Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать
Многогранники
Многогранники
Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.
В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).
Объемы различных многогранников:
- Призма $V=S_·h$
- Пирамида $V=/S_·h$
- Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
- Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Первый способ.
- Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
- Найти объем параллелепипеда.
- Найти объем лишней части фигуры.
- Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.
Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:
2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:
Его длина равна $9-4=5$
3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:
- Второй способ
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.
Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:
Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.
В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
| $cosα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
| $tgα$ | $/$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | $/$ |
Задачи на рассмотрение подобия фигур.
При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.
При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
Видео:#111. Задание 8: объем составного многогранникаСкачать
Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.
Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:
- Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
- Элементарная логика.
Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».
Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.
Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.
Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.
Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.
Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂
Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.
Иногда в задаче надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.
Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.
В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.
Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.
Видео:Вариант 6 Задание 8 ЕГЭ 2016 Математика, И В Ященко 36 вариантов Решение ОтветСкачать
Объем многогранника площадь основания
Задание 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины D, Е, F, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 12.
В основании призмы лежит правильный шестигранник. Вершины DEF образуют треугольник в основании призмы. Таких равных треугольников в основании призмы ровно 6 (см. рисунок ниже).
Легко показать, что площади треугольников AFO и FOD равны. Например, высота треугольника AFO равна y/2 (синяя линия к стороне FA на рисунке), а основание FA=x. Тогда площадь AFO S=1/2∙x∙y/2=xy/4. По аналогии площадь треугольника FOD. У него высота x/2, проведенная к стороне FD=y. Получаем площадь: S=1/2∙y∙x/2=xy/4. Также из рисунка хорошо видно, что треугольники AFO и DOC равны, и отсальные 4 треугольника также равны. Поэтому площадь треугольника DEF равна 1/6 от площади основания призмы: 10/6. В результате получаем объем многогранника:
📸 Видео
Задача 8 ЕГЭ по математике #1Скачать
ОБЪЕМ составного многогранника / Задача из ЕГЭ #27044Скачать
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки В, С, А1, С1Скачать
Стереометрия. ЕГЭ. Найти объем многогранника - все двугранные углы прямыеСкачать
Стереометрия. ЕГЭ. Найдите объем многогранника, вершины - точки правильной шестиугольной призмыСкачать
8 Найдите обьем многогранникаСкачать
Объем многогранника часть правильной шестиугольной призмыСкачать
МНОГОГРАННИК объем многогранника геометрия АтанасянСкачать
Стереометрия. ЕГЭ. Найти объем многогранника - все двугранные углы прямыеСкачать
Объем составного многогранника.Все виды задач на ЕГЭ.16 задачи.№8 ПрофильСкачать
Объем многогранникаСкачать
8 задание ЕГЭ информатика 2021. Найдите объем многогранника вершинами которого являются точкиСкачать
ЕГЭ Математика Задание 8#245339Скачать
Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать
Объём тетраэдра 19 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёберСкачать
11 класс. Геометрия. Объёмы многогранниковСкачать
Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать
