основные свойства площадей многоугольников кратко (4 видео)

Содержание

Понятие площади многоугольника
Свойства площадей
Школе NET
Register
Login
Newsletter
Главный Попко
Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников
Лучший ответ:
Зачетный Опарыш
Площади многоугольников
🔍 Видео

Видео:Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Понятие площади многоугольника

Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

*единица измерения отрезков*	*единица измерения площадей*	*название квадрата*
мм	мм 2	квадратный миллиметр
см	см 2	квадратный сантиметр
дм	дм 2	квадратный дециметр
м	м 2	квадратный метр
км	км 2	квадратный километр

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Видео:8 класс, 10 урок, Понятие площади многоугольникаСкачать

Свойства площадей

1 0 . Равные многоугольники имеют равные площади.

2 0 . Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников (Рис.1).

Свойства 1 0 и 2 0 называют основными свойствами площадей.

3 0 . Площадь квадрата равна квадрату его стороны (Рис.2).

Равновеликие многоугольники — это многоугольники, которые имеют равные площади.

Равносоставленные многоугольники — это многоугольники, которые составлены из многоугольников, имеющих равные площади. На рисунке 3 изображены два равносоставленных многоугольника.

Любые два равносоставленных многоугольника равновеликие.

Верно и обратное утверждение: если два многоугольника равновеликие, то они равносоставленные (теорема Бойяи — Гервина).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 8 класс геометрия АтанасянСкачать

Школе NET

Register

Do you already have an account? Login

Don’t you have an account yet? Register

Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!

Главная 
Вопросы & Ответы 
Вопрос 17834599

Главный Попко

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников

Видео:Понятие площади многоугольника | Геометрия 7-9 класс #48 | ИнфоурокСкачать

Лучший ответ:

Зачетный Опарыш

Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников (которые не перекрываются), то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Если многоугольники имеют равные площади, но они не равные, то их называют равновеликими.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Площади многоугольников

Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина, обозначающая часть плоскости, которую занимает данный многоугольник. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной (1) см, (1) мм и т.д. (единичный квадрат). Тогда площадь будет измеряться в см (^2) , мм (^2) соответственно.

Иными словами, можно сказать, что площадь фигуры — это величина, численное значение которой показывает, сколько раз единичный квадрат умещается в данной фигуре.

Свойства площади

1. Площадь любого многоугольника — величина положительная.

2. Равные многоугольники имеют равные площади.

3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

4. Площадь квадрата со стороной (a) равна (a^2) .

Теорема: площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника со сторонами (a) и (b) равна (S=ab) .

Доказательство

Достроим прямоугольник (ABCD) до квадрата со стороной (a+b) , как показано на рисунке:

Данный квадрат состоит из прямоугольника (ABCD) , еще одного равного ему прямоугольника и двух квадратов со сторонами (a) и (b) . Таким образом,

Определение

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к стороне (или к продолжению стороны), не содержащей эту вершину.
Например, высота (BK) падает на сторону (AD) , а высота (BH) — на продолжение стороны (CD) :

Теорема: площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Доказательство

Проведем перпендикуляры (AB’) и (DC’) , как показано на рисунке. Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма (ABCD) .

Тогда (AB’C’D) – прямоугольник, следовательно, (S_=AB’cdot AD) .

Заметим, что прямоугольные треугольники (ABB’) и (DCC’) равны. Таким образом,

Определение

Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство

Пусть (S) – площадь треугольника (ABC) . Примем сторону (AB) за основание треугольника и проведём высоту (CH) . Докажем, что [S = dfracABcdot CH.] Достроим треугольник (ABC) до параллелограмма (ABDC) так, как показано на рисунке:

Треугольники (ABC) и (DCB) равны по трем сторонам ( (BC) – их общая сторона, (AB = CD) и (AC = BD) как противоположные стороны параллелограмма (ABDC) ), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь (S) треугольника (ABC) равна половине площади параллелограмма (ABDC) , то есть (S = dfracABcdot CH) .

Теорема

Если два треугольника (triangle ABC) и (triangle A_1B_1C_1) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.

Следствие

Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

Теорема

Если два треугольника (triangle ABC) и (triangle A_2B_2C_2) имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство

Пусть (angle A=angle A_2) . Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка (A) совместилась с точкой (A_2) ):

Проведем высоты (BH) и (C_2K) .

Треугольники (AB_2C_2) и (ABC_2) имеют одинаковую высоту (C_2K) , следовательно: [dfrac<S_><S_>=dfrac]

Треугольники (ABC_2) и (ABC) имеют одинаковую высоту (BH) , следовательно: [dfrac<S_><S_>=dfrac]

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Теорема

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Теорема: формула Герона

Пусть (p) – полупериметр треугольника, (a) , (b) , (c) – длины его сторон, тогда его площадь равна [S_=sqrt

]

Замечание

Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е. площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Теорема

Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник (ABCD) . Обозначим (AO=a, CO=b, BO=x, DO=y) :

Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников:

(begin S_=frac12ax+frac12xb+frac12by+frac12ay=frac12(ax+xb+by+ay)=\ frac12((a+b)x+(a+b)y)=frac12(a+b)(x+y)end)

Следствие: площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: [S_<text>=dfrac12 d_1cdot d_2]

Определение

Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.

Теорема: площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство

Рассмотрим трапецию (ABCD) с основаниями (BC) и (AD) . Проведем (CD’parallel AB) , как показано на рисунке: