Видео:Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать
Отношение площадей треугольников с равными углами
В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи. Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.
Основные свойства площадей.
Свойство №1
Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.
Доказательство: Рассмотрим ▲ ABC и ▲ ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h — высоте ▲ ABC и ▲ ADC . Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac cdot a cdot h$$, то $$S_ = S_ = frac cdot AC cdot h$$.
Свойство №2
Доказательство: Пусть h1 = h2 в двух треугольниках с основаниями a и b. Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac<S_><S_>= frac<frac cdot a cdot h_><frac cdot b cdot h_>$$. Упростив, получим $$frac<S_><S_>= frac$$.
Свойство №3
Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN и S2 = SABC . Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC и ▲MBN .
Свойство №4
Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$frac<S_><S_> = frac<frac cdot AB cdot BC cdot sin B><frac cdot MB cdot NB cdot sin B>= frac = k^$$ .
Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = fracAC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = fraccdot a cdot h$$. Получим $$S_ = fraccdot AM cdot h$$ и $$S_ = fraccdot MC cdot h$$. Значит $$S_ = S_$$.
Свойство №6
Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB , ▲BOC , ▲AOC . Пусть их площади равны соответственно S1, S2, S3. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK , они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK — медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2 . Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .
Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . NM — средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_ = frac cdot NM cdot h_= frac(frac cdot AC)(fraccdot h) = fraccdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC .
Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать
Отношение площадей треугольников, имеющих равный угол
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Конспект урока по геометрии в 8-м классе
«Отношение площадей треугольников, имеющих равный угол»
Булаева Валентина Егоровна, учитель математики
Тип урока: урок изучения нового материала.
сформулировать и доказать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих один равный угол;
рассмотреть применение теоремы при решении задач на нахождение площадей многоугольников;
продолжить формирование умений и навыков решения задач на нахождение площадей многоугольников.
воспитывать аккуратность при выполнении чертежей и оформлении решения задач;
воспитывать самостоятельность и самоконтроль.
Оборудование для урока:
компьютер с программой просмотра презентаций;
рабочие тетради к учебнику Атанасяна у всех учащихся.
I. Организационный момент.
Сообщается тема урока, формулируются его цели.
II. Актуализация знаний учащихся.
Устный опрос (фронтальная работа с классом).
Ответьте на вопросы:
– Какие фигуры называются равносоставленными?
– Как называются фигуры, имеющие равную площадь?
– Верно ли, что равные фигуры имеют равные площади?
– Верно ли, что равносоставленные фигуры имеют равные площади?
– Верно ли, что разные фигуры имеют равные площади?
– В треугольнике АВС АВ = 3АС. Чему равно отношение высот треугольника, проведенных из вершин В и С?
– Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Длина гипотенузы 10 см. Вычислите высоту, проведенную к гипотенузе.
– Дана трапеция АВСD с основаниями АВ и СD. Докажите, что:
а) треугольники АВD и ВАС имеют равные площади;
б) треугольники АОD и ВОС имеют равные площади;
В треугольнике АВС проведена медиана ВD. Во сколько раз площадь треугольника АВD меньше площади треугольника АВС? Объясните.
Проверка домашнего задания.
Задача № 40 рабочей тетради. Один учащийся читает решение по своей тетради, остальные обсуждают и проверяют.
На рисунке точка М делит сторону АС треугольника ABC в отношении AM : МС = 2:3. Площадь треугольника ABC равна 180 см 2 . Найдите площадь треугольника AВM.
Треугольники ABM и ABC имеют общую высоту BD, поэтому их площади относятся как основания АМ и МС. Так как по условию AM : МС = 2 : 3, то AM : АС = 2 : 5 и
Далее проверяется дополнительная задача. Ее решение предлагается воспроизвести одному из учащихся, справившихся с этой задачей.
Точка Е – середина стороны АВ треугольника АВС, а точки М и Н делят сторону ВС на три равные части, ВМ = МН = НС. Найти площадь треугольника ЕМН, если площадь треугольника АВС равна S .
Высоты треугольников ВСЕ и АВС равны, тогда
Высоты треугольников BEM, MEH, CEH равны, их площади относятся так же, как
ВМ : МН : СН, т.к. ВМ = МН = СН, то S BEM = S MEH = S CEH =
III. Изучение нового материала.
Постановка проблемной задачи.
Рассмотрим решение следующей задачи рабочей тетради № 41.
Площади каких треугольников рассматриваются? Можно ли применить к решению задачи общую формулу площади треугольника или отношение площадей треугольников с равными высотами?
Есть ли у рассматриваемых треугольников равные элементы?
Итак, наша цель – выяснить, как связаны площади треугольников, имеющих по равному углу.
Формулирование и доказательство теоремы.
Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.
Анализируем условие теоремы.
– Сформулируйте что дано в данной теореме: сколько треугольников рассматривается, какое условие накладывается на них?
Записываем условие теоремы:
– Сформулируйте заключение данной теоремы.
– Что называется отношением двух величин?
– О каких отношениях идет речь в теореме?
– Произведения каких сторон треугольников будем рассматривать, учитывая, что А = А 1 ?
Записываем заключение теоремы:
Наложим один треугольник на другой так, чтобы равные углы А и А 1 совпали, сторона А 1 В 1 лежала на луче АВ, а сторона А 1 С 1 на луче АС.
Рассмотрим два треугольника
– Что общего у этих треугольников?
– Чему равно отношение площадей треугольника с равными высотами?
–
– Запишите соответствующее равенство:
Рассмотрим другие два треугольника
– Что общего у этих треугольников?
– Чему равно отношение площадей треугольника с равными высотами?
– Запишите соответствующее равенство:
Перемножим равенства (1) и (2):
IV. Закрепление изученного материала.
Устное решение задач по готовым чертежам.
Решение задач с записью в тетради.
№ 3. Площадь одного равностороннего треугольника в 3 раза больше, чем площадь другого равностороннего треугольника. Найдите сторону второго треугольника, если сторона первого равна 1.
№ 4. М – середина АВ. МВ = 4 см, АК = 4 см, АС = 12 см. Найти S BCKМ , если S AMK = 16 см 2 .
Подытожить, что изучали на данном уроке, оценить работу учащихся
VI. Домашнее задание.
п. 52, № 41 рабочей тетради, № 479 учебника.
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Сейчас обучается 958 человек из 79 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Сейчас обучается 310 человек из 70 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Сейчас обучается 679 человек из 74 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 554 049 материалов в базе
Другие материалы
07.10.2015
1995
0
07.10.2015
4924
257
07.10.2015
475
0
07.10.2015
1399
3
07.10.2015
705
2
07.10.2015
641
1
07.10.2015
4215
2
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
07.10.2015 5882
DOCX 101.8 кбайт
21 скачивание
Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Булаева Валентина Егоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
На сайте: 7 лет
Подписчики: 2
Всего просмотров: 8688
Всего материалов: 5
Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов
Видео:Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадейСкачать
Дистанционные курсы для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Госдуме предложили ввести пост уполномоченного по правам учителей
Время чтения: 2 минуты
У детей на портале госуслуг появятся собственные аккаунты
Время чтения: 1 минута
У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ
Время чтения: 2 минуты
Петербургская учительница уволилась после чтения на уроке Введенского и Хармса
Время чтения: 3 минуты
В России могут объявить Десятилетие науки и технологий
Время чтения: 1 минута
Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. 8-й класс
Класс: 8
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (988 кБ)
Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий»
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
обучающие:
а) повторение основного теоритического материала;
б) рассмотрение основных задач на вычисление площадей треугольников;
в) доказательство теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу;
г) закрепление навыков решения в процессе самостоятельного разбора задач.
развивающие:
а) развитие умения планировать полный или частичный ход решения;
б) развитие умения осуществлять целенаправленные поисковые действия умственного плана;
в) развитие интереса к предмету;
г) развитие умения осуществлять самоконтроль.
воспитательные
б) воспитание умения слушать и слышать товарища.
Ход урока
I. Мотивация к учебной деятельности и постановка целей урока.
Учитель приветствует учащихся, поверяет их готовность к уроку, сообщает тему урока, формулирует цели урока. Слайды 1, 2
II. Повторение и актуализация необходимых знаний.
Один ученик готовит теоретический вопрос: сформулировать и доказать теорему о площади треугольника. Один ученик решает задачу у доски.
Задача: Точка E – середина стороны AB треугольника ABC, точки M и H делят сторону BC на три равные части BM = MH = HC. Найдите площадь ∆EMH, если SABC = 72 см 2 .
Рис. 1. Чертеж к условиям задачи
Дано: SABC = 72 см 2 , BM = MH = HC
4 ученика получают задание на карточке (Карточки 2, 3). Остальные учащиеся решают устно по готовым чертежам.
Устно.Слайд 3.1. Найдите площадь треугольника ABC.
Рис. 2. Чертеж к задаче 1
Слайд 4.2. Дано: ABCD – квадрат, AB = 5 см, KD = 4 см.
Рис. 3. Чертеж к задаче 2
Слайд 5.3. Найдите площадь треугольника ABC.
Рис. 4. Чертеж к задаче 3
Слайд 6.4. BC = 6см, AC = 8см, AB = 10см.
Рис. 5. Чертеж к задаче 4
5. SABC = 72 см 2 , BM = MH = HC
Рис. 6. Чертеж к условию задачи 5
Рис. 7. Теорема о площади треугольника
Слайд 7.Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне.
Учитель и учащиеся слушают теорему и её доказательство, проверяют решение задачи.
Учитель собирает у 4 учащихся листы с решением задач.
III. Создание проблемной ситуации и формулирование проблемы
Рис. 8. Свойство площадей треугольников, имеющих общую высоту
Слайд 8. Если высоты треугольников равны, то площади относятся как основания.
Рис. 9. Свойство медиан треугольника
Слайд 9. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Слайд 10.1. Решите задачу:
Рис. 10. Чертеж к условию задачи 1
Дано: CM – медиана ∆ABC, CK – медиана ∆ACM. SABC = 40 см 2 .
Найти:
Какую часть площадь одного треугольника составляет от площади другого?
Или. Во сколько раз площадь одного треугольника больше (меньше) площади другого?
Слайд 11.2. Решите задачу:
Рис. 11. Чертеж к условию задачи 2
Дано: ABCD – выпуклый четырёхугольник.
Вопрос: Как относятся площади треугольников, имеющих по равному углу?
IV. Изучение новой темы
Слайд 12.Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.
Рис. 12. Теорема о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол
V. Первичное закрепление
Учитель на экране показывает задачи, учащиеся предлагают свои решения задач
Слайд 14. Запишите отношение площадей
Рис. 14. Чертеж к пункту а) Рис. 15. Чертеж к пункту б)
Рис. 16. Чертеж к условию задачи
Ответ: 30/15 или 2.
Рис. 17. Чертеж к условию задачи
Дано: SAOB = 20 см 2 .
VI. Самостоятельная работа
Учитель раздаёт карточки с заданиями двух уровней сложности. (Приложение 2)
Карточка. Уровень А
1) Две стороны треугольника равны 12 см и 9 см, угол между ними 30°. Найдите площадь треугольника. (Ответ: 27 см 2 )
2) AO = 4, BO = 9, CO = 5, DO = 8, SAOC = 15, SDOB = ?
Рис. 18. Чертеж к условию задачи
Уровень Б (для более подготовленных учащихся)
1) В треугольнике ABC ∠A = 45°, BC = 10 см, высота BD делит сторону AC на отрезки: AD = 6 см, DC = 8 см. Найдите площадь треугольника ABC и высоту, проведённую к стороне BC.
Рис. 19. Чертеж к условию задачи
Ответ: 42 см 2 ; 8,4 см.
Рис. 20. Чертеж к условию задачи
OB = OA, OC = 2 • OD, SAOC = 12 см 2 , SBOD = ?
VII. Подведение итогов
Учитель оценивает работу учащихся.
VIII. Домашнее задание (Приложение 3)
Учебник. Учить теорему п. 52. № 479 (а).
Рис. 21. Чертеж к условию задачи
Дано: AO = AB, прямая AC параллельна прямой BD.
Рис. 22. Чертеж к условию задачи
Дано: AO = 3 см, BO = 6 см, CO = 5 см, DO = 4 см.
Литература:
Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО, 2006. – 368 с.
Геометрия 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.
📺 Видео
Геометрия 8 класс. Теорема об отношении площадей треугольников с равным углом. Учебник Атанасян Л.С.Скачать
А = 
