HH1=2R — высота цилиндра.
Вычислим площадь полной поверхности цилиндра.
Площадь поверхности сферы
Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №642
к главе «Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар».
Сфера, вписанная в цилиндр
 Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере |
| Сфера, вписанная в цилиндр |
| Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар |
Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).
Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.
Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в эту точку.
Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания .
Сфера, вписанная в цилиндр
Определение 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).
Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы .
Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.
Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.
Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания.
Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.
Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.
Ответ. 
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Шар, вписанный в цилиндр
Шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра — по параллельной основаниям окружности большого круга (то есть радиус этой окружности равен радиусу шара). 
Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара.
В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу цилиндра r:
Решение задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего сводится к рассмотрению осевого сечения комбинации тел.
Это сечение представляет собой квадрат с вписанной в него окружностью. Сторона квадрата равна высоте цилиндра и диаметру шара:
Найдем отношение объема цилиндра к объему вписанного в него шара. Объем шара
Отсюда отношение объема шара к объему описанного около него цилиндра
Теперь найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади вписанного шара. Площадь поверхности шара (площадь сферы)
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:
Отсюда отношение площади поверхности вписанного шара к площади поверхности цилиндра