площадь кругового сектора конуса (6 видео)

Содержание

Площадь кругового сектора конуса
Что такое конус: определение, элементы, виды
Определение конуса
Основные элементы конуса
Вывод формулы площади конуса. Пример решения задачи
Конус с круглым основанием
Развертка фигуры
Вычисление площади поверхности фигуры
Задача на вычисление площади конуса
🌟 Видео

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Площадь кругового сектора конуса

Так как все образующие конуса равны, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса, а основанием — диаметр конуса. При этом все осевые сечения конуса — равные равнобедренные треугольники . На рисунке 168 осевым сечением конуса является треугольник ABP ( АР = ВР ). Угол АPВ называют углом при вершине осевого сечения конуса .

Конус, в осевом сечении которого правильный треугольник, называется равносторонним конусом.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, пересекает конус, но не проходит через его ось, то в сечении конуса также получается равнобедренный треугольник (см. рис. 168: △ DCP ).

Так как конус — тело вращения, то любое сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси (т. е. параллельной основанию конуса), есть круг, а сечение боковой поверхности конуса такой плоскостью — окружность этого круга; центром круга (окружности) является точка пересечения оси конуса и секущей плоскости (рис. 169).

Если секущая плоскость не параллельна плоскости основания конуса и не пересекает основание, то сечением боковой поверхности конуса такой плоскостью является эллипс (рис. 170). Поэтому эллипс называют коническим сечением .

Если сечением цилиндрической поверхности плоскостью может быть либо окружность, либо эллипс, либо две параллельные прямые, то сечением конической поверхности плоскостью может быть либо окружность (секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности вращения и не проходит через её вершину, рис. 171, a ), либо эллипс (секущая плоскость не перпендикулярна оси конической поверхности и пересекает все её образующие, рис. 171, б ), либо парабола (секущая плоскость параллельна только одной образующей конической поверхности, рис. 171, в ), либо гипербола (секущая плоскость параллельна оси конической поверхности, рис. 171, г ), либо пара пересекающихся прямых (секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, рис. 171, д ). Поэтому невырожденные кривые второго порядка — окружность, эллипс, параболу и гиперболу называют коническими сечениями или коротко — кониками .

О конических сечениях можно прочитать в очерках «Элементарная геометрия», «Проективная геометрия» в конце этой книги.

 ЗАДАЧА (3.047). Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу: а) в 60 ° ; б) в 90 ° . Найти площадь сечения.

Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть плоскость α пересекает поверхность конуса с вершиной Р по образующим РА и РВ (рис. 172); △ АВР — искомое сечение. Найдём площадь этого сечения.

Хорда АВ окружности основания стягивает дугу в 60 ° , значит, △ AOB — правильный и АВ = R .

Если точка С — середина стороны АB, то отрезок PC — высота треугольника АВР. Поэтому S △ ABP = АВ • РC. Имеем: ОР = R (по условию); в △ A OB : ОС = ; в △ ОСР : CP = = .

Тогда S △ ABP = АВ • РС = .

Ответ: а) .

18.3. Касательная плоскость к конусу

Определение. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярно осевому сечению, проведённому через эту образующую.

Говорят, что плоскость α касается конуса по образующей РА (рис. 173): каждая точка образующей РА является точкой касания плоскости α и данного конуса.

Через любую точку боковой поверхности конуса проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности конуса можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному конусу в этой точке.

18.4. Изображение конуса

Для изображения конуса достаточно построить: 1) эллипс, изображающий окружность основания конуса (рис. 174); 2) центр О этого эллипса; 3) отрезок ОР, изображающий высоту конуса; 4) касательные прямые РА и PB из точки Р к эллипсу (их проводят с помощью линейки на глаз).

Для достижения наглядности изображения невидимые линии изображают штрихами.

Необходимо заметить, что отрезок АВ, соединяющий точки касания образующих и окружности основания конуса, ни в коем случае не является диаметром основания конуса, т. е. этот отрезок не содержит центра О эллипса. Следовательно, △ АBP — не осевое сечение конуса. Осевым сечением конуса является △ ACP, где отрезок AC проходит через точку О, но образующая PC не является касательной к окружности основания.

18.5. Развёртка и площадь поверхности конуса

Пусть l — длина образующей, R — радиус основания конуса с вершиной Р .

Поверхность конуса состоит из боковой поверхности конуса и его основания. Если эту поверхность разрезать по одной из образующих, например по образующей PA (рис. 175), и по окружности основания, затем боковую поверхность конуса развернуть на плоскости (рис. 176, a ), то получим развёртку поверхности конуса (рис. 176, б ), состоящую из: а) кругового сектора, радиус которого равен образующей l конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса; б) круга, радиус которого равен радиусу R основания конуса. Угол сектора развёртки боковой поверхности конуса называют углом развёртки конуса ; его численная величина равна отношению длины окружности основания конуса к его образующей (радиусу сектора развёртки):

α = .

