найти плотность распределения вероятности площади ромба (3 видео)

Содержание

Плотность распределения
Плотность распределения
Далее:
Теория вероятностей и математическая статистика 5 семестр, ИУ10 ( уч.г.) Модуль 1, домашнее задание 2
Функция плотности распределения
Термины «плотность распределения», «плотность вероятности»
Примеры с решением
🔍 Видео

Видео:Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Плотность распределения

Услуги проектирования
Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.]
Плотность распределения

Видео:Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Плотность распределения

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Опр Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины $X$ называют функцию $f( x )-$ первую производную от функции распределения $F( x )$ begin label ‘( x )=f( x ) end

Следовательно, функция распределения $F( x )$ является первообразной для функции плотности распределения вероятностей $f( x )$.

Теорема Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение принадлежащее интервалу $( )$ равна определенному интегралу от плотности. begin label P( < aleqslant X Пример. Найти функцию распределения по данной плотности и построить график. $ f( x )=left< < < begin \ < frac ,при,1 3 > \ end > >right. $

Решение. Построим график функции плотности распределения вероятностей.

при $xleqslant 1$ из условия $f( x )=0,Rightarrow F( x )=0 $
при $,1 3$, тогда $ F( x )=intlimits_ ^x =intlimits_ ^1 +intlimits_1^3 < frac dx > +intlimits_3^x =frac left| < _ ^ >right.=1. $

Построим график функции распределения

Свойства плотности распределения

1). Плотность распределения неотрицательная функция $f( x )geqslant 0$.

Доказательство Известно, что функция распределения $F( x )-$ неубывающая, следовательно, ее производная $ ‘( x )=f( x )$ неотрицательная функция.

Геометрически это означает, что график $f( x )$ расположен выше оси OX или на оси OX.

График $f( x )$плотности распределения называется кривой распределения.

2). Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от $( )$ равен 1. begin label intlimits_ ^infty dx=1 end

Если $X$ задана на $( )$, то $intlimits_a^b $

Геометрически это означает, что площадь под кривой распределения равна 1.

Критерий полноты

Класс $T_1$. Теорема о замкнутости класса $T_1$

Криволинейный интеграл первого рода

СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице

Замена переменных в тройном интеграле

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

Свойства тройного интеграла

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы

Критерий полноты . Лемма о несамодвойственной функции

Решение задач с помощью алгебры высказываний

Соленоидальное векторное поле

Введение

Упрощение логических функций

Огравление $Rightarrow $

Видео:Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Теория вероятностей и математическая статистика 5 семестр, ИУ10 ( уч.г.) Модуль 1, домашнее задание 2

Мария Краузе 3 лет назад Просмотров:

1 Теория вероятностей и математическая статистика 5 семестр, ИУ10 ( уч.г.) Модуль 1, домашнее задание 2 ВАРИАНТ 1 1. Случайная величина Х подчиняется распределению Релея: ) x ( f(x) = σ exp x2, x 0; 2 2σ 2 0, x 2 ТВиМС, 5с, ИУ10, ДЗ2 ( уч.г.) 2 ВАРИАНТ 5 1. Случайная величина Х распределена по закону 3 ) (1 x2, x a; f(x) = 4a a 2 0, x > a. Найти плотность распределения случайной величины Y = b 2 X 2, где b > a. (3 балла) 2. Математическое ожидание скорости ветра на высоте 10 км равно 30 км/ч, а среднее квадратичное отклонение 5 км/ч. Какую скорость ветра на этой высоте можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,85? (3 балла) ВАРИАНТ 6 1. Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале [0, 1], чтобы получить случайную величину Y, распределенную по показательному закону f(y) = λe λy, y 0? (3 балла) 2. Генератор обеспечивает выходное напряжение, которое может отклоняться от номинального на значение, не превышающее 1 В, с вероятностью 0,95. Какие значения дисперсии выходного напряжения можно ожидать? (3 балла) ВАРИАНТ 7 1. Измеренное значение радиуса круга подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием m = 50 и дисперсией σ 2 = 0,25. Найти закон распределения площади круга и его среднюю площадь. (3 балла) 2. Математическое ожидание суточного расхода воды в лаборатории составляет 10 м 3. Оценить вероятность того, что в некоторый день расход воды будет находиться в интервале м 3, если среднее квадратичное отклонение суточного расхода составит 1 м 3? (3 балла) ВАРИАНТ 8 1. Найти закон распределения объема шара, если его радиус — случайная величина, имеющая нормальный закон распределения с математическим ожиданием m = 10 и дисперсией σ 2 = 0,25. (3 балла) 2. Используя неравенство Чебышева, найти вероятность того, что частота появления грани с номером 6 при бросании правильной игральной кости 200 раз отклонится от вероятности ее появления не более, чем на 0,05. Найденный ответ сравнить с результатом, полученным с помощью интегральной теоремы Муавра Лапласа. (3 балла) ВАРИАНТ 9 1. Найти плотность распределения вероятностей объема куба, ребро которого случайная величина X, распределенная равномерно на отрезке [0, a]. (3 балла) 2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что при 1000 бросаниях правильной игральной кости частота появления грани с четным номером отклонится от вероятности ее появления по абсолютной величине не более, чем на 0,01. Сравнить найденные значения с результатами, полученными с помощью интегральной теоремы Муавра Лапласа. (3 балла)

3 ТВиМС, 5с, ИУ10, ДЗ2 ( уч.г.) 3 ВАРИАНТ Пусть Х и Y независимые случайные величины, имеющие плотности распределения вероятностей f X (x) = 1 2 e x/2, x 0; f Y (y) = 1 3 e y/3, y 0. Найти плотность распределения случайной велимчины Z = X + Y. (3 балла) 2. Произведены измерения 200 случайных величин. Известно, что дисперсии случайных величин не превышают 4. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих измерений от среднего арифметического математических ожиданий случайных величин не превысит 0,2. (3 балла) ВАРИАНТ Цилиндрический вал имеет погрешность изготовления и поэтому измеренное значение его диаметра случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [а, b]. Найти плотность распределения вероятностей площади поперечного сечения вала. (3 балла) 2. Чтобы определить среднее сопротивление (n-p)-перехода транзистора, в в каждой коробке партии из 50 коробок проверено по одному транзистору. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического значения сопротивления (n-p)-перехода в выбранной совокупности от среднего значения во всей партии не превысит 10 Ом, если среднее квадратичное отклонение сопротивления не превышает 6 Ом. (3 балла) ВАРИАНТ Прочность детали Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m 1 = 20 и σ 1 = 1. На деталь действует нагрузка Y N(14, 2), т.е. Y тоже имеет нормальный закон распределения с параметрами m 2 = 14 и sigma 2 = 2. Найти вероятность неразрушения детали, т.е. вероятность события А = . (3 балла) 2. За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое 500 измерений. Предполагая, что среднее квадратичное отклонение возможных результатов каждого измерения не превышает 0,5, оценить вероятность того, что отклонение найденного таким образом значения величины от истинного не превысит 0,2. (3 балла) ВАРИАНТ На окружность радиуса R брошены две точки. Считая, что длина хорды, соединяющей эти точкиё случайная величина с равномерным распределением, найти плотность распределения вероятностей длины дуги между брошенными точками. (3 балла) 2. Каждая повторная передача сигнала по каналу связи увеличивает вероятность искажения сигнала на 0,1%. При передаче первого сигнала эта вероятность равна 0,05. Передано 100 сигналов. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9 заключено число переданных без искажения сигналов. (3 балла)

4 ТВиМС, 5с, ИУ10, ДЗ2 ( уч.г.) 4 ВАРИАНТ 14 ( ) u 1. Угол сноса самолета определяется формулой λ = arcsin v sin ε, где ε угол направления ветра, u скорость ветра, v скорость самолета в воздухе. Угол направления ветра распределен равномерно на отрезке [ π, π]. Найти плотность распределения вероятностей угла сноса при u = 20 м/c, v = 720 км/ч. (3 балла) 2. В конденсаторе с вероятностью 0,01 возможен дефект диэлектрика и, независимо от этого, с вероятностью 0,005 дефект корпуса. Проверена партия в 1000 конденсаторов. В каких границах с вероятностью 0,997 заключается число бракованных конденсаторов? Решить задачу, используя неравенство Чебышева и интегральную теорему Муавра Лапласа. (3 балла) ВАРИАНТ У центробежного регулятора стороны равны и составляют так называемый параллелограмм регулятора, острый угол ϕ которого случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [π/6, π/4]. Найти закон распределения диагоналей параллелограмма регулятора, если его сторона равна a. (3 балла) 2. В Москве рождается каждый день в среднем 335 детей, т.е. в год около детей. Считая вероятность рождения мальчика 0,51, найти вероятность того, что число мальчиков, которые родятся в Москве в текущем году, превысит число девочек не менее, чем на (3 балла) ВАРИАНТ Случайная величина Х имеет плотность распределения < 2e 2x, x 0; f(x) = 0, x 0. (3 балла) 2. Пусть ξ 1 число выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты, а ξ 2 число выпавших очков на грани тетраэдра (грани перенумерованы числами 1, 2, 3, 4) при его однократном подбрасывании. Оценить вероятность осуществления неравенства ξ 1 + ξ 2 5 ТВиМС, 5с, ИУ10, ДЗ2 ( уч.г.) 5 ВАРИАНТ Измеренное значение стороны квадрата cлучайная величина X, распределенная по закону < 1/2 sin x, x (0, pi); f(x) = 0, x (π, 2π). Найти плотность распределения вероятностей площади квадрата. (3 балла) 2. Дана последовательность независимых случайных величин . Случайная величина ξ n задана следующим образом: x nλ 0 nλ P (ξ n = x) 2 n 1 2 (n 1) 2 n Можно ли применить к данной последовательности закон больших чисел? (3 балла) ВАРИАНТ Абсолютное значение случайной величины v скорости молекул массы газа при абсолютной температуре T подчиняется закону Максвелла Больцмана f(v) = λv 2 e βv2, v 0, где β = m ; k константа Больцмана; λ нормирующий множитель. 2kT Найти плотность распределения вероятностей кинетической энергии E = γv 2, где γ = 1 2 m. Показать, что λ = 4 π β3/2. (3 балла) 2. Дана последовательность независимых случайных величин . Случайная величина ξ n задана следующим образом: x nλ 0 nλ 1 P (ξ n = x) n 2 n 2 2n 2 Можно ли применить к данной последовательности закон больших чисел? (3 балла) ВАРИАНТ Случайная величина X равномерно распределена на промежутке [0, 2π]. Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин Y = 4X, Z = X Y, V = X + 2Y 3Z 1. (3 балла) 2. Дана последовательность независимых случайных величин . Случайная величина ξ n задана следующим образом: x n n P (ξ n = x) 1/2 1/2 Можно ли применить к данной последовательности закон больших чисел? (3 балла)

