площадь куба и его погрешность

Видео:Математика 5 Объем куба Соотношения между единицами объемаСкачать

Нахождение площади поверхности куба: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности куба и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ КУБА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО РЕБРО? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Формула вычисления площади куба

1. Через длину ребра

Площадь (S) поверхности куба равна произведению числа 6 на длину его ребра в квадрате.

S = 6 ⋅ a 2

Данная формула получена следующим образом:

Куб – это правильная геометрическая фигура, все грани которого являются равными квадратами с длиной стороны a (одновременно является ребром куба).

2. Через длину диагонали грани

Сторона любой грани куба (ребро) может быть рассчитана через длину ее диагонали по формуле: a=d/√ 2 .

Это значит, что вычислить площадь поверхности фигуры можно так:

S = 6 ⋅ (d/√ 2 ) 2

Видео:Площадь поверхности куба. 5 кл.ЕГЭ(базовый уровень)Скачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь поверхности куба, если длина его ребра составляет 12 см.

Решение:
Используем первую формулу выше и получаем:
S = 6 ⋅ (12 см) 2 = 864 см 2 .

Задание 2
Площадь поверхности куба равняется 294 см 2 . Вычислите длину его ребра.

Решение:
Примем ребро куба за a. Из формулы расчета площади следует:

Задание 3
Вычислите площадь поверхности куба, если диагональ его грани равняется 5 см.

Решение:
Воспользуемся формулой, в которой задействована длина диагонали:
S = 6 ⋅ (5 см : √ 2 ) 2 = 75 см 2 .

Видео:КАК НАЙТИ ОБЪЕМ КУБА ПО РЕБРУ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Немного информации о кубе и о способах того, как вычислить площадь поверхности куба

Куб — удивительная фигура. Он одинаковый со всех сторон. Любая его грань может вмиг стать основанием или боковой. И от этого ничего не изменится. А формулы для него всегда легко запоминаются. И неважно, что нужно найти — объем или площадь поверхности куба. В последнем случае даже не нужно учить что-то новое. Достаточно помнить только формулу площади квадрата.

Видео:№188. Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.Скачать

Что такое площадь?

Эту величину принято обозначать латинской буквой S. Причем это справедливо для школьных предметов, таких как физика и математика. Измеряется она в квадратных единицах длины. Все зависит от данных в задаче величин. Это могут быть мм, см, м или км в квадрате. Причем возможны случаи, когда единицы даже не указаны. Идет речь просто о числовом выражении площади без наименования.

Так что же такое площадь? Это величина, которая является числовой характеристикой рассматриваемой фигуры или объемного тела. Она показывает размер ее поверхности, которая ограничена сторонами фигуры.

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Какая фигура называется кубом?

Эта фигура является многогранником. Причем непростым. Он правильный, то есть у него все элементы равны друг другу. Будь то стороны или грани. Каждая поверхность куба представляет собой квадрат.

Другое название куба — правильный гексаэдр, если по-русски, то шестигранник. Он может быть образован из четырехугольной призмы или параллелепипеда. При соблюдении условия, когда все ребра равны и углы образуют 90 градусов.

Эта фигура настолько гармонична, что часто используется в быту. Например, первые игрушки малыша — кубики. А забава для тех, кто постарше, — кубик Рубика.

Видео:Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.Скачать

Как связан куб с другими фигурами и телами?

Если начертить сечение куба, которое проходит через три его грани, то оно будет иметь вид треугольника. По мере удаления от вершины сечение будет все больше. Настанет момент, когда пересекаться будут уже 4 грани, и фигура в сечении станет четырехугольником. Если провести сечение через центр куба так, чтобы оно было перпендикулярно его главным диагоналям, то получится правильный шестиугольник.

Внутри куба можно начертить тетраэдр (треугольную пирамиду). За вершину тетраэдра берется один из его углов. Остальные три совпадут с вершинами, которые лежат на противоположных концах ребер выбранного угла куба.

