отношение площадей подобных пирамид (8 видео)

Содержание

Отношение площадей подобных пирамид
Подобные многогранники
Объем пространственных фигур — определение и вычисление с примерами решения
Принцип Кавальери для нахождении объёмов
Объем призмы
Пример №1
Объём пирамиды
Подобие фигур в пространстве
Подобные фигуры
Пример №2
Площади поверхностей и объёмы подобных фигур
Объём усечённой пирамиды
Объём усечённой призмы
Задачи на сечение плоскостью
Симметрия в пространстве
Вращательная симметрии
Пример №3
🎦 Видео

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Отношение площадей подобных пирамид

III. ПОДОБИЕ МНОГОГРАННИКОВ

93. Определение. Два многогранника называются подобными, если они имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными.

Из этого определения следует, что в подобных многогранниках:

1) двугранные углы соответственно равны и одинаково расположены, потому что многогранные углы равны;

2) сходственные рёбра пропорциональны, потому что в каждых двух подобных гранях отношение сходственных рёбер одно и то же и в каждом многограннике соседние грани имеют по общему ребру.

Возможность существования подобных многогранников доказывается следующей теоремой

Так как А₁В₁ || АВ, В₁С₁ || ВС и т. д., то боковые грани двух пирамид подобны; основания их также подобны (§ 74). Остаётся доказать равенство многогранных углов. Угол S у обеих пирамид общий; трехгранные углы А₁, B₁, С₁, . равны соответственно углам А, В, С, потому что у каждой пары этих углов имеется по одному и тому же двугранному углу, расположенному между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами; так, у углов А и А₁ один и тот же двугранный угол (с ребром AS) лежит между равными плоскими углами: SA₁E₁ = SAE и SA₁B₁ = SAB.

95. Теорема. Поверхности подобных многогранников относятся, как квадраты сходственных рёбер.

Пусть P₁, Р₂, Р₃, . Р_n означают площади отдельных граней одного из подобных многогранников, a р₁, р₂, р₃, . р_n — площади сходственных граней другого; положим ещё, что L и l будут длины двух каких-нибудь сходственных рёбер. Тогда вследствие подобия сходственных граней и пропорциональности всех сходственных рёбер будем иметь:

откуда по свойству ряда равных отношений получим:

96. Теорема. Объёмы подобных многогранников относятся, как кубы сходственных рёбер.

Ограничимся доказательством этой теоремы только для подобных пирамид. Пусть (черт. 106) пирамиды SABCDE и S₁A₁B₁C₁D₁E₁ подобны.

Вложим вторую пирамиду в первую так, чтобы у них совпали равные многогранные углы S и S₁

Тогда основание A₁B₁C₁D₁E₁ займёт некоторое положение abcde, причём стороны ab, bc, . будут соответственно параллельны сторонам АВ, ВС, . (вследствие того, что соответствующие плоские углы трёхгранных углов А и А₁, В и B₁ и т. д. равны). Поэтому плоскость abcde параллельна ABCDE. Пусть SO и So—высоты двух пирамид. Тогда объём SABCDE= (площади ABCDE) • 1 /₃ SO; объём Sabcde — (площади abcde) • 1 /₃ So. Следовательно,

Видео:Отношение площадей подобных треугольников | Геометрия 7-9 класс #58 | ИнфоурокСкачать

Подобные многогранники

Определение: Два многогранника называются подобными, если они имеют равные многогранные углы и, соответственно, подобные грани.

Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными.

Из этого определения следует, что в подобных многогранниках:

Двугранные углы соответственно равны и одинаково расположены, потому что многогранные углы равны.
Сходственные ребра пропорциональны, потому что в каждых двух подобных гранях отношение сходственных ребер одно и то же, и в каждом многограннике соседние грани имеют по общему ребру.

Возможность существования подобных многогранников доказывается следующей теоремой:

Теорема. Если в пирамиде (рис.) проведем секущую плоскость (A₁B₁С₁D₁E₁) параллельно основанию, то отсечем от нее другую пирамиду
(SA₁B₁С₁D₁E₁), подобную данной.