6 ТВиМС, 5с, ИУ10, ДЗ2 ( уч.г.) 6 ВАРИАНТ Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0, 20], а случайная величина Y имеет плотность распределения f(y) = 0,5e 0,5y, y 0. Найти математические ожидания и корреляционную матрицу случайных величин U = 2X 3Y + 5, V = Y 3X + 1, если коэффициент корреляции между X и Y равен ρ xy = 0,8. (3 балла) 2. Правильная монета подбрасывается 1000 раз. Определить такое число X, чтобы количество попыток, когда монета ляжет гербом вверх, с вероятностью 0,85 заключалось между 400 и X. (3 балла) ВАРИАНТ По сторонам прямого угла XOY скользит линейка AB длиной l = 1, занимая случайное положение, причем все значения X одинаково вероятны от 0 до 1. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния R от начала координат до линейки. (3 балла) 2. Из электроламп, изготовленных заводом, 80% выдерживают гарантийный срок службы. Найти вероятность того, что в партии из 500 электроламп число выдержавших гарантийный срок службы находится в пределах Использовать неравенство Чебышева и интегральную теорему Муавра Лапласа. (3 балла) ВАРИАНТ Затраты C на обслуживание приборов обратно пропорциональны сроку их службы t, т.е. C = 1. Найти закон распределения случайной величины C, если закон распределения t t нормальный: f(t) = 1 ( ) σ 2π exp (t µ)2. (3 балла) 2σ 2 2. Вероятность случайного события равна 0,9. Проведено 6400 испытаний. Какова вероятность того, что наблюдаемая частота случайных событий лежит в интервале 0,9 ± 0,01? Решить задачу, используя неравенство Чебышева и интегральную теорему Муавра Лапласа. (3 балла) ВАРИАНТ Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением: Y = 4 3X. Величина X распределена равномерно на отрезке [ 1, 3]. Найти математическое ожидание и дисперсию величины Y, корреляционный момент величин X и Y и их коэффициент корреляции. (3 балла) 2. Вероятность случайного события равна 0,81. Проведено 5000 испытаний. В каком интервале с вероятностью P 0,97 лежит наблюдаемая частота случайного события? Решить задачу, используя неравенство Чебышева и интегральную теорему Муавра Лапласа. (3 балла)