В него можно вписать октаэдр (выпуклый правильный многогранник, который похож на две соединенные пирамиды). Для этого нужно найти центры всех граней куба. Они будут вершинами октаэдра.

Возможна и обратная операция, то есть внутрь октаэдра реально вписать куб. Только теперь центры граней первого станут вершинами для второго.

Видео:Если ребро куба увеличить на 1, то площадь поверхностиСкачать

Метод 1: вычисление площади куба по его ребру

Для того чтобы вычислить всю площадь поверхности куба, потребуется знание одного из его элементов. Самый простой способ решения, когда известно его ребро или, другими словами, сторона квадрата, из которого он состоит. Обычно эта величина обозначается латинской буквой «а».

Теперь нужно вспомнить формулу, по которой вычисляется площадь квадрата. Чтобы не запутаться, введено ее обозначение буквой S₁.

Для удобства лучше задать номера всем формулам. Эта будет первой.

Но это площадь только одного квадратика. Всего их шесть: 4 по бокам и 2 снизу и сверху. Тогда площадь поверхности куба вычисляется по такой формуле: S = 6 * a 2 . Ее номер 2.

Видео:Как найти площадь поверхности через диагональ куба? #509335Скачать

Метод 2: как вычислить площадь, если известен объем тела

Этот способ сводится к тому, чтобы сосчитать длину ребра по известному объему. И потом уже воспользоваться известной формулой, которая здесь обозначена цифрой 2.

Из математического выражения для объема гексаэдра выводится то, по которому можно сосчитать длину ребра. Вот она:

Нумерация продолжается, и здесь уже цифра 3.

Теперь его можно вычислить и подставить во вторую формулу. Если действовать по нормам математики, то нужно вывести такое выражение:

Это формула площади всей поверхности куба, которой можно воспользоваться, если известен объем. Номер этой записи 4.

Видео:Найти объем куба, если известна его площадь поверхностиСкачать

Метод 3: расчет площади по диагонали куба

Для того чтобы рассчитать площадь полной поверхности куба, также потребуется вывести ребро через известную диагональ. Здесь используется формула для главной диагонали гексаэдра:

Из нее легко вывести выражение для ребра куба:

Это шестая формула. После его вычисления можно снова воспользоваться формулой под вторым номером. Но лучше записать такую:

Она оказывается пронумерованной цифрой 7. Если внимательно посмотреть, то можно заметить, что последняя формула удобнее, чем поэтапный расчет.

Видео:Урок 6. Задачи на вычисление погрешностейСкачать

Метод 4: как воспользоваться радиусом вписанной или описанной окружности для вычисления площади куба

Если обозначить радиус описанной около гексаэдра окружности буквой R, то площадь поверхности куба будет легко вычислить по такой формуле:

Ее порядковый номер 8. Она легко получается благодаря тому, что диаметр окружности полностью совпадает с главной диагональю.

Обозначив радиус вписанной окружности латинской буквой r, можно получить такую формулу для площади всей поверхности гексаэдра:

Видео:5 класс, 21 урок, Объемы. Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Несколько слов о боковой поверхности гексаэдра

Если в задаче требуется найти площадь боковой поверхности куба, то нужно воспользоваться уже описанным выше приемом. Когда уже дано ребро тела, то просто площадь квадрата нужно умножить на 4. Эта цифра появилась из-за того, что боковых граней у куба всего 4. Математическая запись этого выражения такая:

Ее номер 10. Если даны какие-то другие величины, то поступают аналогично описанным выше методам.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Примеры задач

Условие первой. Известна площадь поверхности куба. Она равна 200 см². Необходимо вычислить главную диагональ куба.

1 способ. Нужно воспользоваться формулой, которая обозначена цифрой 2. Из нее будет несложно вывести «а». Эта математическая запись будет выглядеть как квадратный корень из частного, равного S на 6. После подстановки чисел получается:

а = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (см).