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через длину l его образующей и радиус R основания.

Площадь боковой поверхности — площадь кругового сектора радиуса длины l — вычисляется по формуле

S бок = α • l 2 , (1)

где α — величина угла (в радианах) сектора — развёртки. Учитывая, что α = , получаем:

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 27. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. ▼

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его боковой поверхности и основания, т. е.

S кон = π Rl + π R 2 . (3)

Следствие. Пусть конус образован вращением пря м оугольного треугольника ABC вокруг катета АС (рис. 177). Тогда S бок = π • BC • АВ. Если D — середина отрезка АВ, то AB = 2 AD, поэтому

S бок = 2 π ВС • AD. (4)

Проведём DE ⟂ АB ( E ∈ l = AС ) . Из подобия прямоугольных треугольников ADE и ACB (у них общий угол А ) имеем

= ⇒ BC • AD = DE • АС. (5)

Тогда соотношение (4) принимает вид

S бок = (2 π • DE ) • AC, (6)

т. е. площадь боковой поверхности конуса равна произведению высоты конуса на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведённого из точки на оси конуса к его образующей.

Это следствие будет использовано в п. 19.7.

18.6. Свойства параллельных сечений конуса

Теоремa 28. Если конус пересечён плоскостью, параллельной основанию, то: 1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается круг; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательств о. 1) Пусть конус с вершиной Р и основанием F пересечён плоскостью α , параллельной плоскости β основания конуса и расположенной между Р и β (рис. 178).

Проведём высоту РО конуса, где точка О — центр круга F. Так как РО ⟂ β , α || β , то α ⟂ РО. Значит, в сечении конуса плоскостью α получается круг с центром в точке O 1 = α ∩ РО. Обозначим этот круг F 1 .

Рассмотрим гомотетию с центром P, при которой плоскость β основания данного конуса отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия отображает основание F конуса на его параллельное сечение — круг F 1 , при этом центр О основания отображается на центр О 1 круга F 1 (почему?). Кроме того, если РХ — произвольная образующая конуса, где Х — точка окружности основания, то при гомотетии точка X отображается на точку X 1 = РX ∩ α . Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

= = k, (*)

где k — коэффициент гомотетии , т. е. параллельное сечение конуса делит его образующие и высоту на пропорциональные части.

А поскольку гомотетия является подобием, то круг F 1 , являющийся параллельным сечением конуса, подобен его основанию.

Вследствие того что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии и k = PO 1 : Р О , где РO 1 и PO — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

S сечен : S основ = k 2 = : PO 2 .

18.7. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды

Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если у них вершина общая, а основание пирамиды вписано в основание конуса. В этом случае конус называется описанным около пирамиды.

Для построения изображения правильной пирамиды, вписанной в конус:

— строят изображение основания пирамиды — правильного многоугольника, вписанного в основание конуса;

— соединяют отрезками прямых вершину конуса с вершинами построенного многоугольника;

— выделяют видимые и невидимые (штрихами) линии изображаемых фигур.

На рисунках 179—182 изображена вписанная в конус пирамида, в основаниях которой лежит:

— прямоугольный треугольник (см. рис. 179);

Видео:Конус. 11 класс.Скачать

Что такое конус: определение, элементы, виды

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и виды одной из самых распространенных фигур в пространстве – конуса. Представленная информация сопровождается соответствующими рисунками для лучшего восприятия.

Видео:9 класс, 28 урок, Площадь кругового сектораСкачать

Определение конуса

Далее мы будем рассматривать самый распространенный вид конуса – прямой круговой. Остальные возможные варианты фигуры перечислены в последнем разделе публикации.

Итак, прямой круговой конус – это трехмерная геометрическая фигура, полученная путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов, который в данном случае будет являться осью фигуры. Ввиду этого иногда такой конус называют конусом вращения.

Конус на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ACD (или BCD) вокруг катета CD.

Видео:🌟 Откройте мир конусов: исследуем площадь их поверхности!Скачать

Основные элементы конуса

R – радиус круга, являющегося основанием конуса. Центр круга – точка D, диаметр – отрезок AB.
h (CD) – высота конуса, одновременно являющаяся осью фигуры и катетом прямоугольных треугольников ACD или BCD.
Точка C – вершина конуса.
l (CA, CB, CL и CM) – образующие конуса; это отрезки, соединяющие вершину конуса с точками на окружности его основания.

Между образующей конуса, его высотой и радиусом основания есть взаимосвязь (согласно теореме Пифагора):

Развёртка конуса – боковая поверхность конуса, развернутая в плоскость; является круговым сектором.

длина дуги сектора равняется длине окружности основания конуса (т.е. 2πR );
α – угол развёртки (или центральный угол);
l – радиус сектора.

