отношение площадей прямоугольника и параллелограмма

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Прямоугольник и Параллелограмм

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

Прямоугольник и параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.

6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.

Площадь параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.

$S=a·b·sin⁡α$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.

2. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

$S=h_a·a$, где $a$ — сторона параллелограмма, $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$.

Периметр параллелограмма: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма.

Периметр параллелограмма равен $14$. Одна сторона параллелограмма на $1$ больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Пусть меньшая сторона $ВС-х$, тогда $АВ-(х+1)$, так как она на $1$ больше.

Запишем формулу периметра параллелограмма: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма.

Подставим в формулу известные данные и значения сторон, записанные через «х».

Получили линейное уравнение, разделим обе части на $2$.

За «х» брали меньшую сторону параллелограмма, следовательно, это и есть ответ.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма).

2. Диагонали прямоугольника равны.

Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Периметр прямоугольника: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

1. Все свойства прямоугольника.
2. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. $BD⊥AC$.
3. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.

1. $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
2. $S=/$, где $d$ — диагональ квадрата.

Периметр квадрата: $P=4a$

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

1. В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
2. Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
3. Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов. Высота $СН$ равна $2√, ВС= 15$. Найдите $sin A$.

Угол $В$ и $А$ это два острых угла треугольника $АВС$.

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла. Следовательно, $sin A= cos B$

Рассмотрим треугольник $СНВ$, который является прямоугольным, так как $СН$ высота.

В треугольнике $CНВ: cos В = /$. Найдем $ВН$ по теореме Пифагора

Подставляем найденную длину в формулу косинуса

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Планиметрия. Страница 12

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

1.Площадь прямоугольника

Отношение площадей двух прямоугольников с общим основанием равно отношению двух других их сторон.

Доказательство.

Пусть ABCD и ABC’D’ два прямоугольника с общим основанием АВ. (Рис.1) Разобьем сторону AD на n частей. Тогда длина AD’ составит:

где m — число целых делений на отрезке AD’. Т.е. длина отрезка AD’ будет заключена между m и m+1 частей.

Разделив все части неравенства на AD, получим:

Тогда и площадь прямоугольника AD’C’B также будет заключена в пределах:

где S — площадь прямоугольника ABCD.

Разделив все части неравенства на S, получим:

Отсюда следует, что два соотношения площадей и сторон заключены между двумя соотношениями, т.е.:

При достаточно большом n можно сделать вывод, что они равны.

Рис.1 Площадь прямоугольника.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Площадь прямоугольника со сторонами a и b

Теперь рассчитаем площадь прямоугольника. Возьмем квадрат, который имеет площадь равную единице. И сравним его с прямоугольником, у которого основание равно единице, а другая сторона равна а. Получим:

Теперь сравним прямоугольник со сторонами а и 1 с прямоугольником со сторонами а и b. Получим:

Перемножив два равенства между собой, получим:

Видео:Площадь параллелограмма, треугольника, трапецииСкачать

2.Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Пусть дан параллелограмм ABCD (Рис.2). Проведем высоты AF, BP и СE на стороны AD и BC. Тогда треугольники AFB и СED равны по первому признаку равенства треугольников. AF = СE, т.к. они являются перпендикулярами между параллельными прямыми. AB = CD, т.к. ABCD — параллелограмм. Углы при вершинах А и С равны, как соответственные углы при параллельных прямых.

Следовательно площадь параллелограмма равна:

Т.е. площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к нему.

Рис.2 Площадь параллелограмма.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

3.Площадь треугольника

Пусть дан треугольник АВС. (Рис.3) Достроим его до параллелограмма. Тогда площадь треугольника ABC будет равна половине площади параллелограмма ABEC. Т.е.:

Т.е. площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную к ней. Или площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Запишем еще две формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника.

R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности
S — площадь треугольника
a,b,c — стороны треугольника

Рис.3 Площадь треугольника.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)Скачать

4.Площадь круга

Кругом называется геометрическая фигура, которая состоит из множества точек, расстояние от которых до данной точки не превосходит определенной величины, называемой радиусом. Где данная точка это центр круга.

Площадь круга равна половине произведения его радиуса и длины окружности.

