найти площадь в maple (3 видео)

Содержание

Найти площадь в maple
Применение пакета Maple для решений математических задач
Найти площадь в maple
🔍 Видео

Видео:Программирование в Maple 2017 | Programming in Maple 2017Скачать

Найти площадь в maple

Аппроксимация Площади Прямоугольниками

Рассмотрим площадь фигуры, ограниченной линией на интервале [-1, 4].

Как бы нам исхитриться, да и вычислить площадь фигуры, ограниченной этим графиком (на указанном отрезке)?

Предупреждение: Ни о каком определённом интеграле речи пока не идёт!

Может разбить всю рассматриваемую область на множество узких прямоугольников, одно основание у которых принадлежит оси х , а второе «упирается» в кривую? Одна часть таких прямоугольников принадлежала бы верхней полуплоскости, а другая — нижней. Ничего гениального, но именно в этом и состоит основная идея аппроксимации площади фигуры прямоугольниками. Остаются лишь детали.

Конкретнее: разделим отрезок [-1;4] на определённое число равных суботрезков. Каждый из этих суботрезков (подотрезков, подинтервалов) будем воспринимать как одно из оснований соответствующего прямоугольника. Противоположное основание такого прямоугольника пусть упирается правым концом в график данной функции. Т.е. одна из вершин прямоугольника (правая верхняя или правая нижняя) будет принадлежать графику функции. Мы можем с лёгкостью выполнить указанное построение при помощи специальной Maple-команды rightbox из пакета student .

В данном случае мы используем 5 подинтервалов. (Команде rightbox мы об этом сообщили последним её параметром). Можно с лёгкостью определить сумму площадей всех прямоугольников (отметьте, что основание каждого из них равно 1):

Высота каждого из прямоугольников будет совпадать с абсолютной величиной значения функции на правом конце соответствующего подинтервала).

То же самое можно выполнить и более изящно — с помощью команды sum :

Разумеется, такое приближение является чрезвычайно грубым. Попробуем использовать большее количество прямоугольников. Увеличим их число вдвое (при этом длина каждого подинтервала уменьшится вдвое и станет равной 1/2):

Ну и так далее. Чем большее количество прямоугольников мы возьмём, тем точнее их суммарная площадь будет соответствовать истинной. Это очевидно, не правда ли? В десятичной форме нам будет проще следить за изменением результата.

Видео:Начало работы с Maple 2017 | Getting Started with Maple 2017Скачать

Применение пакета Maple для решений математических задач

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MAPLE ДЛЯ РЕШЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ТУИТ, Каршинский филиал, Узбекистан

Научный руководитель: Старший преподаватель

В работе рассмотрено вычислений площади и объемы геометрических фигур, используя пакета Maple. Maple — это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики [2]. Ниже приведем примеры решение некоторых задач с помощью системы MAPLE.

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и .

Решение. Построим в пакете Maple графики функций, определяющие границы области и определим точки пересечения графиков

Так как фигура ограничена графиками функций и, то площадь фигуры найдется по формуле: . Задавая команду вычисления интеграла, получаем

Ответ: .

Задача 2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси одной арки циклоиды .

Решение. Изобразим график тела вращения

> plot3d([t-sin(t),(1-cos(t))*cos(u),(1-cos(t))*sin(u)], t=0..2*Pi, u=0..2*Pi, scaling=constrained, axes=normal,

Объем тела вращения вычислим по формуле

Ответ: .

Задача 3. Найти площадь поверхности, образованной вращением во-круг полярной оси кардиоиды .

Решение. Изобразим поверхность вращения. Лучше всего задать эту поверх-ность вращения в сферической системе координат

coords=spherical, scaling=constrained, axes=normal);

Для вычисления площади поверхности вращения вокруг оси используем формулу

Вычисляем интеграл в программе Maple

>S=2*Pi*Int(2*a*(1+cos(t))*sin(t)*sqrt((2*a*(1+cos(t)))^2+ diff(2*a*(1+cos(t)),t)^2),t=0..Pi) assuming a>0;

> value(%) assuming a>0;

Ответ: .

Задача 4. Найти объем тела, образованного вращением кривой вокруг полярной оси .

Решение. Построим кривую

Изобразим тело вращения

> plot3d([sin(v)^2,u, v],u=0..2*Pi, v=0..2*Pi, coords=spherical, style=patch, axes=normal, numpoints=2000,scaling=constrained, color=grey);

Объем тела вычислим по формуле

Ответ: .

Задачи для самостоятельного работы

1) Найти площадь фигуры, ограниченной параболами и .

2) Найти площадь петли линии .

3) Найти площадь фигуры, ограниченной линией .

4) Вычислить длину дуги полукубической параболы , заключенной внутри параболы .

5) Криволинейная трапеция, ограниченная линией и прямыми и , вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела вращения.

6) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси астроиды .

7) Найти площадь поверхности, образованной вращением окружности вокруг полярной оси.

1. , Кузьмичева решения математических задач в Maple: Учебное пособие – Белгород: Изд. Белаудит, 2001. – 116 с.

2. , , Шумов курс высшей математики. Учебное пособие для студентов втузов. M.: Высш. шк., 1972. – 640 с.

3. Шипачев математика. Под редакцией академика , издание второе, Стереотипное. M.: Высш. шк., 1990. – 368 с.

4. Черненко математика в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. В 3-х ч. Т. I-II. Санкт-Петербург.: Политехника, 2003. – 703 с.

Видео:Интерактивная математика в Maple 2017 | Clickable Math in Maple 2017Скачать

Найти площадь в maple

Для построения двухмерных графиков служит функция plot . Она задается в виде plot ( f , h , v ) plot (, h , v , o )

Где f — визуализируемая функция, h -переменная с указанием области ее изменения, v — необязательная переменная с указателем области ее изменения, o – параметр или набор параметров, задающих стиль построения графика (толщину или цвет кривых, тип кривых, метки на них и т.д).

Рис.8.1 Построение графиков функции с явным указанием масштаба

С помощью параметра у можно задать масштаб графика по вертикали. Это иллюстрирует рис.8.1 ,который за одно показывает применение дополнительных праметров plot при построении двухмерных графиков .на рис.8.1 представлено контекстное меню правой клавиши мыши ,которое позволяет менят множество параметров графика.

Также важное значение имеет возможность построения на одном рисунке графиков нескольких функций. В этом случае(рис.8.2) для построения таких графиковв достаточно перечислить нужные функции и установить для них общие интервалы изменения. Для того чтобы изменить цвет или стиль линей достаточно воспользоваться контекстным меню правой кноки мыши(рис.8.2).

Рис.8.2 графики трех функций на одном рисунке

Построение трехмерных графиков

Трехмерными графиками называют графики, отображающие функции двух переменных z ( x , y ). Для построения графиков трехмерных поверхностей Maple имеет встроенную функцию Plot 3 d . Она может использоваться в следующих форматах:

В двух первых Plot 3 d применяется для построения обычного графика одной поверхности, в других формах- для построения графика с параметрическойформой задания поверхности. В приведенных формах записи f , g , h -функции;

Expr 1- выражение, отражающее зависимость от х и у; exprf , exprg , exprh — выражения, задающие поверхность параметрически ; s , t , a , b — числовые константы действительного типа; c и d — числовые константы или выражения действительного типа; x , y , s , t — имена независимых переменных; р- управляющие параметры.

Рис 8.3 простейшее построение поверхностей

На рис.8.3 показаны два примера простейших построений графиков поверхности. По умолчанию в Maple строиться поверхность с функциональной окраской и стилем style = SurfacewithLine ( верхний пример).На рис.8.3 также показано контекстное меню правой клавиши мыши, показывающие возможные команды, влияющие на вид трехмерных графиков. В частности, на стиль построения поверхности.

Сейчас остановимся на примере применительно к графике в полярной системе координат.

юНа рис 8.4 демонстрируется одна из таких фигур. Это семейство из 10 кардиоид разного размера построенных функцией polarplot .

Параметр Scalling = constrained обеспечивает правильное отображение фигур . Каждая кардиоида вписывается в огибающую ее окружность. Размер кардиоид задается значением а.

Рис.8.4 семейство кардиоид на одном графике

Построение анимации 2 D графиков

В maple возможна анимация двумерных графиков. Причем ,если в предыдущей версии его можно было сделать только в отдельном окне,то теперь анимация работает в самом документе и при этом пользователь может продолжить свою работу. Ниже мы видим пример анимации.

Animate ( F , x , t ). здесь F = F ( x , t ) – функиция двух переменных; x , t — диапозоны изменения x и t . При анимации происходит следующее: изменяются значения t и при фиксированных значениях t график F ( x , t ). Чтобы запустить анимацию достаточно использовать правую кнопку мыши. Как показано ниже.

Построение анимации 3 D графиков

Аналогичным образом может осуществляться и анимирование трехмерных фигур. Для

этого используется функция animate3d:

Здесь F — описание функции (или функций); x, y и t — диапазоны изменения пе-

ременных x, y и t. Для задания числа кадров N надо использовать необязательный

параметр 0 в виде frame=N.

Ниже покажем построение трехмерного анимационного графика. После задания

функции, график которой строится, необходимо выделить график и запустить проиг-

рыватель, как и для анимации двумерных графиков.

Чтобы запустить анимацию достаточно использовать правую кнопку мыши как показано ниже.

Функция PDEplot из пакета DEtools

Еще одна функция пакета DEtools — DEtools[PDEplot] — служит для построения графиков решения систем с квазилинейными дифференциальными уравнениями первого

порядка в частных производных.

Эта функция используется в следующем виде:

PDEplot(pdiffeq, van, icurve, srange, o)

PDEplot(pdiffeq, van, icurve, srange, xrange, yrange, urange, o).

Здесь помимо упоминавшихся ранее параметров используются следующие: pdiffeq

— квазилинейные дифференциальные уравнения первого порядка (PDE), van — независи-

мая переменная и icurve начальные условия для параметрических кривых трехмерной

поверхности. Помимо опций, указанных для функции DEplot, здесь могут использо-

ваться следующие опции:

basechar = TRUE,FALSE,ONLY — устанавливает показ базовых характеристик

basecolor, basecolor — устанавливает цвет базовых характеристик;

initcolor, initcolor — инициализация цветов;