Примечание: Основные свойства конуса мы рассмотрели в отдельной публикации.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)Скачать

Вывод формулы площади конуса. Пример решения задачи

Изучение свойств пространственных фигур играет важную роль для решения практических задач. Наука, которая занимается фигурами в пространстве, называется стереометрией. В данной статье, с точки зрения стереометрии, рассмотрим конус и покажем, как находить площадь конуса.

Видео:Геометрия 11 класс (Урок№7 - Конус.)Скачать

Конус с круглым основанием

В общем случае конусом называется поверхность, построенная на некоторой плоской кривой, все точки которой соединены отрезками с одной точкой пространства. Последняя называется вершиной конуса.

Вам будет интересно: Пытка — это что такое. Значение и определение

Из приведенного определения понятно, что кривая может иметь произвольную форму, например параболическую, гиперболическую, эллиптическую и так далее. Тем не менее на практике и в задачах по геометрии встречается часто именно круглый конус. Он показан ниже на рисунке.

Здесь символом r обозначен радиус круга, находящегося в основании фигуры, h — это перпендикуляр к плоскости круга, который проведен из вершины фигуры. Он называется высотой. Величина s — это образующая конуса, или его генератриса.

Видно, что отрезки r, h и s образуют прямоугольный треугольник. Если его вращать вокруг катета h, то гипотенуза s опишет коническую поверхность, а катет r образует круглое основание фигуры. По этой причине конус считают фигурой вращения. Три названных линейных параметра связаны между собой равенством:

Отметим, что приведенное равенство справедливо только для круглого прямого конуса. Прямой фигура является только в том случае, если ее высота падает точно в центр круга основания. Если это условие не выполняется, то фигура называется наклонной. Разница между прямым и наклонным конусами показана ниже на рисунке.

Видео:Усеченный конус. 11 класс.Скачать

Развертка фигуры

Изучение площади поверхности конуса удобно проводить, рассматривая его на плоскости. Такой способ представления поверхности фигур в пространстве называется их разверткой. Для конуса эту развертку можно получить следующим образом: необходимо взять фигуру, изготовленную, например, из бумаги. Затем, ножницами отрезать круглое основание по окружности. После этого вдоль генератрисы сделать разрез конической поверхности и развернуть ее на плоскость. Результатом этих несложных операций будет развертка конуса, показанная ниже на рисунке.

Как видно, поверхность конуса действительно можно представить на плоскости. Она состоит из двух следующих частей:

круг радиусом r, представляющий основание фигуры;
круговой сектор радиусом g, являющийся конической поверхностью.

Формула площади конуса предполагает нахождение площадей обеих развернутых поверхностей.

Видео:62. Площадь поверхности конусаСкачать

Вычисление площади поверхности фигуры

Разделим поставленную задачу на два этапа. Сначала найдем площадь основания конуса, затем площадь конической поверхности.

Первую часть задачи решить просто. Поскольку дан радиус r, то для вычисления площади основания достаточно вспомнить соответствующее выражение для площади круга. Запишем его:

Если радиус не известен, тогда сначала следует его найти, пользуясь формулой связи между ним, высотой и генератрисой.

Вторая часть задачи по нахождению площади конуса несколько сложнее. Заметим, что круговой сектор построен на радиусе g генератрисы и ограничен дугой, длина которой равна длине окружности круга. Этот факт позволяет записать пропорцию и найти угол рассматриваемого сектора. Обозначим его греческой буквой φ. Этот угол будет равен:

2 × pi => 2 × pi × g;

Зная центральный угол φ кругового сектора, можно с помощью соответствующей пропорции найти его площадь. Обозначим ее символом Sb. Она будет равна:

Sb = pi × g2 × φ / (2 × pi) = pi × r × g

То есть площадь конической поверхности соответствует произведению образующей g, радиуса основания r и числа Пи.

Зная, чему равны площади обеих рассмотренных поверхностей, можно записать конечную формулу площади конуса:

S = So + Sb = pi × r2 + pi × r × g = pi × r × (r + g)

Записанное выражение предполагает для вычисления S знание двух линейных параметров конуса. Если g или r неизвестны, то их можно найти через высоту h.

Видео:Конус | Геометрия 7-9 класс #125 | ИнфоурокСкачать

Задача на вычисление площади конуса

Известно, что высота круглого прямого конуса равна его диаметру. Необходимо вычислить площадь фигуры, зная, что площадь ее основания составляет 50 см2.

Зная площадь круга, можно найти радиус фигуры. Имеем:

Теперь найдем генератрису g через h и r. Согласно условию, высота h фигуры равна двум радиусам r, тогда:

g = √5 × r = √(5 × So / pi)

Найденные формулы для g и r следует подставить в выражение для всей площади конуса. Получаем:

S = So + pi × √(So / pi) × √(5 × So / pi) = So × (1 + √5)

В полученное выражение подставляем площадь основания So и записываем ответ: S ≈ 161,8 см2.