Так как A₁B₁ || AB, B₁С₁ || BC и т.д., то боковые грани двух пирамид подобны.

Основания их также подобны.

Остается доказать равенство многогранных углов.

Угол S у обеих пирамид общий.

Трехгранные углы A₁, B₁, С₁ . равны соответственно углам A, B, С . потому что у каждой пары этих углов плоские углы соответственно равны и одинаково расположены.

Теорема. Две призмы или две пирамиды подобны, если основание и боковая грань одной и основание и боковая грань другой соответственно подобны, одинаково наклонены и одинаково расположены.

1. Пусть у двух призм (рис.) соответственно подобны и одинаково расположены основания ABCDE, abcde и грани AA₁B₁B, aa₁b₁b и, кроме того, равны двугранные углы AB и ab.

Для доказательства подобия этих призм рассуждаем в такой последовательности:

Трехгранные углы B и b равны, потому что они имеют по равному двугранному углу (AB и ab), заключенному между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами (ABС=abс и ABB₁=abb₁).

Отсюда следует, что равны плоские углы B₁BC и b₁bс, а также и двугранные BC и bс.

Если же у двух параллелограммов BB₁С₁С и bb₁с₁с имеется по одному равному углу, то и остальные их углы соответственно равны.

Так как, сверх того,

( frac=frac ) (из подобия оснований) ( frac=frac ) (из подобия боковых граней)

Переходя теперь к трехгранным углам С и с, совершенно также убедимся, что они равны и что грани СС₁D₁D и сс₁d₁d подобны. Таким образом мы переберем все трехгранные углы при основании и все боковые грани.

Трехгранные углы при верхних основаниях соответственно равны, потому что у них равны и одинаково расположены плоские углы.

Значит, рассматриваемые призмы подобны.

2. Пусть мы имеем (рис.) две пирамиды, у которых соответственно подобны и одинаково расположены основания ABCDE, abcde и боковые грани SAB, sab и, кроме того, равны двугранные углы AB и ab.

Совершенно так, как это было сделано для призм, мы докажем, что все трехгранные углы, прилежащие к основаниям, соответственно равны, и что все боковые грани соответственно подобны.

Тогда многогранные углы S и s также будут равны, потому что имея все плоские и двугранные углы соответственно равные и одинаково расположенные, они при вложении одного в другой совмещаются.

Теорема. Подобные многогранники могут быть разложены на одинаковое число соответственно подобных и одинаково расположенных пирамид (рис.).

Указанное в теореме разложение может быть выполнено различными способами. Мы поступим так:

Возьмем в одном из данных подобных многогранников вершину A какого-нибудь многогранного угла.

Возьмем далее все те грани многогранника, которые не принадлежат к углу A.

В нашем многограннике таких граней четыре: EDLK, DCHK, СBGH и FGHKL.

Каждую из этих граней примем за основание такой пирамиды, вершина которой лежала бы в A. Тогда многогранник разобъется на пирамиды, сходящиеся вершинами в точке A.

В другом многограннике возьмем сходственную вершину A₁ и тем же путем разложим его на одинаковое число пирамид.

Докажем, что эти пирамиды соответственно подобны.

И действительно, какую бы пару соответственных пирамид мы ни взяли, легко найдем, что основание и грань одной пирамиды и основание и грань другой пирамиды соответственно подобны, одинаково наклонены и одинаково расположены.

Например, у пирамид ADELK, A₁D₁E₁L₁K₁ основания DELK, D₁E₁L₁K₁ подобны, как сходственные стороны подобных многогранников, грани ADE и A₁D₁E₁ подобны, потому что подобные многоугольники ABCDE, A₁B₁С₁D₁E₁ разбиваются на соответственно подобные тр-ки. Двугранные углы DE, D₁E₁ равны, как сходственные углы подобных многогранников.

Из этого следует, что взятые нами пирамиды подобны. То же самое можно сказать о других пирамидах.

Теорема. Поверхности подобных многогранников относятся, как квадраты сходственных ребер.

