осевого момента инерции площади сечения

Видео:Геометрические характеристики. Моменты инерции. Радиусы инерции. Сопромат.Скачать

Техническая механика

Сопротивление материалов

Видео:Моменты инерции сечения из простых фигурСкачать

Геометрические характеристики плоских сечений

При некоторых видах деформаций прочность и жесткость (способность противостоять деформации) элементов конструкций зависит не только от величины поперечного сечения, но и от формы этого сечения.
Самый простой пример — обыкновенную школьную линейку можно легко изогнуть относительно широкой стороны поперечного сечения и совершенно невозможно изогнуть относительно его короткой стороны. При этом общая площадь сечения в обоих случаях одинакова. На основании этого примера становится очевидным, что на сопротивление некоторым видам деформации оказывает влияние (иногда — решающее) не только величина площади сечения бруса, но и его геометрическая форма.
При изучении деформаций изгиба и кручения нам потребуется знание некоторых геометрических характеристик плоских сечений, которые оказывают влияние на способность конструкций сопротивляться деформациям относительно той или иной оси либо полюса (точки).

Чтобы понять суть явления и влияния этих геометрических характеристик на сопротивление бруса, например, изгибу, следует обратиться к основополагающим постулатам сопромата. Как известно из установленного в 1660 году английским физиком Робертом Гуком закона, напряжение в сечениях бруса прямо пропорционально его относительному удлинению. Очевидно, что волокна, расположенные дальше от оси изгиба, растягиваются (или сжимаются) сильнее, чем расположенные вблизи оси. Следовательно, и напряжения возникающие в них будут бόльшими.
Можно привести условную сравнительную аналогию между напряжением в разных точках сечения бруса с моментом силы — чем больше плечо силы — тем больше ее момент (относительно оси или точки). Аналогично — чем дальше от какого-либо полюса (оси) отстоит точка в сечении, тем большее напряжение в ней возникает при попытке изогнуть или скрутить брус относительно этого полюса (оси).

Статический момент площади

Статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок (S_i) на расстояния (r_i)от них до этой оси.

Если упростить это определение, то статический момент инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси (лежащей в той же плоскости, что и фигура) можно получить следующим образом:

• разбить фигуру на крохотные (элементарные) площадки (рис. 1);
• умножить площадь каждой площадки на расстояние r_i от ее центра до рассматриваемой оси;
• сложить полученные результаты.

Статический момент площади плоской фигуры обозначают S с индексом оси, относительно которой он рассматривается: S_x , S_y , S_z .

Примечание: в разных учебниках или других источниках информации обозначение тех или иных физических величин может отличаться от приведенных на этом сайте. Как вы понимаете, от условного обозначения величин суть описываемых явлений и закономерностей не изменяется.

Анализ этих формул позволяет сделать вывод, что статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.
Из этого вывода следует еще один вывод — если рассматриваемая ось проходит через центр тяжести плоской фигуры, то статический момент этой фигуры относительно данной оси равен нулю.

Единица измерения статического момента площади — метр кубический (м 3 ).
При определении статического момента площади сложной фигуры можно применять метод разбиения, т. е. определять статический момент всей фигуры, как алгебраическую сумму статических моментов отдельных ее частей. При этом сложная геометрическая фигура разбивается на простые по форме составные части — прямоугольники, треугольники, окружности, дуги и т. п., затем для каждой из этих простых фигур подсчитывается статический момент площади, и определяется алгебраическая сумма этих моментов.

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса (точки), лежащего в той же плоскости, называется сумма произведений элементарных площадок (S_i) этой фигуры на квадрат их расстояний (r 2 _i) до полюса.
Полярный момент инерции обозначают I_ρ (иногда его обозначают J_ρ ), а формула для его определения записывается так:

Единица измерений полярного момента инерции — м 4 , из чего следует, что он не может быть отрицательным.
Понятие полярного момента инерции понадобится при изучении деформаций кручения круглых валов, поэтому приведем формулы для определения полярного момента квадратного, круглого и кольцевого сечения.

Видео:Определение осевых моментов инерции составного несимметричного сечения. СопроматСкачать

iSopromat.ru

Рассмотрим формулы для определения геометрических характеристик плоских сечений: статического момента площади фигуры, осевых моментов инерции и радиуса инерции сечения.

При расчете элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость приходится кроме общеизвестной характеристики – площади поперечного сечения A, оперировать такими геометрическими характеристиками сечений, как статический момент площади, момент инерции, момент сопротивления, радиус инерции.

Видео:Теория (часть 1) осевые моменты инерцииСкачать

Статический момент площади

Интегралы вида:

называются статическими моментами площади сечения A относительно осей X и Y соответственно.

В тех случаях, когда сечение может быть разделено на простейшие фигуры площади A_i и координаты центров тяжести x_i и y_i которых известны, статические моменты площади сложной фигуры определяются через суммирование

Статические моменты площади имеют размерность [м 3 ] и могут принимать любые числовые значения. Для осей X_C, Y_C, проходящих через центр тяжести сечения C (центральные оси), статические моменты равны нулю:

Координаты центров тяжести сечения определяются относительно так называемых вспомогательных осей по формулам:

Если сечение имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на этой оси и его положение определяется одной координатой.

При наличии двух и более осей симметрии центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.

Видео:Моменты инерции Прямоугольника ► Вывод моментов инерции для прямоугольникаСкачать

Моменты инерции

Моментами инерции площади сечения называют интегралы вида:

где:
I_x, I_y — осевые моменты инерции площади сечения относительно осей OX, OY соответственно;
I_xy — центробежный момент инерции;
I_ρ — полярный момент инерции.

Размерность момента инерции [м 4 ], I_x, I_y, I _ρ всегда положительны, I_xy может принимать любые значения, при этом, если хотя бы одна из осей является осью симметрии, I_xy=0.

Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей выражаются формулами:

где a, b – расстояния между осями X, X_C и Y, Y_C.

Оси, относительно которых I_xy=0, называют главными, а осевые моменты инерции относительно них – главными моментами инерции.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями, а соответствующие им моменты инерции – главными центральными моментами инерции.

Главные оси характерны тем, что их моменты инерции принимают экстремальные значения (I_max, I_min).

Момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси находится суммированием моментов инерции составляющих его частей относительно той же оси:

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: геометрические характеристики сечений - моменты инерцииСкачать

Радиусы инерции

Величины

называют радиусами инерции сечения относительно осей OX и OY соответственно.

Эллипс, построенный в главных осях, с полуосями, равными главным радиусам инерции

называют эллипсом инерции.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:Вычисление моментов инерции составного сеченияСкачать

Осевой, полярный и центробежный моменты инерции фигуры

Осевой момент инерции фигуры — это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Формулы осевого момента инерции произвольной фигуры (см. рис. 4.1) относительно осей x и y:

Полярный момент инерции фигуры относительно данной точки (полюса) — это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до полюса:

Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей x и y, то , и формула полярного момента инерции равна сумме осевых моментов инерции относительно осей x и y:

Из формул осевых и полярного моментов инерции видно: значения осевых и полярного моментов инерции всегда положительны, так как координаты и расстояние возведены в квадрат.

Центробежный момент инерции фигуры — это интеграл произведений элементарных площадей на их расстояния до осей x и y:

Моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени (как правило, см4).

Понятие момента инерции поперечного сечения ввел в 1834 г. французский ученый Н. Перси.

🎦 Видео

Момент инерцииСкачать

Урок 94. Вычисление моментов инерции телСкачать

Моменты инерции простейших фигур. Оси центральные и главные. Что это и где. #сопроматСкачать

Момент инерции круга. Моменты инерции простых фигур. #сопроматСкачать

Техническая механика/Определение общих осевых моментов инерции сложносоставного сечения.Скачать

Основы Сопромата. Геометрические характеристики поперечного сеченияСкачать

01 Момент инерции 1 частьСкачать

13. Вычисление момента инерцииСкачать

Секториальный момент инерцииСкачать

Расчёт момента инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции однородного стержняСкачать

Основы сопромата. Задача 4. Момент инерции сложного сеченияСкачать

Определение положения главных центральных осей и главных центральных моментов инерцииСкачать

Определение Моментов инерции для сечений составленных из стандартных профилейСкачать