Пятая формула позволяет сразу вычислить главную диагональ куба. Для этого нужно значение ребра умножить на √3. Это просто. В ответе получается, что диагональ равна 10 см.

2 способ. На случай если забылась формула для диагонали, но помнится теорема Пифагора.

Аналогично тому, как было в первом способе, найти ребро. Потом нужно записать теорему для гипотенузы два раза: первую для треугольника на грани, вторую для того, который содержит искомую диагональ.

х² = а² + а², где х — диагональ квадрата.

d² = х² + а² = а² + а² + а² = 3 а². Из этой записи легко видно, как получается формула для диагонали. А дальше все расчеты будут, как в первом способе. Он немножко длиннее, но позволяет не запоминать формулу, а получить ее самостоятельно.

Ответ: диагональ куба равна 10 см.

Условие второй. По известной площади поверхности, которая равна 54 см 2 , вычислить объем куба.

Пользуясь формулой под вторым номером, нужно узнать значение ребра куба. То, как это делается, подробно описано в первом способе решения предыдущей задачи. Проведя все вычисления, получим, что а = 3 см.

Теперь нужно воспользоваться формулой для объема куба, в которой длина ребра возводится в третью степень. Значит, объем будет считаться так: V = 3 3 = 27 см 3 .

Ответ: объем куба равен 27 см 3 .

Условие третьей. Требуется найти ребро куба, для которого выполняется следующее условие. При увеличении ребра на 9 единиц площадь всей поверхности увеличивается на 594.

Поскольку явных чисел в задаче не дано, только разности между тем, что было, и тем, что стало, то нужно ввести дополнительные обозначения. Это несложно. Пусть искомая величина будет равна «а». Тогда увеличенное ребро куба будет равно (а + 9).

Зная это, нужно записать формулу для площади поверхности куба два раза. Первая — для начального значения ребра — совпадет с той, которая пронумерована цифрой 2. Вторая будет немного отличаться. В ней вместо «а» нужно записать сумму (а + 9). Так как в задаче идет речь о разности площадей, то нужно вычесть из большей площади меньшую:

6 * (а + 9) 2 — 6 * а 2 = 594.

Нужно провести преобразования. Сначала вынести за скобку 6 в левой части равенства, а потом упростить то, что останется в скобках. А именно (а + 9) 2 — а 2 . Здесь записана разность квадратов, которую можно преобразовать так: (а + 9 — а)(а + 9 + а). После упрощения выражения получается 9(2а + 9).

Теперь его нужно умножить на 6, то есть то число, что было перед скобкой, и приравнять к 594: 54(2а + 9) = 594. Это линейное уравнение с одной неизвестной. Его легко решить. Сначала нужно раскрыть скобки, а потом перенести в левую часть равенства слагаемое с неизвестной величиной, а числа — в правую. Получится уравнение: 2а = 2. Из него видно, что искомая величина равна 1.

Видео:Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Погрешность простейших функций двух переменных

Погрешность разности:

При качество измерений разности ухудшается.

Замечание: Абсолютная погрешность суммы и разности n приближенных величин равна сумме их абсолютных погрешностей.

То есть предпочтительней сначала найти относительную погрешность, а затем искать абсолютную:
Замечания:

· Относительная погрешность степени есть произведение модуля показателя на относительную погрешность основания степени: .

· Относительная погрешность произведения nсомножителей приближенных величин равна сумме относительных погрешностей сомножителей:
.
Погрешность частного:

Все замечания сделанные для произведения справедливы и в этом случае.

Примеры и задания

Пример: дано приближенное число 3457,0погрешность — 0,6. Найти число верных знаков. Цифра 3 входит в число с весом 10 3 , (1.3) то есть m=3. , минимальное k=1, , то есть верны три знака
Пример: Дан куб, сторона которого , измерена с точностью . Определить погрешности измерения поверхности и объема куба:

Пример. Расчет погрешности функции трех переменных (1.2.1):

, , .

.

Пример. Катеты прямоугольного треугольника см. и см. измерены с погрешностью см. Определить погрешность измерения гипотенузы с.

см., , , см.

В каждом варианте задания три задачи, ниже приведены последовательно первая, вторая и третья задачи вариантов.

А. Найти абсолютную и относительную ошибки выражения , где , и — приближенные величины данные с погрешностями — соответственно:

1) , . 2) , .

3) , .

4) , .

5) , . 6) ,

7) , . 8) , . 9) , .

10) , . 11) , . 12) , .

13) , . 14) , .

15) , . 16. , .

Б. Дано приближенное число и его погрешность. Найти количество верных знаков:

1) 23,587; 0,08 . 2) 13,58; 0,07. 3) 103,58; 0,03. 4) 1655; 6.

5) 323,07; 0,06. 6) 43,837; 0,008. 7) 16,402; 0,009. 8) 13,540; 0,006.

9) 31,541; 0,003. 10) 13,42; 0,03. 11) 137,5; 0,08. 12) 134; 20.

13) 3457,0; 0,6. 14) 4657; 8. 15) 16,47; 0,07. 16) 130,6; 0,06.

В. Дана геометрическая фигура. Определить в трехмерном случае объем и полную поверхность, а в плоском случае площадь и периметр. Погрешность определения размеров линейных элементов равна 1см:

1) Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 20 и 30см. и высотой равной 12см.

2) Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 10см. и высотой равной 12см.

3) Конус с высотой равной 30см. и радиусом равным 40см.

4) Прямоугольный параллелепипед с высотой 30см стороной основания 60см и диагональю основания 100см.

5) Цилиндр с главной диагональю равной 100см. и радиусом равным 40см.

6) Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 20 и 80см. и высотой равной 40см.

7) Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 60см. и высотой равной 40см.

8) Прямоугольный параллелепипед с высотой 25см, стороной основания 60 и диагональю основания 100см.

9) Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 34 и 58см. и высотой равной 5см.

10) Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 120см. и высотой равной 80см.

11) Конус с высотой равной 12см. и радиусом основания, равным 5см.

12) Прямоугольный параллелепипед с высотой 20см стороной основания 50 и диагональю основания 130см.

13) Цилиндр с образующей равной 60см. и главной диагональю равной 100см.

14) Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 20 и 32см. и высотой равной 8см.

15) Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 24см. и высотой равной 5см.

16) Прямоугольный параллелепипед со стороной основания 12см, его диагональю 13см и высотой 40см.

Приближение функций

Во многих случаях функция задается таблично, то есть, известны её значения только в узловых точках (узлах):

Необходимо построить функцию, приблизительно описывающую зависимость между узлами. Приближающая функция обычно берется в виде суммы элементарных функций. На практике используются степенные, показательные, тригонометрические функции. В дальнейшем будем рассматривать полиномиальное приближение, т.е. приближающая функция имеет вид:

. (2.1)

Существуют два основных критерия (условия) построения приближающих функций. Критерий интерполяции требует, чтобы приближающая функция проходила через узлы. Критерий аппроксимации требует минимизации некоторого функционала.

Интерполяционные полиномы

Полином степени n однозначно определяется своими значениями в n+1точке с попарно разными абсциссами: , если . Действительно, выпишем согласно критерию интерполяции систему уравнений или в развернутом виде:
.

Система (n+1)-ого уравнения относительно , имеет единственное решение, если так как в этом случае определитель не равен 0. Существуют методы, позволяющие избежать непосредственного решения системы уравнений для нахождения .

💥 Видео

Куб. Кубики. Форма, грани, ребра, объем кубаСкачать

КАК НАЙТИ РЕБРО КУБА, ЗНАЯ ЕГО ОБЪЕМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 8. Диагональ, площадь поверхности кубаСкачать

Как вычислить объем куба, площадь, периметрСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ВСЕХ РЕБЕР КУБА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Если ребро куба увеличить на 1, то объемСкачать