Пусть P₁, P₂, P₁3 … P_n означают площади отдельных граней одного из подобных многогранников, p₁, p₂, p₃ … p_n площади сходственных граней другого.

Предположим еще, что L и l будут длины двух каких-нибудь сходственных ребер.

Тогда, вследствие подобия сходственных граней и пропорциональности всех сходственных ребер, будем иметь:

Теорема. Объемы подобных многогранников относятся как кубы сходственных ребер.

1. Сначала докажем теорему для подобных пирамид.

Вложим вторую пирамиду в первую так, чтобы у них совпали равные многогранные углы S и S₁.

Тогда основание A₁B₁С₁D₁E₁ займет некоторое положение abcde, причем стороны ab, bc, . соответственно параллельны сторонам AB, BC, . (вследствие равенства плоских углов трехгранных A и A₁, B и B₁ и т.д.)

Вследствие этого плоскость abcde параллельна ABCDE.

Пусть SO и So высоты двух пирамид.

2. Теперь докажем теорему для двух каких угодно подобных многогранников, объемы которых назовем V и v.

Разобьем их на подобные пирамиды.

Пусть V₁, V₂, V₃, … V_n и v₁, v₂, v₃, … v_n будут объемы сходственных пирамид, L и l длины каких-нибудь сходственных ребер. Тогда, согласно доказанному будем иметь:

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

Объем пространственных фигур — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Исследование. Соберите не менее 4 призм различных размеров из кубиков и изобразите полученные призмы.

Предположим, что ребро каждого кубика, из которых состоит призма, равна 1 единице, площадь грани равна 1 квадратной единице, а объём равен 1 кубической единице.
Данные для каждой призмы запишите в таблицу.
Какая связь существует между площадью основания призмы и высотой?
Вытащите один кубик из угла конструкции и изобразите вид впереди, сверху и сбоку каждого кубоида.

Если тело можно разделить на конченое число треугольных пирамид, то оно называется простым телом. Для простых тел объём — положительная величина, численное значение которой удовлетворяет следующим свойствам.

Объёмы конгруэнтных тел равны.
Объём куба, ребро которого равно единице, равен кубической единице.
Если тело можно разделить на простые части, то его объём равен сумме объёмов полученных частей.

Тела, имеющие одинаковые объёмы называются равновеликими. Объём прямоугольного параллелепипеда, размеры которого являются натуральными числами, равен

количеству кубических единиц, из которых он состоит. Можно также показать, что объём прямоугольного параллелепипеда, размеры которого заданы любыми действительными числами равен произведению трёх измерений: . Формулу объёма можно записать как произведение площади основания и высоты с. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты:

Следствие: Объём куба с ребром а равен:

Объём любой прямой призмы равен произведению площади основания и высоты. Справедливость данного утверждения проверим на прямой призме, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

Достроим основание призмы до прямоугольника, получим призму, достроенную до прямоугольного параллелепипеда. Объём полученной призмы равен .

Плоскость , проходящая через диагональ параллелепипеда делит призму на две конгруэнтные треугольные призмы. Значит, объём прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник будет:

В треугольнике ABC, являющимся основанием прямой призмы, проведём высоту так, чтобы она пересекала противоположную сторону во внутренней области: . Плоскость, проходящая через ребро АА’ перпендикулярно ребру ВС имеет одинаковую высоту с призмой, и делит её на две призмы, в основании которых лежат прямоугольные треугольники. Объём заданной призмы равен сумме объёмов полученных призм. Значит, объём прямой призмы с произвольным треугольником в основании равен произведению площади основания и высоты.

Если основанием прямой призмы является произвольный многоугольник, то её также можно разделить на треугольные призмы и найти её объём как сумму объёмов данных призм. Наклонную призму АВСА’В’С’ преобразуем в прямую призму равного объёма. Для этого:

проведём плоскость перпендикулярную боковым рёбрам;
отделим оставшуюся при сечении верхнюю часть призмы;
переместим и соединим её с оставшейся внизу частью;
высота полученной прямой призмы является боковым ребром наклонной призмы, т.е. , основание же является перпендикулярным сечением наклонной призмы. Объём данной прямой призмы является также объёмом наклонной призмы.

Следствие. Объём наклонной призмы равен произведению перпендикулярного сечения и ребра призмы: . Угол между перпендикулярным сечением и основанием равен углу между боковым ребром и высотой призмы.

Поэтому, .

Таким образом объём призмы равен произведению площади основания и высоты.

Видео:Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадейСкачать

Принцип Кавальери для нахождении объёмов

Если площади сечений параллельных основаниям двух тел равны, то равны и их объёмы, при условии, что основания лежат в одной плоскости, а высоты равны. Этот принцип открыл итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598 — 1647).

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания и высоты.

Пример №1

Найдём объём правильной пятиугольной призмы, стороны основания которой равны 4 см, а длина бокового ребра 9 см. Центральный угол правильного пятиугольника равен 360 : 5 = 72° значит апофема равна:

Площадь правильного многоугольника равна полупроизведению периметра и апофемы.

Исследование. 1. Диагонали куба деляг его на 6 конгруэнтных пирамид. Основание каждой пирамиды — грань куба, а высота

каждой пирамиды равна

а)Докажите, что объём каждой пирамиды равен

б)Докажите, что объём каждой пирамиды равен

Объём пирамиды

Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основанию на высоту.

Пусть, ТАВС — треугольная пирамида с вершиной Т и основанием ABC. Достроим эту пирамиду до треугольной призмы. Полученная призма состоит из трёх пирамид:

1)заданной пирамиды ТАВС;

Основания 2-ой и 3-ей пирамид конгруэнтны: и высота, проведённая из вершины Т общая. Поэтому их объёмы равны. Основания 1-ой и 3-ей пирамид конгруэнтны: и высота, проведённая из вершины С общая. Поэтому и их объёмы равны. Тогда объём заданной пирамиды равен . Основание любой пирамиды всегда можно разделить на треугольники и найти объём пирамиды суммировав объёмы всех полученных пирамид. Таким образом, объём любой пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту: .

Подобие фигур в пространстве

Подобные фигуры имеют одинаковую форму и пропорциональные размеры.

Например, прямоугольные треугольники на рисунке подобны, так как отношения соответствующих сторон равны.

Прямоугольные параллелепипеды на рисунке подобны, так как отношения соответствующих линейных размеров равны и соответствующие грани являются подобными четырёхугольниками. Правильные многогранники подобны. В частном случае подобными являются все кубы, правильные тетраэдры и т.д.

Подобные фигуры

Если при преобразовании расстояние между любыми двумя точками, меняется в одинаковое число раз, то такое преобразование называется подобием. Одна и другая, полученная при преобразовании подобием, фигура называются подобными фигурами. Коэффициент подобия равен отношению расстояний между парой любых двух соответсвующих точек.

Пример №2

Определим подобны или нет фигуры на рисунке.

Площади поверхностей и объёмы подобных фигур

Исследование. Покажите подобны или нет следующие фигуры.

Призмы А и В (прямоугольные параллелепипеды) подобные призмы

с коэффициентом подобия равным .

Для данных призм найдите:

а)отношение площадей полных поверхностей;

а)площадь полной поверхности призмы А

площадь полной поверхности призмы В

Отношение полной поверхности призмы А к полной поверхности призмы В

б)объём призмы А

объём призмы В

Отношение объёма призмы А к объёму призмы В

Если коэффициент подобия двух пространственных фигур равен , то отношение площадей (боковых, полных, оснований) равно , а отношение объемов равно Коэффициент подобия:

Пирамида, полученная сечением плоскости параллельной основанию, подобна данной. Коэффициент подобия можно найти из отношения соответствующих линейных размеров.

Например, на рисунке даны высоты. Тогда, отношения их боковых поверхностей, основании и полных поверхностей равно квадрату отношения высот.

Объём усечённой пирамиды

Исследование. В древнем Египте объём правильной усечённой четырёхугольной пирамиды вычисляли по формуле . Однако доподлинно не известно каким образом эта формула была получена. Выведите формулу, выполнив следующие шаги:

а)Запишите объём правильной четырёхугольной пирамиды, со стороной основания у ед.
б)Запишите объём правильной четырёхугольной пирамиды, со стороной основания х ед.
в)Покажите зависимость между высотами Н и h, как
г)Покажите, что объём усечённой пирамиды находится по формуле .

Объём усечённой пирамиды можно также найти как разность объёмов пирамид, при сечении плоскостью параллельной основанию.

Здесь V — объём усечённой пирамиды, S₂ и S₁ площади нижнего и верхнего оснований. h — высота усечённой пирамиды, h₁ — высота меньшей пирамиды.

Так как эти пирамиды подобны, то отношение площадей равно квадрату отношений высот. Запишем это равенство и найдём высоту меньшей пирамиды.

Учитывая выражение

в равенстве

Объём усечённой призмы

Объём усечённой пирамиды с площадями оснований и , и высотой вычисляется по формуле

Задачи на сечение плоскостью

Пример:

На рисунке показано сечение куба, с ребром а, плоскостью АВDО. Точки D и С являются серединами рёбер. Найдём площадь сечения.

Решение:

Дано: куб, длина ребра которого равна а точки D и С середины рёбер.

Найдите:

Для удобства повернём куб и отметим данные задачи на рисунке. Из по теореме Пифагора:

Ответ:

Симметрия в пространстве

В пространственных фигурах также можно наблюдать различную симметрию. Известно, что в параллелепипеде диагональные сечения являются параллелограммами и диагонали ВD₁ и DВ₁ пересекаясь в точке О делятся пополам.

Можно показать, что другие диагонали также пересекаются в точке О и делятся пополам. Значит, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является центром его симметрии.

В пространстве, помимо симметрии относительно точки и прямой, рассматривается симметрия относительно плоскости.

Если отрезок АА’ пересекает плоскость а посередине, и перпендикулярен плоскости, то говорят, что точки А и А’ симметричны относительно плоскости а.

Если точки фигуры, симметричные некоторой плоскости, также принадлежат этой фигуре,то эту плоскость называют плоскостью симметрии, а фигуру называют симметричной относительно плоскости.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все линейные размеры разные, кроме центра симметрии имеет ещё три оси и три плоскости симметрии. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей противоположных граней, называется осью симметрии,а плоскость, проходящая перпендикулярно через середину рёбер называется плоскостью симметрии. Параллелепипед, у которого два линейных размера равны, имеет 5 плоскостей симметрии. Данные изображения нарисуйте в тетрадь.

Точка пересечения диагоналей куба является его центром симметрии. Прямые, проходящие через середину параллельных рёбер, не принадлежащих одной грани (их всего 6) и прямые, проходящие через центры противоположных граней(их всего три), являются осями симметрии куба. У куба 9 плоскостей симметрии. Они изображены на следующих рисунках.

Вращательная симметрии

Вращательная симметрия пространственных фигур похожа на вращательную симметрию плоских фигур. Однако, для объёмных фигур она определяется при помощи оси вращения.

Вращательная и осевая симметрия широко применяется при изучении строения молекул веществ.

Пример №3

На рисунке показан вид сверху деталей, в виде правильных треугольных призм. Из них сконструирована правильная шестиугольная призма с центром основания О. Сколько деталей понадобилось для этого?

Основанием призмы является правильный шестиугольник, состоящий их 6 конгруэнтных треугольников. Каждый треугольник заполнен призмами. По изображению видно, что в один треугольник помещено 1+3 + 5 + 7 + 9 = 25 призм . Для правильной шестиугольной призмы таких призм нужно будет 6 • 25 = 150.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Объёмы поверхностей геометрических тел
Фигуры вращения: цилиндр, конус, шар
Объем фигур вращения
Длина дуги кривой
Площадь многоугольника
Правильные многоугольники
Вписанные и описанные многоугольники
Площадь прямоугольника

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.