7 ТВиМС, 5с, ИУ10, ДЗ2 ( уч.г.) 7 ВАРИАНТ Случайные величины U и V связаны со случайными величинами X и Y соотношениями: U = X + 3Y 2; V = 2X Y + 1. Известно, что MX = 1; DX = 5; MY = 2; DY = 4; K xy = 3. Найти математическое ожидание величин U и V и их корреляционную матрицу. (3 балла) 2. Вероятность случайного события равна 0,67. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью P 0,98 можно было ожидать, что наблюдаемая частота случайного события отклонится от его вероятности не более, чем на 0,01? Решить задачу используя неравенство Чебышева и интегральную теорему Муавра Лапласа. (3 балла) ВАРИАНТ На смежных сторонах прямоугольника со сторонами a и b выбраны наудачу две точки. Найти математическое ожидание квадрата расстояния между этими точками, а также его дисперсию. (3 балла) 2. Вероятность появления бракованной детали в партии из 1000 деталей равна 0,05. Найти с вероятностью 0,9 нижнюю и верхнюю границы числа дефектных деталей в этой партии. (3 балла) ВАРИАНТ Имеется случайная величина X, распределенная по экспоненциальному закону f(x) = 2e 2x, x 0. Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин Y = 2X, Z = X + Y 1, V = X 2Y Z + 1. (3 балла) 2. Стрельба по цели ведется поочередно из трех орудий, причем вероятности попадания в цель равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Произведено 300 выстрелов. Оценить снизу вероятность того, что при этих данных частота попаданий отличается от средней вероятности попадания по абсолютной величине не более чем на 0,1. (3 балла) ВАРИАНТ Точка находится на окружности радиуса R. Радиус-вектор этой точки проектируется на полярную ось, и на этой проекции, как на стороне, строится квадрат. Определить математическое ожидание и дисперсию площади квадрата, если положение точки на окружности равномерно распределенная случайная величина. (3 балла) 2. Игральный кубик подбрасывается n = 360 раз. С какой вероятностью можно утверждать, что число выпадения шести очков будет не менее: а) 60; б) 50? (3 балла) ВАРИАНТ На плоскости XOY дана случайная точка (X; Y ), причем MX = 2; DX = 16; MY = 4; DY = 64; K xy = 0. Определить математическое ожидание и дисперсию расстояния от начала координат до проекции точки на ось OA в рассматриваемой плоскости, образующую с осью OX угол λ = 30. (3 балла) 2. Пусть ξ 1 число выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты, а ξ 2 число выпавших очков при однократном бросании игральной кости. Оценить вероятность осуществления неравенства ξ 1 + ξ 2 8 ТВиМС, 5с, ИУ10, ДЗ2 ( уч.г.) 8 ВАРИАНТ Через точку B(0; b) проводится прямая BA под углом λ к оси ординат, пересекающая ось абсцисс в точке A(a; 0). Угол λ случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [ π/2, π/2]. Найти плотность распределения вероятностей абсциссы a точки A. (3 балла) 2. Пусть вероятность того, что покупателю обувного магазина необходимы туфли размера 41, равна 0,15. Определить среди 2000 покупателей магазина в % с вероятностью 0,98 верхнюю и нижнюю границы предполагаемого количества покупателей, которым нужны такие туфли. (3 балла)

Видео:Нормальное Распределение за 6 МинутСкачать

Функция плотности распределения

Содержание:

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения F (х), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от

т. е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка,- т. е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать к нулю.

В пределе получим производную от функции распределения:

Функция f (х) — производная функции распределения — характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.

Эта функция называется плотностъю распределения (иначе «плотностью вероятности») непрерывной случайной величины X. Иногда функцию f (х) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «диффе-ренциальным законом распределения величины X.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности»

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными Рис. 5.4.1. при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция f (х) буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»).

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения и элементарный участок dx, примыкающий к точке х (рис. 5.4.2). Вероят ность попадания случайной величины X

на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна f(x)dx. Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx (рис. 5.4.2).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от а до 0 (рис. 5.4.3) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу:

Геометрически вероятность попадания величины X на участок равна площади кривой распределения, опирающсйся на этот участок (рис. 5.4.3).

Формула (5.4.2) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

откуда по формуле (5.4.3) имеем:

Геометрически F (х) есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки х (рис. 5.4.4).

Укажем основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения F (х) есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:

вся Кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Выясним размерности основных характеристик случайной величины — функции распределения и плотности распределения. Функция распределения F (х), как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения /(х), как видно из Формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.

Примеры с решением

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины X задана выоажением

а) Найти коэффициент а.

б) Найти плотность распределения f (х).

в) Найти вероятность попадания величины X на участок от 0,25 до 0,5.

Решение:

а) Так как функция распределения величины X непрерывна, то при

б) Плотность распределения величины X выражается формулой

в) По формуле (5.3.1) имеем:

Пример 2. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью:

а) Найти коэффициент а,

б) Построить график плотности распределения /(х).

в) Найти функцию распределения F (х) и построить ее график,

г) Найти вероятность попадания величины X на участок от

Решение:

а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения:

б) График плотности f (х) представлен на рис. 5.4.5.

в) По формуле (5.4.4) получаем выражение функции распределения:

График функции F (х) изображен на рис. 5.4.6.

г) По формуле (5.3.1.) имеем

Тот же результат, но несколько более сложным путем можно получить по формуле (.5.4.3).

Пример 3. Плотность распределения случайной величины X задана формулой:

а) Построить график плотности

б) Найти вероятность того, что величина X попадет на участок (—1,+1).

Решение:

а) График плотности дан на рис. 5.4.7.

б) По формуле (5.4.3) имеем:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.