Доказательство. Пусть АО = R радиус круга. Построим два многоугольника. Один вписанный в круг, а другой описанный около круга. Их площадь обозначим Sоп и Sвп. Тогда их площади будут равны:

Отсюда можно сделать вывод, что при достаточно большом числе n, площадь круга будет равняться половине произведения длины окружности на радиус, т.к. cos α будет стремиться к единице.

Рис.4 Площадь круга.

Видео:Геометрия 8 класс. Площадь параллелограммаСкачать

5.Площадь подобных фигур

Пусть даны две побные фигуры G и G’ (Рис.5). Коэффициент подобия равен k. Разобьем фигуры на треугольники. Тогда площадь каждой фигуры будет равна сумме площадей треугольников, т.е.:

Отсюда можно сделать вывод, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия.

Рис.5 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.

Видео:Отношение площадейСкачать

6.Площадь трапеции

Пусть дана трапеция ABCD (Рис.6). Проведем диагональ АС. Получим два треугольника АВС и АСD. Проведем высоты СЕ и АF. Тогда площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников АВС и ACD, т.е.:

Отсюда можно сделать вывод, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Рис.6 Площадь трапеции.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

7.Пример 1

Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Построим квадраты ABED, ACPK на катетах АВ, АС и квадрат ВСRF на гипотенузе ВС (Рис.7). Тогда площади этих квадратов будут равны:

По теореме Пифагора нам известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или:

BC 2 = AB 2 + AC 2

Подставим сюда выше записанные выражения и получим:

Отсюда можно сделать вывод, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рис.7 Задача. Докажите, что сумма площадей квадратов.

Пример 2

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

Решение:

Запишем формулы площадей прямоугольника и параллелограмма:

S₁ = AB * AD * sin α — площадь параллелограмма.

Подставим эти выражения в соотношение S₂ = 2 S₁:

Следовательно, угол α = 30°.

Рис.8 Задача. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны.

Пример 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 36 см и 64 см.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. AD — высота, опущенная на гипотенузу ВС. BD = 36 см, DC = 64 см (Рис.9).

По теореме Пифагора составим следующие соотношения:

АВ 2 = BD 2 + AD 2 — из треугольника АВD.

АC 2 = DC 2 + AD 2 — из треугольника АDC.

Первое и второе соотношение решим относительно AD 2 и приравняем их.

АВ 2 — BD 2 = АC 2 — DC 2

Учитывая, что АВС тоже прямоугольный треугольник и BC 2 = AB 2 + АC 2 , перепишем:

АВ 2 — BD 2 = BC 2 — AB 2 — DC 2

2 АВ 2 = BD 2 + BC 2 — DC 2

2 АВ 2 = 36 2 + 100 2 — 64 2

АВ 2 = 3600 или АВ = 60 см.

Рис.9 Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника.

Из прямоугольного треугольника АВС: 100 2 = 60 2 + АС 2 . Откуда, АС = 80 см. Следовательно, площадь треугольника АВС равна:

S_ABC = AB * AC / 2 = 60 * 80 / 2 = 2400 см 2 .

Пример 4

Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 6 см и боковой стороной 5 см.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC. АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см. АО = R — радиус описанной окружности, ОЕ = r — радиус вписанной окружности (Рис.10).

По теореме Пифагора составим следующее соотношение:

АВ 2 = АЕ 2 + ВЕ 2 — из треугольника АВЕ.

ВЕ 2 = АВ 2 — АЕ 2

ВЕ 2 = 5 2 — 3 2 = 16. Откуда ВЕ = 4 см.

Найдем площадь треугольника АВС по формуле S = AE * BE.

S = 3 * 4 = 12 см 2

Теперь рассчитаем радиусы описанной и вписанной окружностей:

R = АС * АВ 2 / 4S = 6 * 5 2 / (4*12) = 150 / 48 = 3.125 см.

r = 2S / (2 AB + AC) = 2 * 12 / (2*5 + 6) = 24 / 16 = 1.5 см.

Рис.10 Задача. Найдите радиус r вписанной.

Пример 5

Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна 8 см.

Решение:

Пусть дан треугольник ABC. ВЕ = 8 см — высота треугольника, проведенная из вершины В. Прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ. Найти ВО (Рис.11).

Так как прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ, то она параллельна основанию АС. А следовательно, ∠BAE = ∠BFO, а ∠BСE = ∠BDO. Таким образом, треугольники АВС и FBD подобны.

Отсюда следует, что АC = k FD, BE = k BO.

Найдем площадь треугольников S₁ = S_FBD и S_АВС.

S_ABC = AC * BE / 2 или S_ABC = k 2 FD * BO / 2

k 2 FD * BO / 2 = 2 * FD * BO / 2

Отсюда, k 2 = 2, k =

Следовательно, BO = BE / k = 8 / = 8 см.

Рис.11 Задача. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника.

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Урок геометрии по теме «Площадь прямоугольника и параллелограмма». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Класс: 8

Раздел программы: Геометрия.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование:

1. Техническое: Интерактивная доска и компьютер;
2. Методическое: электронная презентация PowerPoint «Забытые единицы площади».

Список литературы и интернет ресурсов:

1. Савин А. П. – Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
2. учебник по геометрии Л.С. Атанасяна
3. учебник по геометрии Погорелова
4. humanities.edu.ru
5. 1sept.ru
6. www.iro.yar.ru:8101/res/math/metrol_00/
7. Геометрия 7-9 «задачи по готовым чертежам» Е.М.Рабинович «Гимназия» Харьков 1998г

Цели:

1. Познакомить со старинными русскими единицами измерения площадей;
2. Вывести формулу для вычисления площади параллелограмма, через площадь прямоугольника. ( применить поисковый метод, через проблемную ситуацию)
3. Научить применять полученные знания к решению задач;
4. Развивать логическое мышление учащихся

1. Воспитывать уважение к товарищам
2. Развивать умение работать в коллективе.
3. Прививать интерес к изучаемому предмету, через использование дополнительных источников

1. Развивать умение выделять главное при изучении нового материала;
2. Развивать навыки монологической речи
3. Развивать умение выступать перед аудиторией
4. Совершенствовать навыки работы учащихся с ресурсами Интернет:,

Подготовительный этап: за неделю – до урока, группе наиболее подготовленных учащихся из класса дается индивидуальное задание:

• Подготовить презентацию: «Забытые единицы площади»
• Подготовить задачи с использованием забытых единиц площади

Видео:ЕГЭ Задание 16 Отношение площадейСкачать

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний учащихся

На электронной доске заготовка двух задач, для устной работы:

В ходе решения задач повторяем:

1. Свойства площадей:
   Равные фигуры имею равные площади
   Площадь фигуры равна сумме площадей тех фигур из котрых она состоит.
2. Мы с вами находили площадь многоугольников, а в каких единицах может измеряться площадь? (Ребята отвечают см 2 , дм 2 , ар, га и др.) Сейчас нас девочки познакомят с забытыми единицами измерения площадей.
3. Двое учащихся показывают и рассказывают свое домашнее задание. Приложение № 1 (презентация «Забытые единицы площади»)
4. Слушаем внимательно, так как будем отвечать на вопросы:
   • Кто первый в России ввел измерение м 2 ?
   • От чего отталкивались при названии единицы измерения площади?

II. И так, мы с вами имеем два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник.

(Заранее делаем одинаковые заготовки) Давайте из данных фигур сложим две новые фигуры. Верно, получили прямоугольник и параллелограмм

Что мы с вами умеем находить в прямоугольнике и чего не знаем о параллелограмме? (ответ: площадь) И так тема урока «Площадь параллелограмма»

Что можно сказать о площадях этих фигур? Почему? (Равные, т.к. состоят из равных фигур)

А по какой формуле вычисляется площадь прямоугольника S=a×b, а чем являются стороны прямоугольника по отношению друг к другу? (Высотами) Как вы думаете, как же вычисляется площадь параллелограмма? (S=a×h_a) Верно. Площадь параллелепипеда равна произведению стороны на высоту, опушенную на эту сторону.

III. Решение задач

1. По готовым чертежам, в процессе решения задач по готовым чертежам выводим формулу площади треугольника

Решая задачу, ребята выводят формулу площади треугольника.

2. По учебнику № 459(а) 461

IV. Итог урока

Озвучиваем новые и важные формулы для нахождения площадей.

💥 Видео

Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Площадь параллелограмма | Геометрия 7-9 класс #51 | ИнфоурокСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Площади треугольников с равным углом.Скачать

Теорема о площади параллелограмма. Доказательство. Геометрия 9 классСкачать