнить способ ее получения. Более того, откроем вам маленькую профессиональную тайну: иногда даже профессиональные математики не запоминают формулы, а выводят их в уме в случае необходимости. Будет очень здорово, если такую математическую эрудицию удастся приобрести и вам.

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Многоугольник и его элементы

Рассмотрим фигуру, которая состоит из отрезков

В зависимости от количества вершин многоугольник называют треугольником, четырехугольником, пятиугольником и т.д. Многоугольник, который имеет вершин (а следовательно, сторон), называют -угольником.

Многоугольник обозначают по его вершинам. При этом буквы, которые стоят в названии многоугольника рядом, должны обозначать вершины, которые принадлежат одной стороне (соседние вершины). Например, пятиугольник на рисунке 136, б можно обозначить или но нельзя обозначать

Определение

Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон.

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины.

Например, на рисунке 136, б отрезки и являются диагоналями пятиугольника выходящими из вершины Периметр этого многоугольника вычисляется по формуле

Любой многоугольник делит плоскость на две части. Одна из них (на рисунке 136, а она закрашена) является внутренней областью многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, называют плоским многоугольником, или, в некоторых случаях, просто многоугольником. Определение

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, которая содержит его сторону.

На рисунке 137, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 137, б — невыпуклый. Далее мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.

Рассмотрим выпуклый многоугольник (рис. 138). Углы . (на рисунке они закрашены) называют углами (внутренними углами) многоугольника В частности, угол данного многоугольника при вершине на рисунке обозначен одной дужкой. Углы, смежные с данным внутренним углом, являются внешними углами многоугольника при вершине (на рисунке они обозначены двумя дужками).

Любой внутренний угол выпуклого многоугольника меньше

Определение

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

На рис. 139, а изображен вписанный многоугольник, а на рис. 139, б — описанный.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Как известно, сумма углов треугольника равна а сумма углов четырехугольника — Нетрудно предположить, что сумма углов выпуклого многоугольника должна зависеть от количества его сторон. Эта зависимость выражается следующей теоремой.

Теорема (о сумме углов выпуклого -угольника)

Сумма углов выпуклого «-угольника равна

Пусть дан выпуклый -угольник (рис. 140). Обозначим внутри него произвольную точку и соединим ее с вершинами При этом образуется треугольников. Обратим внимание на то, что сумма углов данного многоугольника равна сумме всех углов этих треугольников, кроме углов при вершине Поскольку сумма углов составляет то искомая сумма углов многоугольника равна

Пример:

Докажите, что сумма внешних углов выпуклого -угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна

Решение:

Поскольку внешний угол многоугольника по определению является смежным с соответствующим внутренним углом, то сумма этих двух углов равна Таким образом, сумма всех внутренних и внешних углов равна Чтобы получить сумму внешних углов, вычтем из этой суммы сумму внутренних углов:

Понятие площади многоугольника

Понятие площади хорошо известно нам из повседневного опыта: мы измеряем площадь спортивной площадки или садового участка, рассчитываем по площади количество обоев или коврового покрытия для ремонта комнаты и т.д. Попробуем придать представлениям о площади определенную математическую строгость.

Условимся, что под площадью многоугольника мы будем понимать площадь его внутренней области. Как и в случае измерения длин отрезков, измерение площадей основывается на сравнении данной фигуры с фигурой, площадь которой принята за единицу измерения. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Например, если за единицу измерения отрезков приняты 1 мм, 1 см или 1 м, то за единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной 1 мм, 1 см или 1 м. Площадь такого квадрата называется квадратным миллиметром квадратным сантиметром или квадратным метром соответственно. Из курса математики известны и другие единицы площади: ар (площадь квадрата со стороной 10 м), гектар (площадь квадрата со стороной 100 м) и др.

При выбранной единице измерения площадь каждого многоугольника выражается положительным числом, которое показывает, сколько раз единица измерения площади и ее части укладываются в данном многоугольнике. Обычно площадь обозначается буквой

Для определения приближенного значения площади можно использовать палетку — прозрачную пленку с квадратной сеткой (рис. 141).

Наложив палетку на фигуру, площадь этой фигуры определяют обычным подсчетом количества единичных квадратов, которые вместились в данной фигуре. Однако на практике применять такой способ неудобно. Поэтому для определения площади многоугольника обычно измеряют лишь некоторые связанные с ним отрезки, а потом вычисляют площадь по соответствующим формулам. Вывод этих формул основывается на свойствах площадей, которые мы рассмотрим ниже.

Прежде всего заметим, что когда два многоугольника равны, то единица измерения площади и ее части укладываются в каждом из них одинаковое количество раз, т. е. имеет место следующее свойство.

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

Далее, пусть многоугольник состоит из нескольких частей — других многоугольников, которые не имеют общих внутренних точек (рис. 142). Если эти части имеют площади то площадь всего многоугольника равна их сумме: В этом заключается второе свойство площадей.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Третье свойство площадей связано с единицей их измерения.

3. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади.

Три приведенных свойства называют аксиомами площадей. Итак, площадь многоугольника — это положительная величина, численное значение которой удовлетворяет аксиомам площадей.

Из этого, в частности, следует, что каждый многоугольник имеет некоторую площадь, которая однозначно определяется в заданных единицах измерения.

Определение

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади.

Очевидно, что по первой аксиоме площадей любые два равных многоугольника равновеликие. Однако не любые два равновеликих многоугольника равны.

Если рассмотреть два равных прямоугольных треугольника (рис. 143, а), то, прикладывая их равными сторонами друг к другу, можно получить равнобедренный треугольник (рис. 143, б), параллелограмм (рис. 143, в), прямоугольник (рис. 143, г) или четырехугольник с попарно равными соседними сторонами — дельтоид (рис. 143, д). Все эти фигуры равносоставленные, т. е. составлены из одних и тех же многоугольников.

По второй аксиоме площадей все образованные таким способом фигуры имеют равные площади. Следовательно, любые равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Интересно, что имеет место и обратное утверждение (теорема Бойяи — Гервина): два равновеликих многоугольника являются равносоставленными (приводим этот факт без доказательства).

• Правильные многоугольники
• Вписанные и описанные многоугольники
• Площадь прямоугольника
• Объем пространственных фигур
• Площади поверхностей геометрических тел
• Вычисление площадей плоских фигур
• Преобразование фигур в геометрии
• Многоугольник

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Что такое периметр и площадь

Периметр – это геометрический термин, который часто встречается в задачах. Чтобы понять, что такое периметр, следует нарисовать произвольный многоугольник и вооружиться линейкой. В переводе с греческого языка этот термин обозначает «измеряю вокруг».

Видео:ПЛОЩАДЬ описанного многоугольника Это просто!Скачать

Как вычислить периметр

Периметр обозначается латинской буквой P. Его можно измерить в сантиметрах, миллиметрах, метрах или дециметрах. Чтобы узнать периметр, следует измерить длину всех сторон многоугольника. Полученные значения нужно сложить. Итоговая сумма и станет ответом на вопрос: «Чему равен периметр многоугольника».

Периметр – это длина линий, которые ограничивают замкнутую фигуру (квадрат, прямоугольник, треугольник и др.).

Например, перед вами многоугольник со сторонами 10, 12, 13 и 11 см. Складываем вышеназванные числа (10+12+13+11) и получаем сумму 46. Это и есть периметр многоугольника.

Для удобства вычисления периметра в геометрии существует ряд формул. Каждая формула соответствует определенной фигуре.

Видео:Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Периметр и площадь квадрата

Это сумма его четырех сторон. Как мы знаем, все стороны квадрата имеют равный размер. Поэтому мы можем узнать периметр квадрата, умножив длину его стороны на четыре:

P= a*4

P= a+a+a+a

Например, перед нами квадрат со стороной 10 см.

Чтобы разобраться, что такое периметр и площадь, следует уяснить, что периметр вычисляет длину контура фигуры, а площадь – размер всей ее поверхности.

Чтобы узнать площадь квадрата, необходимо воспользоваться простой формулой:

S= a*a

S=a 2

S – это площадь, а – сторона квадрата.

Например, в задаче указано, что длина стороны квадрата составляет 10см.

Видео:№ 5.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)Скачать

Периметр и площадь прямоугольника

Стороны прямоугольника, находящиеся друг напротив друга и имеющие одинаковую длину, называются противолежащими. Это длина и ширина, они условно обозначаются латинскими буквами a и b. Формула для вычисления периметра прямоугольника выглядит так:

P= (a+b)*2

Используя эту формулу, мы сначала находим сумму ширины и длины, а затем умножаем ее на два.

Например, перед нами прямоугольник, имеющий длину 6 см и ширину 2 см.

Чтобы узнать площадь прямоугольника, следует длину умножить на ширину. Формула выглядит так:

S= a*b

Например, в условиях задачи сказано, что прямоугольник имеет длину 5 см и ширину 2см. Меняем буквы a и b на указанные числа.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Периметр круга (длина окружности)

Каждый круг имеет центр. Расстояние от центра круга до любой точки, расположенной на окружности, имеет название радиус круга. Часто ученики путают понятия «круг» и «окружность» и пытаются определить площадь окружности. Это серьезная ошибка. Следует разделить в голове понятия «круг» и «окружность». У окружности нет и не может быть площади, у нее есть только длина.

Чтобы найти периметр круга, следует вычислить длину его окружности. Существует формула для нахождения длины окружности:

L = 2πr

L= 2πd

L – длина окружности

π – это число «пи», математическая константа. Она равна отношению длины окружности к длине ее диаметра. Древнее название числа «пи» – лудольфово число. Это число иррационально, его десятичное представление после точки никогда не заканчивается.

π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502

Для удобства вычислений обычно используют значение 3.14

R – это радиус окружности

D – Диаметр окружности

Итак, чтобы определить периметр круга, надо найти произведение радиуса и 2π. Если в задаче указан диаметр, то

Например, перед нами круг с радиусом 3 см. Найдем его периметр.

Видео:8 класс, 10 урок, Понятие площади многоугольникаСкачать

Отличие периметра от площади

Площадь – это размер поверхности фигуры, а периметр – это сумма ее границ.

Площадь всегда измеряется в квадратных единицах (см 2 , м 2 , мм 2 ). Периметр измеряется в единицах длины – в сантиметрах, миллиметрах, метрах, дециметрах.

🌟 Видео

№697. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметраСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивыхСкачать