ответы задания на тему площади

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Задачи на нахождение площади. Задачи по математике для 4 класса.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Задача 1

Длина прямоугольника 8 дм, ширина 7 дм. Найди его площадь?

Видео:Задачи на тему площадь прямоугольника. Геометрия 9 классСкачать

Задача 2

Площадь витрины квадратной формы 64м². Узнай ее периметр.

Решение:
• 1) 1) 64 : 8 = 8 (сторна витрины)
• 2) 2) 8 ∙ 4 = 32 (периметр витрины)
• Ответ: 32 м.

Видео:геометрия ПЛОЩАДИ ФИГУР задачи 8 класс АтанасянСкачать

Задача 3

Длина прямоугольника 9 дм, ширина 7 см. Найдите его площадь.

Видео:Задание 17. Площади фигур.Скачать

Задача 4

Два прямоугольных участка имеют одинаковую площадь. Длина первого — 48 м, а ширина 30 м. Чему равна длина второго участка, если его ширина на 6 м больше ширины первого участка?

Решение:
• 1) 48 ∙ 30 = 1440 (площадь первого участка)
• 2) 30 + 6 = 36 (ширина второго участка)
• 3) 1440 : 36 = 40
• Ответ: длина второго участка 40 м.

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Задача 5

Один прямоугольный участок имеет длину 36 м, а ширину 20 м. Найдите ширину другого участка с такой же площадью, если его длина на 6 м меньше длины первого участка.

Решение:
• 1) 36 ∙ 20 = 720 (площадь первого участка)
• 2) 36 – 6 = 30 (длина другого участка)
• 3) 720 : 30 = 24
• Ответ: ширина другого участка 24 м.

Видео:Геометрия 8 класс. Тема: "Решение задач по теме:" Площадь"".Скачать

Задача 6

У какой фигуры площадь больше и на сколько: у квадрата со стороной 4 см или у прямоугольника со сторонами 2 см и 6 см?

Решение:
• 1) 4 ∙ 4 = 16 (площадь квадрата)
• 2) 2 ∙ 6 = 12 (площадь прямоугольника)
• 3) 16 — 12 = 4
• Ответ: площадь квадратата больше на 4 см.

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Задача 7

Длина стороны квадрата 6 см. Узнайте площадь и периметр квадрата.

Решение:
• 1) 6 ∙ 6 = 36
• 2) 6 ∙ 4 = 24
• Ответ: площадь квадрата 36 см², периметр квадрата 24 см.

Видео:Решаем задачу по теме "Площадь фигуры"Скачать

Задача 8

У прямоугольника длина 7 см, ширина 5 см. Узнайте площадь и периметр прямоугольника.

Решение:
• 1) 7 ∙ 5 = 35
• 2) 7 ∙ 2 = 14
• 3) 5 ∙ 2 = 10
• 4) 10 + 14 = 24
• Ответ: площадь прямоугольника 35 м², периметр прямоугольника 24 см.

Видео:Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

Задача 9

Сторона клумбы квадратной формы 8 м. 7/16 всей площади клумбы засажено ромашками, а остальная площадь – незабудками. На какой площади клумбы посажены незабудки?

Решение:
• 1) 8 ∙ 8 = 64 (площадь клумбы)
• 2) 64 : 16 = 4(1/16 клумбы)
• 3) 4 ∙ 7 = 28 (плошадь клумбы засаженая ромашками)
• 4) 64 – 28 = 36
• Ответ: незабудками засажено 36 м².

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Задача 10

Длина прямоугольника 6 см. Чему равна его площадь, если периметр составляет 18 см?

Решение:
• 1) 6 ∙ 2 = 12
• 2) 18 – 12 = 6
• 3) 6 : 2 = 3 (ширина прямоугольника)
• 4) 3 ∙ 6 = 18
• Ответ: площадь прямоугольника 18 м².

Видео:Площадь фигурыСкачать

Задача 11

Площадь прямоугольного стола 4800 кв см. Его ширина 60 см. Чему равен его периметр?

Решение:
• 1) 4800 : 60 = 80 (длина стола)
• 2) 60 ∙ 2 = 120 см
• 3) 80 ∙ 2 = 160 см
• 4) 120 + 160 = 280 см
• Ответ: периметр стола 280 см.

Видео:Задачи на свойства площади фигуры. Геометрия 9 классСкачать

Задача 12

Периметр прямоугольника 40 см. Одна сторона 5 см. Чему равна его площадь?

Решение:
• 1) 5 ∙ 2 = 10
• 2) 40 – 10 = 30
• 3) 30 : 2 = 15 (другая сторона прямоугольника)
• 4) 5 ∙ 15 = 75
• Ответ: площадь прямоугольника 75 см².

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Задача 13

Площадь квадрата 49 кВ дм. Узнайте его периметр.

Решение:
• 1) 49 : 7 = 7 (сторона квадрата)
• 2) 7 ∙ 4 = 28 (периметр квадрата)
• Ответ: периметр квадрата равен 28 дм.

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

Задача 14

Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычислите площадь окна.

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Задача 15

Длина участка земли 54 м. ширина — 48 м. 5/9 площади засажено картофелем. Остальная часть участка – капустой. Какая площадь засажена капустой?

Решение:
• 1) 54 ∙ 48 = 2592 (площадь участка земли)
• 2) 2592 : 9 = 288 (1/9 площади)
• 3) 288 ∙ 5 = 1440 (5/9 площади)
• 4) 2592 – 1440 = 1152
• Ответ: капустой засадили 1152 м².

Видео:8 класс, 12 урок, Площадь прямоугольникаСкачать

Задачи на нахождение периметра и площади для 4 класса с ответами

Для решения задач на нахождения периметра и площади прямоугольников и квадратов необходимо освоить следующие основные формулы:

Формулы площади и периметра для квадрата

P = a + a + a + a; P = a · 4 — периметр квадрата
S = a · a; S = a² — площадь квадрата

Формулы площади и периметра для прямоугольника

P = a + b + a + b; P = 2a + 2b;
P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника
S = a · b — площадь прямоугольника

Примеры решения задач разной сложности на нахождение периметра и площади

Задача 1

Каков периметр треугольника ABC?

Ответ: периметр треугольника равен 125 см.

Задача 2

Красный треугольник является равносторонним со стороной 23 сантиметров. Чему равен его периметр?

Ответ: Все три стороны равностороннего треугольника равны. Таким образом, его периметр равен 23 · 3 = 69 см.

Задача 3

Равнобедренный треугольник имеет периметр 37 сантиметров, а его основание имеет длину 9 сантиметров. Каждая из двух других сторон будет иметь длину _____ см.?

Ответ: Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. Сумма равных сторон будет 37 — 9 = 28 см. Значит, каждая из них будет равна 28 : 2 = 14 см.

Задача 4

У Тимы есть сад в форме квадрата со стороной 9 метров. Какова длина забора, который опоясывает сад?

Ответ: Все стороны квадрата равны. Длина забора P равна длине стороны умноженной на 4. P = 4 · 9 = 36 метров.

Задача 5

В прямоугольнике ABCD красная сторона составляет 18 см, а синяя сторона 12 см. Чему равен периметр прямоугольника?

Ответ: Периметр прямоугольника равен 60 см.

Задача 6

Длина прямоугольника 8 дм, ширина 7 дм. Найди его площадь?

Ответ: Площадь прямоугольника 56 м².

Задача 7

Площадь витрины квадратной формы 64м². Узнай ее периметр.

Ответ: Периметр витрины равен 32 м.

Задача 8

Длина прямоугольника 9 дм, ширина 7 см. Найдите его площадь.

Ответ: Площадь прямоугольника равна 630 см².

Задача 9

Парк имеет форму прямоугольника с длиной 24 метра и шириной 18 метров. Если на его сторонах надо посадить деревья с отступом в 2 метра друг от друга, то сколько нужно деревьев?

Задача 10

Каков периметр синей фигуры?

Ответ: Здесь есть два квадрата, у которых есть общая часть стороны. Так как сторона квадрата равна 10 см и часть стороны равна 8 см, то общая часть 2 см, а оставшаяся часть второго квадрата равна 8 см.
Периметр равен 10 + 10 + 8 + 10 + 10 + 10 + 8 + 10 = 76 см.

Задача 11

Два прямоугольных участка имеют одинаковую площадь. Длина первого — 48 м, а ширина 30 м. Чему равна длина второго участка, если его ширина на 6 м больше ширины первого участка?

Ответ: Длина второго участка 40 м.

Задача 12

Найди периметр квадрата со стороной 8 см.

Ответ: Периметр квадрата 32 см.

Сторона квадрата 6 см. Найди длину прямоугольника с таким же периметром и шириной 3 см.

Решение:

6 · 4 = 24 (см) -находим периметр квадрата
3 + 3 = 6 (см) -сумма ширины прямоугольника
24 — 6 = 18 (см)- сумма двух длин прямоугольника
18 : 2 = 9 (см)

Ответ: Длина прямоугольника 9 см.

Длина бассейна прямоугольной формы 15 м. Найди периметр бассейна, если его площадь 120 м2.

Решение:

120:15=8 (м)- ширина бассейна
(8+15)·2= 46 (м)

Ответ: Периметр бассейна 46 метров

Периметр квадрата 8 см. Из трех таких квадратов сложили прямоугольник. Найди периметр получившегося прямоугольника.

Решение:

8:4=2 (см)- сторона квадрата
2+2+2+2+2+2+2+2=16(см)

Ответ: Периметр прямоугольника 16 см.

Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 5 см и 9 см, а он начертил его со сторонами 6 и 8 см. На сколько см² он ошибся?

Решение:

5 · 9 = 45 (см²)
6 · 8 = 48 (см²)
48 — 45 = 3 (см²)

Ответ: Ученик ошибся на 3 см²

Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычисли площадь окна.

Решение:

4·2=8 (дм) -длина окна
8·4=32 (дм²)

Ответ: Площадь окна 32 дм²

Задача 18

Один прямоугольный участок имеет длину 36 м, а ширину 20 м. Найдите ширину другого участка с такой же площадью, если его длина на 6 м меньше длины первого участка.

Ответ: Ширина другого участка 24 м.

У какой фигуры площадь больше и на сколько: у квадрата со стороной 4 см или у прямоугольника со сторонами 2 см и 6 см?

Ответ: Площадь квадрата больше на 4 см.

Задача 20

Длина стороны квадрата 6 см. Узнайте площадь и периметр квадрата.

Ответ: Площадь квадрата 36 см², периметр квадрата 24 см.

У прямоугольника длина 7 см, ширина 5 см. Узнайте площадь и периметр прямоугольника.

Ответ: Площадь прямоугольника 35 м², периметр прямоугольника 24 см.

Задача 22

Сторона клумбы квадратной формы 8 м. 7/16 всей площади клумбы засажено ромашками, а остальная площадь – незабудками. На какой площади клумбы посажены незабудки?

1) 8 ∙ 8 = 64 (площадь клумбы)
2) 64 : 16 = 4(1/16 клумбы)
3) 4 ∙ 7 = 28 (плошадь клумбы засаженая ромашками)
4) 64 – 28 = 36

Ответ: Незабудками засажено 36 м².

Задача 23

Длина прямоугольника 6 см. Чему равна его площадь, если периметр составляет 18 см?

1) 6 ∙ 2 = 12
2) 18 – 12 = 6
3) 6 : 2 = 3 (ширина прямоугольника)
4) 3 ∙ 6 = 18

Ответ: Площадь прямоугольника 18 м².

Задача 24

Площадь прямоугольного стола 4800 кв см. Его ширина 60 см. Чему равен его периметр?

1) 4800 : 60 = 80 (длина стола)
2) 60 ∙ 2 = 120 см
3) 80 ∙ 2 = 160 см
4) 120 + 160 = 280 см

Ответ: Периметр стола 280 см.

Периметр прямоугольника 40 см. Одна сторона 5 см. Чему равна его площадь?

1) 5 ∙ 2 = 10
2) 40 – 10 = 30
3) 30 : 2 = 15 (другая сторона прямоугольника)
4) 5 ∙ 15 = 75

Ответ: Площадь прямоугольника 75 см².

Площадь квадрата 49 кВ дм. Узнайте его периметр.

1) 49 : 7 = 7 (сторона квадрата)
2) 7 ∙ 4 = 28 (периметр квадрата)

Ответ: Периметр квадрата равен 28 дм.

Задача 27

Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычислите площадь окна.

1) 4 ∙ 2 = 8 (длина окна)
2) 4 ∙ 8 = 32

Ответ: Площадь окна равна 32 м².

Задача 28

Длина участка земли 54 м. ширина — 48 м. 5/9 площади засажено картофелем. Остальная часть участка – капустой. Какая площадь засажена капустой?

1) 54 ∙ 48 = 2592 (площадь участка земли)
2) 2592 : 9 = 288 (1/9 площади)
3) 288 ∙ 5 = 1440 (5/9 площади)
4) 2592 – 1440 = 1152

Ответ: Капустой засадили 1152 м².

Найди периметр квадрата со стороной 16 см.

Ответ: Периметр квадрата 64 см.

Задача 30

Найди длину прямоугольника с помощью уравнения, если его ширина 7 см, а периметр равен 40 см.

где a — длина = ?, b — ширина = 7 см, P — периметр = 40 см.

(а + 7) · 2 = 40
2а + 14 = 40
2а = 40 — 14
2а = 26
а = 26 : 2
а = 13

Ответ: Длина прямоугольника 13 см.

Задача 31

Найди ширину прямоугольника, если его длина 10 см, а периметр равен 30 см.

Ответ: Ширина прямоугольника 5 см.

Задача 32

Периметр квадрата 24 см. Найди его площадь.

24 : 4 = 6 (см)
6 · 6 = 36 (см²)

Ответ: Площадь квадрата 36 см².

Задача 33

Периметр прямоугольника 36 см. Длина его 4 см. Найди площадь прямоугольника.

Ответ: Площадь прямоугольника 56 см².

Задача 34

Площадь прямоугольника 40 см². Ширина его 4 см. Чему равен периметр прямоугольника?

40 : 4 = 10 (см)
(10 + 4) · 2 = 28 (см)

Ответ: Периметр прямоугольника 28 см.

Задача 35

Ребро куба равно 2 сантиметров. Найти площадь всех граней куба.

Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести одинаковых по площади квадратов.

У куба 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней (поверхностей).

Если S = a · a — площадь квадрата, тогда
S = (a · a) · 6 — площадь всех граней куба, из условия задачи a = 2, тогда S = 2 · 2 · 6
2 · 2 · 6 = 24 (см²)

Ответ: Площадь всех граней куба равна 24 см².

Задача 36

Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Ответ: Площадь получившейся фигуры равна 44.

Задача 37

Площадь одной клетки равна 1см.

• Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке A.
• Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке B.
• Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке C.
• Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке D.
• Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке E.

Ответ: Площадь фигуры A 18,5 см², площадь фигуры B 20,5 см², площадь фигуры C 30,5 см², площадь фигуры A 18,5 см², площадь фигуры E 12 см².

Задача 38

Найдите площади и периметры фигурок. Сделайте вывод.

Ответ: Пусть каждая из сторон клетки равна 1 см, тогда применив формулу площади квадрата S = a · a получим площадь одной клетки 1 · 1 = 1 см²

Фигура A — прямоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура A имеет четыре стороны, тогда 1 + 4 + 1 + 4 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура B — квадрат состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура B имеет четыре стороны, тогда 2 + 2 + 2 + 2 = 8 см — периметр фигуры.

Фигура C — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура C имеет шесть сторон, тогда 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура D — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура D имеет восемь сторон, тогда 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура E — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура E имеет восемь сторон, тогда 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Вывод: Фигуры A, B, C, D, E имеют одинаковую площадь, но наименьший периметр имеет квадрат. У разных по форме плоских фигур, с одинаковой площадью, наименьший периметр всегда имеет квадрат.

Задача 39

Квадрат в данной фигуре имеет периметр 24 см. Синий треугольник — периметр 15 см. Каков периметр красной фигуры?

Ответ: Периметр красной фигуры равен 27 см.

Задача 40

Периметр каждого из зеленых квадратов 12 см. Каков периметр большого квадрата?

Ответ: Периметр равен 36 см.

Площадь прямоугольника 72 см2. Какова длина и ширина прямоугольника, если ширина в 2 раза меньше, чем его длина?

Ответ: Длина прямоугольника равна 12 см. а ширина — 6 см.

Задача 42

Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (катет) b = 8 см.

Ответ: Периметр прямоугольника равен 24 см.

Задача 43

Периметр красного квадрата равен 16см. Красные треугольники равносторонние. Каково расстояние проползет улитка по пути ABCDFGHA?

Ответ: Расстояние пройденное улиткой будет равно 28 см.

Задача 44

В зале длиной 12 м и шириной 8 м надо покрыть пол квадратными плитками. Сколько потребуется плиток, если площадь каждой плитки 4 дм2?

Задача 45

Каков периметр зеленой зоны, если ширина синей зоны равна 3 метра?

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей многоугольников чаще всего сводится к поиску величин отдельных элементов рассматриваемых фигур и дальнейшему применению соответствующих формул площадей.

Во многих задачах наряду с сугубо геометрическими приемами решения (дополнительные построения, применение равенства фигур и т. п.) используются и методы алгебры (составление уравнений или систем уравнений на основе метрических соотношений между элементами фигуры).

В ходе решения особое внимание следует уделить тому, однозначно ли данные задачи определяют взаимное расположение элементов фигуры.

Пример:

Найдите площадь трапеции, в которой одно из оснований равно 24 см, высота 12 см, а боковые стороны — 13 см и 20 см.

Решение:

Пусть

1) Для трапеции (рис. 152, а): из треугольника по теореме Пифагора имеем аналогично из треугольника имеем тогда

2) Для трапеции (рис. 152, б): из треугольника по теореме Пифагора имеем аналогично из треугольника имеем

3) Для трапеции (рис. 152, в): из треугольника по теореме Пифагора имеем аналогично из треугольника имеем

4) Для трапеции (рис. 152, г): из треугольника по теореме Пифагора имеем аналогично из треугольника имеем тогда т.е. точки расположены на прямой в указанном порядке.

Ответ:

Рассмотренная задача наглядно демонстрирует одну из причин, по которым в процессе решения геометрической задачи может возникать многовариантность. Но даже если такая ситуация не возникает, взаимное расположение элементов фигур нуждается в обосновании.

Пример:

Основания трапеции равны 10 см и 35 см, а боковые стороны — 15 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Прежде всего заметим, что решение данной задачи фактически сводится к нахождению высоты трапеции. Итак, пусть дана трапеция

Естественно было бы провести, как в предыдущей задаче, высоты (рис. 153) и составить уравнение на основании теоремы Пифагора, примененной к треугольникам и

Такое решение позволит получить правильный ответ, но не будет полным, ведь принадлежность точек отрезку нужно обосновать. Попробуем избежать необходимости такого обоснования, применив для решения другое дополнительное построение.

Решение:

Проведем через вершину прямую параллельную (рис. 154).

Поскольку по построению — параллелограмм, то следовательно, Стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5, следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, он является прямоугольным с гипотенузой

По формуле находим высоту этого треугольника, которая одновременно является и высотой трапеции: Следовательно,

Ответ: 270

Как видим, этот способ намного более рационален, в частности, с точки зрения вычислений. Рассмотрим еще одну задачу, для решения которой используется дополнительное построение.

Пример:

Диагонали трапеции равны 30 см и 40 см и пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.

Попробуем решить эту задачу чисто геометрическими методами. Основная сложность заключается в том, что данные отрезки не являются сторонами одного треугольника. Попробуем «исправить» эту ситуацию.

Решение:

Пусть дана трапеция в которой Проведем через вершину прямую параллельную диагонали (рис. 155).

Очевидно, что по построению угол будет прямым, т.е. треугольник прямоугольный с гипотенузой С другой стороны, — параллелограмм, тогда

Обратим внимание на то, что треугольники равновеликие, поскольку а высоты, проведенные к этим сторонам, являются высотами трапеции. Таким образом, т.е. искомая площадь трапеции равна площади треугольника которая, в свою очередь, равна полупроизведению его катетов:

Ответ: 600

Видео:19 задание ОГЭ по математикеСкачать

Применение площадей

Теорема (об отношении площадей подобных треугольников)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть с коэффициентом т.е. Докажем, что

Проведем в данных треугольниках высоты (рис. 161).

Прямоугольные треугольники подобны, поскольку Это означает, что т.е. Учитывая, что имеем:

Пример:

Средняя линия отсекает от данного треугольника треугольник с площадью 8 Найдите площадь данного треугольника.

Решение:

Пусть — средняя линия треугольника параллельная стороне (рис. 162),

Треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними, причем Тогда по доказанной теореме откуда
Ответ:

Метод площадей

Понятия площади и формулы ее вычисления могут применяться даже в тех задачах, в условиях которых площадь не упоминается. Рассмотрим такой пример.

Пример:

Стороны параллелограмма равны 16 см и 12 см. Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна 3 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть дан параллелограмм со сторонами к которым проведены высоты длину которой необходимо найти (рис. 163).

По формуле площади параллелограмма откуда

Таким образом,

При решении этой задачи площадь параллелограмма вычислялась двумя разными способами. Поскольку площадь многоугольника независимо от способа ее вычисления определяется однозначно, то полученные выражения приравнивались, благодаря чему удалось связать известные величины с искомой. Такой метод, основанный на использовании площади как вспомогательной величины, называется методом вспомогательной площади или просто методом площадей.

Заметим, что из формул площади параллелограмма и площади треугольника следует важное утверждение: в параллелограмме (треугольнике) большей является высота, проведенная к меньшей стороне, меньшей — высота, проведенная к большей стороне.

Метод площадей используется как в задачах на вычисление, так и для доказательства утверждений.

Пример:

Сумма расстояний от точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от выбора точки и равна высоте треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть точка лежит внутри равностороннего треугольника со стороной и — расстояния от данной точки до сторон треугольника (рис. 164).

Соединим точку с вершинами треугольника. Площадь треугольника равна сумме площадей треугольников и в которых отрезки являются высотами. Имеем:

Отсюда т.е. сумма рассматриваемых расстояний равна высоте треугольника и не зависит от выбора точки

Другие доказательства теоремы Пифагора

Исторически появление и доказательство теоремы Пифагора связаны с вычислением площадей. Поэтому в классической формулировке этой теоремы речь идет не о квадратах сторон прямоугольного треугольника, а о площадях соответствующих фигур:

• площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рисунок 165, который наглядно воплощает эту формулировку, стал своеобразным символом геометрии и среди гимназистов позапрошлого столетия получил название «пифагоровы штаны».

Шутливый стишок про «пифагоровы штаны» школьники запоминали на всю жизнь.

Докажем теорему Пифагора с помощью площадей.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами и гипотенузой (рис. 166, а). Достроим его до квадрата со стороной так, как показано на рисунке 166, б. Площадь этого квадрата равна Построенный квадрат состоит из четырех равных прямоугольных треугольников площадью и четырехугольника со сторонами длиной который является квадратом (докажите это самостоятельно). Итак, имеем: ^

т.е.

На рисунках 166, в, г показаны другие способы доказательства теоремы Пифагора с помощью площадей. В трактатах индийского математика XII ст. Бхаскари один из них сопровождался только одним словом: «Смотри!». В целом сегодня известно более 150 разных способов доказательства этой знаменитой теоремы. Но каждый из вас может изобрести и свой собственный способ.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону

Сумма углов многоугольника
Сумма углов выпуклого -угольника равна

Сумма внешних углов выпуклого -угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна

Описанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат в этой окружности.

Описанный многоугольник.

Многоугольником называют описанным около окружностей, если все его стороны касаются этой окружности.

Аксиомы площадей

1. Равные многоугольники имеют равные площади.
2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади

где — стороны прямоугольника.

где — сторона квадрата

где — сторона параллелограмма,

— проведенная к ней высота

где — сторона треугольника, — проведенная к ней высота.

— катеты прямоугольного треугольника.

где — сторона треугольника.

где — диагонали ромба.

где основание трапеции, — высота трапеции.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Историческая справка:

Вычисление площадей многоугольников — первая среди тех практических задач, благодаря которым появилась геометрия как наука. Но не всегда представление об измерении площадей было таким, как сегодня.

Например, древние египтяне при вычислении площади любого треугольника брали половину произведения двух его сторон. Так же пять столетий назад измеряли площадь треугольника и в Древней Руси. Чтобы найти площадь четырехугольника, который не является квадратом, в Вавилоне использовали формулу произведения полусумм его противолежащих сторон.

В Средние века для вычисления площади треугольника со стороной и проведенной к ней высотой, которые выражаются целым числом брали сумму членов натурального ряда от 1 до т.е. число

Кстати, в то время знали и правильную формулу площади этого треугольника Ее обосновал средневековый математик Герберт, который в X ст. даже занимал какое-то время престол Римского Папы под именем Сильвестра II.

Древние вавилоняне еще четыре тысячи лет назад умели правильно вычислять площадь квадрата, прямоугольника, трапеции. Немало формул площадей и объемов, с которыми вы познакомитесь в старших классах, открыл знаменитый греческий ученый Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.). И это все при том, что в те древние времена не было даже алгебраической символики!

Сегодня, благодаря значительно более широкому применению алгебры в геометрии, мы имеем возможность дать куда более простые и понятные решения многих задач, чем это было возможно в те далекие времена.

• Тела вращения: цилиндр, конус, шар
• Четырехугольник
• Площади фигур в геометрии
• Площади поверхностей геометрических тел
• Эллипс
• Гипербола
• Парабола
• Многогранник

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Три красивых задачи на площадь треугольникаСкачать