объемы и площади многогранников егэ (4 видео)

Содержание

Многогранники
Многогранники
Объемы различных многогранников:
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
Теорема Пифагора
Объемы и площади многогранников егэ
Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.
🌟 Видео

Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать

Многогранники

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

Призма $V=S_·h$
Пирамида $V=/S_·h$
Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

Первый способ.

Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
Найти объем параллелепипеда.
Найти объем лишней части фигуры.
Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:

2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:

Его длина равна $9-4=5$

3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Второй способ

Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
Найти объем каждого параллелепипеда.
Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$/$	$/$	$/$
$cosα$	$/$	$/$	$/$
$tgα$	$/$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$/$

Задачи на рассмотрение подобия фигур.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

Видео:ОБЪЕМ составного многогранника / Задача из ЕГЭ #27044Скачать

Объемы и площади многогранников егэ

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2, 3, 1 и двух площадей прямоугольников со сторонами 2, 1:

Почему вы вычитаете только 2 площади прямоугольников? их же там 4,верхняя и боковая еще. Поэтому площадь многогранника будет 15

Обратите внимание, что верхняя и боковая «достраиваются» до целого параллелепипеда из исходной фигуры.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 3, 5 и двух площадей квадратов со стороной 1:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 4, 5 и площади двух квадратов со стороной 1:

От площади параллелепипеда следует отнять площадь маленького параллелепипеда (5*2+2*1)

Александра, так надо поступать с объемами. С площадями иначе.

Боковая поверхность не изменилась по площади, она просто поменяла форму. А вот от оснований по маленькому квадрату «оттяпали»

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5:

Приведем другое решение.

Найдем площадь поверхности многогранника как сумму площадей его граней: горизонтальных, боковых и фронтальных (расположенных спереди и сзади). Рассмотрим горизонтальные грани. Площадь нижней грани равна 5 · 5 = 25. Есть также две верхние грани. Если посмотреть на многогранник сверху, то эти две верхние грани сольются в одну, равную нижней грани. Таким образом, сумма их площадей равна площади нижней грани, то есть 25.

Рассмотрим боковые грани. Площадь левой грани равна 5 · 3 = 15. Есть также две грани справа. Если посмотреть на многогранник справа, то эти две грани сольются в одну, равную левой грани. Таким образом, сумма их площадей равна площади левой грани, то есть 15.

Рассмотрим фронтальные грани. Площадь задней грани равна 5 · 3 = 15. Две передние грани в сумме равны задней грани, таким образом, сумма их площадей тоже равна 15.

Следовательно, площадь поверхности многогранника равна

2 · 25 (горизонтальные грани) + 2 · 15 (боковые грани) + 2 · 15 (фронтальные грани) = 110.

Заметим, что площадь поверхности данного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5. Именно так решена эта задача первым способом.

Видео:#111. Задание 8: объем составного многогранникаСкачать

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Иногда в задаче надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.

Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.

В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.