Площадь замкнутого полигона по координатам его вершин определяют по формулам:
X,Y – координаты вершин основного теодолитного хода;
n – вершины хода;
(n+1) – номер последующей вершины;
(n – 1) – номер предыдущей вершины.
По обеим формулам должно получиться одно и то же значение площади, что является контролем вычисления площади участка.
Вычисляют площадь по приведенным формулам в специальной «Ведомости вычисления площади участка по координатам» (табл.6).
Вначале из «Ведомости вычисления координат основного замкнутого хода» (табл.4) переносят в «Ведомость вычисления площади» (табл.6) координаты вершин замкнутого полигона. После этого вычисляют разности соответствующих ординат (графы 2 и 3) и соответствующих абсцисс, указанных в приведенных формулах площади, число разностей равно числу вершин полигона.
В примере: 
и 
:
 |  |
1.  = 471,08 – 191,42 = 279,66 | 1  =78,54-266,54 =  188,00 |
 = 511,48 – 206,93 = 304,55 |  |
 = 398.81 – 471,08= — 72,27 |  |
 = 191,42 – 511,48 = -320,06 |  |
 = 206,93 – 398,81 = — 191,88 |  |
Алгебраическая сумма разностей абсцисс и ординат должна равняться нулю, что является контролем вычисления соответствующих разностей. Полученные разности абсцисс и ординат заносят в графы 6 и 7 ведомости. Произведения алгебраически суммируют отдельно в графе 6 и в графе 7. Суммы должны быть одинаковыми, что является контролем вычислений. Сумма произведений в графе 6 и в графе 7 составляют двойную площадь участка.
В примере: 2S= 156506, 62 м 2 , а площадь полигона
S = 
.
Все вычисления площади записывают в ведомость (табл. 6).
Ведомость вычисления площади участка по координатам
| № точек | Координаты |  |  |  |  |
| Х | Y | ||||
| +289,4 | +206,93 | +279,66 | — 188,00 | +80936,40 | -38902,84 |
| +266,54 | +471,08 | +304,55 | + 223,40 | +81174,76 | +105239,27 |
| +66,01 | +511,48 | -72,27 | +311,02 | -4770,34 | +159080,50 |
| -44,48 | +398,81 | — 320,06 | -12,53 | +14236,26 | -4997,09 |
| +78,54 | +191,42 | -191.88 | -333,89 | -15070,26 | -63913,22 |
| +584,21 — 584,21 | +534,42 -534,42 | 156506,62 | 156506,62 | ||
| 2S=156506,62м 2 S = 78253,31м 2 |
На защиту необходимо представить:
1. Обработанный журнал теодолитной съемки.
2. Ведомость вычисления координат точек теодолитных ходов.
4. Ведомость вычисления площади участка.
5. Расчетно-графическая работа должна иметь титульный лист (рис.11).
1. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г., Геодезия. — М.: КолосС 2006. — 599 с.
2. Поклад Г.Г., Гриднев С.П.Геодезия. — М.: Академический проект 2007. — 592 с.
Калькулятор площади полигона в координатах WGS 84
WGS 84 (англ. World Geodetic System 1984) — всемирная система геодезических параметров Земли 1984 года, в число которых входит система геоцентрических координат. В отличие от локальных систем, является единой системой для всей планеты.
Онлайн калькулятор позволяет рассчитать площадь полигона в координатах WGS 84.
Инструкция по использованию калькулятора
Координаты вершин полигона (широту и долготу) следует указывать в градусах в виде десятичной дроби. Координаты вершин указываются последовательно и в одном направлении (по часовой или против часовой стрелки).
Преобразовать координаты из формата «градусы, минуты, секунды» в десятичные градусы можно с помощью конвертера географических координат.
Онлайн калькуляторы
Calculatorium.ru — это бесплатные онлайн калькуляторы для самых разнообразных целей: математические калькуляторы, калькуляторы даты и времени, здоровья, финансов. Инструменты для работы с текстом. Конвертеры. Удобное решение различных задач — в учебе, работе, быту.
Актуальная информация
Помимо онлайн калькуляторов, сайт также предоставляет актуальную информацию по курсам валют и криптовалют, заторах на дорогах, праздниках и значимых событиях, случившихся в этот день. Информация из официальных источников, постоянное обновление.
Основы геодезии
О геодезии и разный полезный материал для геодезистов.
Аналитический способ
При наличии прямоугольных координат X и Y вершин n -угольника его площадь можно вычислить по формулам аналитической геометрии; выведем одну из таких формул.
Пусть в треугольнике ABC координаты вершин равны X1 , Y1 (A), X2, Y2 (B) и X3, Y3 (C) – рис.6.2.
Из вершин треугольника опустим перпендикуляры на оси координат и обозначим их длину, как показано на рис.6.2.
Площадь треугольника P будет равна сумме площадей двух трапеций I(aABc) и II(bBCc) за вычетом площади трапеции III(aACc)
Выразим площадь каждой трапеции через ее основания и высоту:
Чтобы избавиться от множителя 0.5, будем вычислять удвоенную площадь треугольника. Выполним умножение, приведем подобные члены, вынесем общие множители за скобки и получим:
или в общем виде:
В этой формуле индекс “i” показывает номер вершины треугольника; индекс “i” означает, что нужно брать следующую или предыдущую вершину (при обходе фигуры по часовой стрелке).
Если при группировке членов выносить за скобки Y1, то получится формула:
Вычисления по обоим формулам дают одинаковый результат, поэтому на практике можно пользоваться любой из них.
Хотя формулы (6.11) и (6.12) выведены для треугольника, нетрудно показать, что они пригодны для вычисления площади любого n – угольника.
Оценка точности площади. В большинстве случаев участки на местности имеют форму неправильного n – угольника, причем количество вершин многоугольника n может быть от 30 до 20 и более. Площадь таких участков вычисляют аналитическим способом по прямоугольным координатам вершин, которые, в свою очередь, определяют в результате обработки геодезических измерений. При этом для каждой вершины многоугольника получают координаты и ошибку ее положения относительно исходных пунктов, задающих систему координат на местности.
Выведем формулу для оценки площади многоугольника по известным внутренним углам, длинам его сторон и ошибкам положения mti его вершин.
На рис.6.3 изображен фрагмент многоугольника с вершинами i-1, i, i+1, i+2 и сторонами li-1,li,li+1.
Проведем на вершинах i и i+1 окружности радиусами mti и mt(i+1) и построим биссектрисы углов βi и βi+1. Затем восстановим перпендикуляры к стороне li и найдем проекции отрезков mti и mt(i+1) на эти перпендикуляры:
Построим трапецию, основаниями которой являются отрезки mi и mi+1, а высотой – сторона li и найдем площадь этой трапеции ΔPi. Как известно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, а поскольку основаниями трапеции являются проекции ср.кв. ошибок, то вместо полусуммы нужно взять квадратичную полусумму оснований; таким образом,
Площадь трапеции, построенной на одной стороне многоугольника, является частью ошибки площади всего многоугольника; выполнив квадратичное суммирование площадей ΔPi по всем сторонам, получим:
Из формулы (6.16) можно получить формулу средней квадратической ошибки площади правильного многоугольника с одинаковой ошибкой положения mt всех его вершин:
mP=an * mt * L, (6.17)
где: L – периметр многоугольника,
an – коэффициент, зависящий от n – количества вершин; 
его значения:
n 3 4 5 6 7 8 9 10
an 0.204 0.250 0.256 0.250 0.243 0.231 0.222 0.212
n 11 12 15 20 24 30 60 120
an 0.205 0.197 0.179 0.156 0.143 0.128 0.091 0.065
Формула (6.17) является базовой и при оценке площади неправильных n-угольников, для которых ошибка площади mp оказывается лишь на несколько процентов больше, чем для правильного n – угольника. Так, если площадь неправильного n – угольника при том же периметре в два раза меньше площади правильного n-угольника, то ошибка его площади увеличивается лишь на 20 %.
При неодинаковых ошибках положения вершин многоугольника в формуле (6.17) достаточно вместо mt поставить mt(ср).
Примером применения формулы (6.17) является оценка площади участков, координаты вершин которых получены с топографических планов. Например, для плана масштаба 1:2000 ошибку положения точек можно принять равной mt = 0.50 мм * M = 1 м (при условии, что основа плана достаточно жесткая и ее деформацией можно пренебречь). При площади участка 0.12 га и количестве вершин n=4 (5 или 6) средняя квадратическая ошибка его площади при правильной форме (периметр L = 140 м) будет равна 35 кв.м, а при неправильной форме (периметр L>140 м) она может достигать 40 кв.м.
Другим примером применения формулы (6.17) может служить оценка площади многоугольника, координаты вершин которого получены из полярной засечки, выполненной с одного пункта-станции.
При использовании точных приборов (электронных тахеометров или систем GPS) доля ошибок измерений в ошибке положения точек значительно меньше доли ошибки их фиксации mф на местности. Приняв mti= mф, можно использовать формулу (6.17) для любых способов получения координат вершин многоугольника.
Площадь правильного n-угольника можно выразить через его периметр:
И из формулы (6.17) получить формулу относительной ошибки площади:
для треугольника (n=3) mp/P = 4.24* mt/L,
для четырехугольника (n=4) mp/P = 4.00* mt/L,
для пятиугольника (n=5) mp/P = 3.72 mt/L,
для шестиугольника (n=6) mp/P = 3.46 mt/L.
Таким образом, для приближенной оценки площади 3-4-5-6- угольника в аналитическом способе можно применять формулу:
ошибка этой формулы может достигать 15% – 20% для участков, форма которых заметно отличается от формы правильного n -угольника.