площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.

Задания по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Пример1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, и х = 2

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Выполним построение фигуры (см. рис.) Строим прямую х + 2у – 4 = 0 по двум точкам А(4;0) и В(0;2). Выразив у через х, получим у = -0,5х + 2. По формуле (1), где f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, находим

S = = [-0,25=11,25 кв. ед

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 и у = 0.

Решение. Выполним построение фигуры.

Построим прямую х – 2у + 4 = 0: у = 0, х = — 4, А(-4; 0); х = 0, у = 2, В(0; 2).

Построим прямую х + у – 5 = 0: у = 0, х = 5, С(5; 0), х = 0, у = 5, D(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМN и NМС, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой , а при изменении х от N до С — прямой

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Для треугольника АМN имеем: ; у = 0,5х + 2, т. е. f(x) = 0,5х + 2, a = — 4, b = 2.

Для треугольника NМС имеем: y = — x + 5, т. е. f(x) = — x + 5, a = 2, b = 5.

Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:

= 9 + 4, 5 = 13,5 кв. ед. Проверка: = 0,5АС = 0,5 кв. ед.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x 2 , прямыми x = 2 и x = 3и осью Ох(см. рис.) По формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = — x 2 + 4 и у = 0

Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой у = — x 2 + 4 и осью Ох.

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у = 0, найдем х = Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим: = +4x]кв. ед. 2 = 2 кв. ед.

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy 2 = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = ( = кв. ед.

Пример 6 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Имеем — cosx = — cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = — 6х, у = 0 и х = 4.

Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).

Следовательно, её площадь находим по формуле (3)

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4 )

площадь криволинейной трапеции примеры заданий+ = = + = 1

Пример 9 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х 2 + у 2 = r 2 , т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х 2 и у = 2х

Данная фигура ограничена параболой у= х 2 и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х 2 – 2х = 0 х = 0 и х = 2

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Используя для нахождения площади формулу (5), получим

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 7x 2 – 9y + 9 = 0 и 5x 2 – 9y + 27 = 0.

Запишем уравнения парабол в виде у =

Построим эти параболы.

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Для нахождения точек их пересечения решим систему.Так как фигура симметрична относительно оси Оу, то найдем половину её площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и результат удвоим: 1 = = = 4 1 = 8

Задания для самостоятельной работы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. у = х площадь криволинейной трапеции примеры заданий+ 3х и у = 0 2. у = 6х – х площадь криволинейной трапеции примеры заданийи у = х + 4

3.y = x; y = ; y = 0; x = 2; 4.у = х площадь криволинейной трапеции примеры заданийи у = -3х 5 . y = x 2 – 6x +9; y = x 2 + 4x + 4; y = 0;

1. у = х площадь криволинейной трапеции примеры заданий— 4х + 3 и у = 0

2. у = 4 — х площадь криволинейной трапеции примеры заданийи у = х + 2

4. у = х площадь криволинейной трапеции примеры заданий+ 2 и у = 6

5. y = x 2 – 6x +9; y = x 2 + 4x + 4; y = 0;

1. у = 8х — 4х площадь криволинейной трапеции примеры заданийи у = 0

2. у = х площадь криволинейной трапеции примеры заданийи у = 4х – 3

3. у = х площадь криволинейной трапеции примеры заданийи у = -3х

4. y =x; y = ; y = 0; x = 2;

5. y = x 2 – 6x +9; y = x 2 + 4x + 4; y = 0;

1. у = х площадь криволинейной трапеции примеры заданий— 6х + 5 и у = 0

2. у = х площадь криволинейной трапеции примеры заданий+ 1 и у = 3 – х

3. у = х площадь криволинейной трапеции примеры заданийи у = 2х

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

Примеры_задач_по теме_»Нахождение площади криволинейной трапеции»
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Данный материал можно использовать как обучающий материал для практических занятий по теме «Вычисление неопределенного интеграла.Площади криволинейных трапеции», в помощь отстающим ученикам или как наглядный материал при закреплении темы.

Видео:Урок 17. Площадь криволинейной трапеции. Алгебра 11 класс.Скачать

Урок 17. Площадь криволинейной трапеции. Алгебра 11 класс.

Скачать:

ВложениеРазмер
ploshchad_krivolineynoy_trapecii.docx158.85 КБ

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.

Предварительный просмотр:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

Находим: x 1 = -2, x 2 = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A (-2; 0), B (4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Задача 2: Определить площадь, ограниченную параболой y = x 2 + 1 и прямой x + y = 3.

Решение: Решая систему уравнений

находим абсциссы точек пересечения x 1 = -2 и x 2 = 1.

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Полагая y 2 = 3 — x и y 1 = x 2 + 1, на основании формулы получаем

Задача 3. Пусть имеем две функции:

И нам надо найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями.
Преобразуем эти функции к следующему виду.

Нанесём их на декартовую систему координат и обозначим нашу фигуру:

Видим по рисунку, что часть нашей фигуры находится над осью абсцисс и часть под ней. Для того, что бы найти площадь той части, что над осью нужно просто найти интеграл от первой функции в границах от 0 до 2. Что бы найти площадь части фигуры, которая расположена под осью абсцисс , надо вычислить интеграл от второй функции (не забудьте про знак минус) в границах от 0 до 3. Но это будет площадь треугольника OAC , видим, что с этого надо ещё вычесть площадь фигуры ABC (это будет интеграл от первой функции в границах от 2 до 3). Поэтому, выходя из этих данных, мы это всё можем записать одним интегралом :

Решив этот интеграл, мы и найдём площадь нужной нам фигуры.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = — x 2 + x + 4 и y = — x + 1.

Найдем точки пересечения линий y = — x 2 + x + 4, y = — x + 1, приравнивая ординаты линий: — x 2 + x + 4 = — x + 1 или x 2 — 2 x — 3 = 0. Находим корни x 1 = -1, x 2 = 3 и соответствующие им ординаты y 1 = 2, y 2 = -2.

По формуле площади фигуры получаем

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме: «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Конспект урока позволяет проверить умения обучающихся находить первообразные элементарных функций по таблице. Также данный материал помогает объяснить, что называется криволинейной трапецией и как нах.

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

«Конспект урока по теме: «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции»

Конспект занятия по алгебре для 2 курса СПО по теме: «Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции».

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Конспект занятия по теме «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции»

Конспект занятия для обучающихся 2 курса СПО по теме: «Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции».

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Практическая работа по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Практическая работа по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции». Предлагается 6 вариантов заданий + образец выполнения.

дистанционный урок по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Урок предназначен для студентов СПО заочной формы обучения.

Практическое занятие по теме Вычисление площади криволинейной трапеции

Методическое пособие для учащихся.

Конспект урока «Нахождение площадей криволинейных трапеций»

Данный материал — конспект урока закрепления знаний по теме «Нахождений площадей криволинейных трапеций».

Видео:Площадь криволинейной трапецииСкачать

Площадь криволинейной трапеции

11.1.9.2. Площадь криволинейной трапеции. Примеры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, слева и справа прямыми х= a , x= b , находят по формуле Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л):

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

площадь криволинейной трапеции примеры заданийПример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x²; y=0 ; x=0 ; x=4 .

Решение. Строим графики данных линий. (рис. 1).
1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c). Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1 О′(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения:

Выносим х за скобки, получаем: х(4-х)=0. Отсюда, х=0 или х=4. Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).

2) y=0 — это ось Ох; 3) х=0 — это ось Оy; 4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

Площадь построенной криволинейной трапеции находим по (ф. Н-Л). У нас f (x)=4x-x², a =0 , b =4 .

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Кстати, если Вы подсчитаете все целые заштрихованные клетки и добавите к ним половину всех остальных клеток заштрихованной фигуры, то получите приближенное значение искомой площади. Действительно, если единичный отрезок равен одной клетке, то площадь квадратика со стороной, равной 1 клетке, равна 1·1=1 (кв. ед.). Сколько квадратиков — столько квадратных единиц и составляет площадь фигуры.

Пример 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

площадь криволинейной трапеции примеры заданий

Решение. Строим графики данных линий. (рис. 2).

📹 Видео

Алгебра 11 класс (Урок№23 - Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.)Скачать

Алгебра 11 класс (Урок№23 - Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.)

ИНТЕГРАЛ | площадь криволинейной трапецииСкачать

ИНТЕГРАЛ | площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции | Интегралы | Математический анализСкачать

Площадь криволинейной трапеции | Интегралы | Математический анализ

Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойстваСкачать

Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства

площадь криволинейной трапеции, примерыСкачать

площадь криволинейной трапеции, примеры

§56 Площадь криволинейной трапеции и интегралСкачать

§56 Площадь криволинейной трапеции и интеграл

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.

Площадь криволинейной трапеции, 11 классСкачать

Площадь криволинейной трапеции, 11 класс

Площадь криволинейной трапеции - ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2022 Андрей АбельСкачать

Площадь криволинейной трапеции - ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2022 Андрей Абель

Площадь криволинейной трапеции и интеграл. 11 классСкачать

Площадь криволинейной трапеции и интеграл. 11 класс

Найти площадь криволинейной трапеции #1Скачать

Найти площадь криволинейной трапеции #1

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Площадь криволинейной трапецииСкачать

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция. Пример нахождения части параболы.Скачать

Криволинейная трапеция. Пример нахождения части параболы.
Поделиться или сохранить к себе: