отношение объемов подобных тел площадь

Видео:Подобные фигуры - отношение объемов и площадейСкачать

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Скачать:

Видео:27. Стереометрия на ЕГЭ по математике. Задача на тему: Отношение объемов подобных тел .Скачать

Предварительный просмотр:

Тема: Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Определение понятия подобных тел, отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел, продолжение формирования навыков и умений применения формул объемов при решении задач, а также формирование общих компетенций в области:

• Организации собственной деятельности, выбора типовых методов и способов выполнения профессиональных задач, оценивания их эффективности и качества (ОК 2).
• Оценивания рисков и принятия решений в нестандартных ситуациях (ОК 3).
• Осуществления поиска и использования информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития (ОК 4).
• Использования информационно-коммуникационных технологий для совершенствования профессиональной деятельности (ОК 5).

 определение понятия «подобные тела»;

 вывод формул отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел и

умение применять их при решении задач;

 продолжение формирования навыков и умений по

 применению формул объемов многогранников и тел вращений;

 изображению основных многогранников и круглых тел; выполнять чертежи

по условиям задач;

 решению простейших стереометрических задач на нахождение

геометрических величин (площадей, объемов);

 использованию при решении стереометрических задач планиметрические

 проведению доказательных рассуждений в ходе решения задач.

Объем тела – это положительная величина той части пространства , которую занимает геометрическое тело.

Объемы равных тел равны .

Если тело разбито на несколько тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Правило . Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания и высоты

, где – площадь боковой поверхности;

– периметр основания призмы (многоугольника, лежащего в основании);
– высота призмы (для прямоугольной — это длина бокового ребра призмы).

Правило . Объем прямой призмы равен произведению площади основания на длины бокового ребра

,

где – объем призмы;

– площадь основания призмы (многоугольника, лежащего в основании призмы);

– длина бокового ребра призмы.

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба

,

где — объем куба, – длина грани куба.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы

,

где – объем призмы,

– площадь основания призмы,

– высота призмы.

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда

, где – объем параллелепипеда,

– площадь основания,

– длина высоты.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

,

где – объем прямоугольного параллелепипеда,

– длина, – ширина, – высота.

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра

,

, где – объем цилиндра,

– площадь основания цилиндра,

– радиус цилиндра,

– высота цилиндра,

= 3.141592

Объем частей шара

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Если – радиус шара, перпендикулярный отсекающей плоскости, то точку назовем в этом случае полюсом шара. Высотой шарового сегмента называется отрезок , соединяющий полюс шара с центром основания шарового сегмента.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Поэтому его объем является суммой объемов шарового сегмента и конуса . Высота шарового сегмента является также высотой и шарового сектора. Имеем

,

где – радиус конуса. Пусть – полюса шара, . Из прямоугольного треугольника находим , следовательно,

Объем шарового сектора

Два многогранника называются подобными, если они имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани.

Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными . У подобных многогранников двугранные углы равны и одинаково расположены; сходственные рёбра пропорциональны.

Если в пирамиде проведём секущую площадь параллельно основанию, то она отсечёт от неё другую пирамиду, подобную данной.

Поверхности подобных многогранников относятся, как квадраты сходственных линейных элементов многогранников.

Объёмы подобных многогранников относятся как кубы сходственных линейных элементов этих многогранников.

Квадраты объёмов подобных многогранников относятся как кубы площадей сходственных граней.

Подобные цилиндры и конусы.

Два цилиндра, конуса или усечённых конуса называются подобными, если подобны их осевые сечения.

Боковые и полные поверхности подобных цилиндров, конусов и усечённых конусов относятся, как квадраты их сходственных линейных элементов. (радиусов оснований, высот, образующих).

Объёмы подобных тел.

Пусть Т и Т’ – два простых подобных тела. Это означает, что существует преобразования подобия, при котором тело Т переходить в тело Т’ . Обозначим через k коэффициент подобия.

Разобьём тело Т на треугольные пирамиды

Преобразования подобия, которое переводит тело Т в тело Т’ переводит пирамиды

Р 1 , Р 2 , …, Р n в пирамиды Р 1 ‘ , Р 2 ‘ , …, Р n ‘ .

Эти пирамиды составляют тело Т’ и поэтому объём тела Т’ равен сумме объёмов пирамид

Р 1 ‘ , Р 2 ‘ , …, Р n ‘ .

Так как пирамиды Р 1 ‘ и Р 1 подобны и коэффициент подобия равен k , то и отношение их высот равно k , а отношение площадей их оснований равно k 2 . Поэтому, отношение объёмов пирамид равно k 3 . Так как тело Т состоит из пирамид Р 1 , а тело Т’ состоит из пирамид Р 1 ‘ , то отношение объёмов тел Т’ и Т тоже равно k 3 .

Число k – коэффициент подобия – равен отношению расстояний между любыми двумя соответствующими парами точек при преобразования подобия. Поэтому, это число равно отношению любых двух соответствующих линейных размеров тел Т’ и Т . Таким образом, мы приходим к следующему выводу:

Объёмы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.

Квадраты объёмов подобных тел относятся, как кубы площадей соответствующих граней.

Объёмы подобных цилиндров, конусов и усечённых конусов относятся, как кубы их соответствующих линейных элементов ( радиусов оснований, высот, образующих ) .

Объёмы шаров относятся, как кубы их радиусов или диаметров.

Площади оснований усечённой пирамиды S 1 и S 2 , а её объём равен V. Определить объём полной пирамиды.

Пусть S 1 > S 2 . Обозначим объём полной пирамиды через V 1 , а объём пирамиды, дополняющей данную усечённую пирамиду до полной, через V 2

Составляя производную пропорцию, получим :

С учётом V 1 – V 2 = V, находим :

Площади оснований усечённой пирамиды равны а 2 и b 2 . Найти площадь сечения, которое параллельно площадям оснований усечённой пирамиды и делящего её объём пополам.

В усечённой пирамиде АС 1 ( для простоты рисунка рассматривается треугольная пирамида ) дано :

Необходимо найти площадь сечения А’В’С’ ( пл. АВС ∥ пл. А’В’С’ ) , которое делит усечённую пирамиду на равновеликие по объёму части.

Дополним усечённую пирамиду до полной. Пирамиды

SАВС, SА’В’С’, SA 1 B 1 C 1 – подобные.

Обозначим площадь искомого сечения А’В’С’ через х 2 , а объёмы пирамид

SАВС, SА’В’С’ и SA 1 B 1 C 1

соответственно V a , V x , V b . Тогда :

где t – некоторое число, которое обозначает величину этих отношений. Тогда :

V a = a 3 t , V x = x 3 t, V b = b 3 t.

По условию задачи :

V a – V x = V x – V b ,

a 3 t – x 3 t = x 3 t – b 3 t,

2 x 3 = a 3 + b 3 .

1. Высота конуса равна 5 см . На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см 3 .

2. Объём конуса равен 27 . На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2 : 1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

3. В усечённой пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2 : 5. В каком отношении делится её объём плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамида параллельно основаниям ?

4. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1 / 2 высоты. Объём жидкости равен 54 мл . Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд ?

5. Объём конуса равен 16 . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

6. Объём конуса равен 10 . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

7. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1 / 2 высоты. Объём жидкости равен 70 мл . Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд ?

8. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1 / 3 высоты. Объём жидкости равен 14 мл . Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху ?

SО = 5 см, SО 1 = 2 см.

Объём малого конуса равен 24 см 3 (см. рисунок). Найдите объём большого конуса.

10. Дано: конус, R – радиус основания, усечённый конус, r – радиус

меньшего основания (см. рисунок).

1. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как 2 : 3. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Найти в каком отношении разделился объём усечённого конуса.

а ) 127 : 162 : 217;

б ) 127 : 168 : 219;

в ) 123 : 168 : 217;

г ) 127 : 168 : 217.

2. Если объёмы двух сфер относятся как 64 : 125, то площади их поверхностей относятся как ?

Видео:8 класс Отношение площадей подобных фигурСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Использование кейс-метода для решения задач на нахождение площади поверхности и объема невыпуклого многогранника

В статье рассматривается решение задач В9 при подготовке к ЕГЭ.

урок в 11 классе по геометрии. Тела вращения, их объемы и площади поверхностей

урок в 11 классе по геометрии. Тела вращения, их объемы и площади поверхностей.

Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Урок с использованием ЭОР

Цель урока: сформулировать определение пропорциональных отрезков, подобных треугольников, коэффициента пропорциональности, доказать теорему об отношении площадей подобных фигур, уметь применить знания.

Технологическая карта урока геометрии по теме: «Тела вращения, площади их поверхностей и объемы»

Урок геометрии, проведенный на 1 курсе СПО.За неделю до урока группа разбивается на команды, каждая из которых получает задание от преподавателя подготовить материал по конкретному телу вращения.

Открытый урок по теме «Тела вращения, их объемы и площади поверхностей»

урок – конкурс, который является одной из форм проверки знаний по данной теме.

Технологические карта урока геометрии по теме «Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Решение задач». Геометрия. 8 класс

Урок проведен в 8 классе после изучения тем «Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур». Данный урок проведен в форме игры «Умники и умницы». Игра состо.

Конспект урока по геометрии в 11 классе «Вычисление объемов и площадей поверхности геометрических тел»

Урок геометрии по теме: Вычисление объемов и площадей поверхности геометрических тел» проводится в 11 классе в форме проекта.Обучающиеся делятся на группы и выполняют задание на исследовани.

Видео:Коэффициент подобия отрезков/ площадей/ объемовСкачать

Лекция для группы на 14.05.2020 Т11, Са11 по теме Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Просмотр содержимого документа
«Лекция для группы на 14.05.2020 Т11, Са11 по теме Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.»

Лекция для группы Т11, Са11 по теме

Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.

ЗАПИСАТЬ ЛЕКЦИЮ, прочитав ее и выписав самое главное.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении. Пример 1: Автомобиль и его модель – подобные тела. Два тела (фигуры) зеркально подобны, если одно из них подобно зеркальному отражению другого.

Пример 2: Картина и её фотонегатив зеркально подобны друг другу.

В подобных и зеркально подобных фигурах все соответственные углы ( линейные и двугранные ) равны.

В подобных телах многогранные и телесные углы равны; в зеркально подобных телах они зеркально равны.

Если два тетраэдра (две треугольные пирамиды) имеют соответственно пропорциональные рёбра (или соответственно подобные грани), то они подобны или зеркально подобны. Пример 3: Если грани первой пирамиды вдвое больше, чем у второй, то высоты, апофемы, радиус описанного круга первой пирамиды также вдвое больше, чем у второй.

Эта теорема не имеет места для многогранников с большим числом граней. Предположим, что мы соединили все рёбра куба в его вершинах посредством шарниров; тогда мы можем изменить форму этой фигуры, не растягивая её стержни, и получить из начального куба параллелепипед.

Пример 4: Две правильные призмы или пирамиды с одинаковым числом граней подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам. Два круглых цилиндра или конуса подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: Если два и более тел подобны, то площади всех соответствующих плоских и кривых поверхностей этих тел пропорциональны квадратам любых соответствующих отрезков.

УТВЕРЖДЕНИЕ2:Если два и более тел подобны, то их объёмы, а также объёмы любых их соответствующих частей, пропорциональны кубам любых соответствующих отрезков.

П р и м е р 5: Чашка диаметром 8 см и высотой 10 см вмещает 0.5 литра воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмещающая 4 литра воды ?

Решение:

Поскольку чашки – подобные цилиндры, то отношение их

объёмов равно отношению кубов соответствующих отрезков

( в нашем случае – высот и диаметров чашек). Следовательно,

высота h новой чашки находится из отношения:

аналогично, для диаметра d получим:

Объемы подобных тел пропорциональны кубам соответствующих линейных размеров.

Пример 6: На рисунке выше показаны два куба, сторона одного из которых в 3 раза больше стороны другого.

Объем тела с рисунка а) V=x*x*x=x 3

Объем тела с рисунка б) V=3x*3x*3x=27x 3

Следовательно, тело на рис. б) имеет объем объем 3 3 , т.е. его объем в 27 раз больше объема тела на рис. а).

Пример 7: Определение массы тела, подобного данному.

Масса автомобиля 1050 кг. Изготовлена модель автомобиля в масштабе 1:60. Определить массу модели автомобиля, если она сделана из того же материала, что и сам автомобиль.

(Объем модели)/(объем автомобиля)=(1/60) 3 , поскольку объемы подобных тел пропорциональны кубам соостветствующих линейных размеров.

Масса =плотность*объем, а так как автомобиль и модель сделаны из одного материала, значит:

(Масса модели)/(Масса автомобиля)=(1/60) 3

Масса модели = (Масса автомашины) *(1/60) 3 =(10050)/(60 3 )=0,0049 кг=4,9г.

Видео:41 Стереометрия на ЕГЭ по математике. Задача на отношение объемов подобных тел.Скачать

Тема урока: Подобие тел- лекция по геометрии

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема: Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Цель урока: изучить понятия равновеликих и подобных тел, выучить значения отношений площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Задачи урока: формировать навыков и умения применения формул вычисления объемов и площадей геометрических тел при решении задач .

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

Фигура, все точки которой не находятся на одной плоскости, называется объёмной фигурой.

Ограниченная часть пространства называется геометрическим телом, а множество точек, ограничивающих его от окружающего пространства, называется поверхностью этого тела.

Шар — геометрическое тело, его поверхность — сфера.

Винтовая линия — объёмная фигура, но это не тело.

Пирамида — геометрическое тело, которое ограничено плоскими многоугольниками.

Пирамида Плоские многоугольники

Две фигуры (или тела) называются равными, если их можно совместить наложением .

Два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении.

Пример 1: Автомобиль и его модель – подобные тела.

Пример 2. Два тела (фигуры) зеркально подобны, если одно из них подобно зеркальному отражению другого.

Пример 3: Картина и её фотонегатив зеркально подобны друг другу.

В подобных и зеркально подобных фигурах все соответственные углы (линейные и двугранные) равны.

Пример 4: Две правильные призмы или пирамиды с одинаковым числом граней подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам. Два круглых цилиндра или конуса подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.

3. Изучение нового материала

Главная величина геометрических тел — это их объём.

Объём геометрического тела — это величина, которая описывает занимающую этим телом часть пространства.

ИЛИ Объем тела – это положительная величина той части пространства, которую занимает геометрическое тело.

Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м переплавлены в один куб. Чему равно ребро этого куба.

Решение:
1. Найдем объем каждого куба:

V₁= 6 3 = 216 м 3 V₂= 8 3 = 512 м 3 V₃= 10 3 = 1000 м 3

2. Отсюда следует, что общий объем равен:

V_общ = V₁+ V₂+ V₃= 216 + 512 + 1000 = 1728 м 3
3. Сторону куба можно найти из формулы:

Если тело разбито на несколько тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Из определения следует, что объём не зависит ни от местонахождения тела в пространстве, ни от того, как это тело делится на части.

Величину объёма вычисляют, основываясь на аксиомах:
1) равные тела имеют равные объёмы.
2) Объём тела равен сумме объёмов его отдельных частей.

Чтобы объём можно было измерить, т. е. чтобы объём можно было бы выразить в виде числа, необходимо выбрать единицу измерения объёма.

Единица объёма — это объём такого куба, ребро которого равно одной единице длины.

Если ребро куба равно 1 см, то его объём обозначается кубическими сантиметрами — см 3 , если ребро куба равно1 м, то объём обозначается кубическими метрами — м 3 .

Тела с равными объёмами называются равновеликими.

Равные тела с объёмом 8 см 3

Равновеликие тела

Равновеликие тела с объёмом 6 см 3

Все равные тела равновелики, но не все равновеликие тела равны.

Отношение площадей поверхностей подобных тел

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: Если два и более тел подобны, то площади всех соответствующих плоских и кривых поверхностей этих тел пропорциональны квадратам любых соответствующих отрезков.

Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Радиус первого шара в 3 раза больше радиуса второго шара. Площадь поверхности шара выражается через его радиус формулой S = 4π r 2 , поэтому при увеличении радиуса втрое площадь увеличится в 3 2 = 9 раз.

Даны два шара с радиусами 14 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности другого?

Площади поверхности шаров относятся как квадрат отношения их радиусов. Радиус большего шара в 7 раз больше радиуса меньшего, поэтому их площади относятся как 7 2 = 49.

Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Найдём площадь поверхности первого шара: S ₁ = 4π r 2 = 4π8 2 = 256π

Найдём площадь поверхности второго шара: S ₂ = 4π r 2 = 4π4 2 = 64π

Найдём отношение площадей: S 1/ S 2=256π/64π=4

Ответ: 4.

Отношение объемов подобных тел

УТВЕРЖДЕНИЕ 2: Если два и более тел подобны, то их объёмы, а также объёмы любых их соответствующих частей, пропорциональны кубам любых соответствующих отрезков.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Объемы подобных тел пропорциональны кубам соответствующих линейных размеров.

Объём куба – это произведение трех его измерений.

Пример 5: На рисунке выше показаны два куба, сторона одного из которых в 3 раза больше стороны другого.

Объем тела с рисунка а) V=x*x*x=x 3

Объем тела с рисунка б) V=3x*3x*3x=27x 3

Следовательно, тело на рис. б) имеет объем 3 3 , т.е. его объем в 27 раз больше объема тела на рис. а).

Задача 5. Чашка диаметром 8 см и высотой 10 см вмещает
0,5 литра воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмещающая 4 литра воды ?

Чашки – подобные цилиндры, значит отношение их

объёмов равно отношению кубов соответствующих отрезков

(в нашем случае – высот и диаметров чашек).

Следовательно, высота h новой чашки находится из отношения:

1) (h/10 ) 3 = 4/0,5; то есть h 3 = 8*10 3 , откуда h = 20 см;

аналогично, для диаметра d получим:

2) (d/8) 3 =4/0,5 , то есть d 3 = 8*8 3 , откуда d = 16 см.

Ответ: h = 20 см; d = 16 см.

Масса автомобиля 1050 кг. Изготовлена модель автомобиля в масштабе 1:60. Определить массу модели автомобиля, если она сделана из того же материала, что и сам автомобиль.

1. (Объем модели)/(объем автомобиля)=(1/60) 3 , поскольку объемы подобных тел пропорциональны кубам соостветствующих линейных размеров.

2. Масса =плотность*объем, а так как автомобиль и модель сделаны из одного материала, значит:

(Масса модели)/(Масса автомобиля)=(1/60) 3

3. Масса модели = (Масса автомашины) *(1/60) 3 =(1050)/(60 3 )=
0,0049 кг=4,9г.

Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

Масса шара прямо пропорциональна его объёму. Объёмы шаров относятся как кубы их радиусов:

Следовательно, масса второго, меньшего шара равна 162*8/27=48 грамм.

Даны два шара с радиусами 8 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Объёмы шаров относятся как кубы отношений их радиусов. Радиус большего шара в 4 раза больше радиуса меньшего, поэтому их объёмы относятся как 4 3 = 64.

Приведём другое решение.

Найдём отношение объёмов шаров:

4. Домашнее задание

1) Выучить теоретический материал урока

2) Решить задачи

Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Даны два шара с радиусами 12 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

💥 Видео

Отношение площадей подобных треугольников.Скачать

Отношение площадей подобных треугольников | Геометрия 7-9 класс #58 | ИнфоурокСкачать

отношение объемов подобных фигурСкачать

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

ЕГЭ Задание 8 Объем подобных телСкачать

Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)Скачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

09 Стереометрия на ЕГЭ по математике. Задача на отношение площадей подобных фигур.Скачать

ЕГЭ. Математика. Площади поверхности и объемы геометрических тел. ПрактикаСкачать

Математика | Объём в жизни и в математикеСкачать

60. Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Площади и объемы подобных фигурСкачать

ЕГЭ. математика. Объемы подобных телСкачать