найти площадь правильного додекаэдра

Видео:Тетраэдр. 10 класс.Скачать

Додекаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Додека» означает двенадцать, «хедра» — означает грань (додекаэдр – двенадцатигранник).

Видео:10кл.Егэ.Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через серединыСкачать

Поэтому на вопрос — «что такое додекаэдр?», можно дать следующее определение: » Додекаэдр это геометрическое тело из двенадцати граней, каждая их которых — правильный пятиугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .
Додекаэдр имеет следующие характеристики :

• Тип грани – правильный пятиугольник;
• Число сторон у грани – 5;
• Общее число граней – 12;
• Число рёбер, примыкающих к вершине – 3;
• Общее число вершин – 20;
• Общее число рёбер – 30.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
Додекаэдр имеет центр симметрии — центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Видео:10 класс, 12 урок, ТетраэдрСкачать

Математические характеристики додекаэдра

Додекаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы додекаэдра

где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь додекаэдра.

Радиус вписанной сферы додекаэдра

Площадь поверхности додекаэдра.

Для наглядности площадь поверхности додекаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон додекаэдра (это площадь правильного пятиугольника) умноженной на 12. Либо воспользоваться формулой:

Объем додекаэдра определяется по следующей формуле:

Видео:Платоновы тела: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Икосаэдр, ДодекаэдрСкачать

Вариант развертки

Додекаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон по одной из версий не относил додекаэдр ни к одному из земных элементов, а по другой из версий ассоциировал додекаэдр с эфиром (пустотой). Для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали желтый цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Кроме того, существуют два классических варианта окраски многогранника, когда каждая из соседних граней окрашена в свой цвет. Либо используется определенное количество цветов раскраски, причем одинаковые цвета не граничат друг с другом.

Представляем Вашему вниманию два варианта окраски додекаэдра с использованием шести и четырех цветов.

Видео:Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Додекаэдр.

Додекаэдр — 1 из 5ти вероятных правильных многогранников.

Додекаэдр состоит из 12 пятиугольников. Равносторонних. У додекаэдра 12 граней с 30 ребрами, 20

вершин, при каждой вершине по 3 грани, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине

Элементы симметрии додекаэдра.

У додекаэдра центр симметрии состоит из 15 осей симметрии. Все оси проходят через середины

противоположных параллельных ребер.

У додекаэдра 15 плоскостей симметрии. Каждая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани

через вершину и середину противолежащего ребра.

Оси симметрии додекаэдра.

Плоскости симметрии додекаэдра.

Развертка додекаэдра.

Основные формулы додекаэдра.

Если за длину ребра принять a, то:

Сумма ребер додекаэдра:

Площадь поверхности додекаэдра:

Объём додекаэдра:

Радиус описанной сферы вокруг додекаэдра:

Радиус вписанной сферы в додекаэдр:

Свойства додекаэдра.

• 20 вершин додекаэдра лежат по 5 в 4-х плоскостях параллельных, и образуют в каждой

параллельных плоскостях по правильному пятиугольнику.

• Двугранный угол, который лежит между 2-мя смежными гранями додекаэдра

• Ʃ плоских углов у любой из двадцати вершин = 324°, телесный (3-х гранный) угол

• Внутрь додекаэдра возможно вписать куб таким образом, что стороны вписанного куба станут

• У додекаэдра 3 звёздчатые формы.

• Внутрь додекаэдра возможно вписать 5 кубов. Если поменять 5-ти угольные грани додекаэдра

плоскими 5-ти угольными звездами таким образом, что исчезнет каждая из ребер додекаэдра, значит

получится пространство 5-ти кубов, которые пересекаются. Додекаэдр перестанет существовать.

Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система 5-ти ортогональностей.

Или симметричное пересечение 5-ти 3-х мерных пространств.

Видео:#203. Правильные многогранники: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдрСкачать

Додекаэдр – это. Определение, формулы, свойства и история

Додекаэдр – это объемная геометрическая фигура, которая имеет 12 граней. Это основная его характеристика, поскольку количество вершин и число ребер могут изменяться. Рассмотрим в статье свойства этой фигуры, ее использование в настоящее время, а также некоторые интересные исторические факты, связанные с ней.

Видео:Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Общие понятия о фигуре

Додекаэдр – это слово взято из языка древних греков, которое буквально означает «фигура с 12-ю гранями». Его грани представляют собой многоугольники. Учитывая свойства пространства, а также определение додекаэдра, можно сказать, что его многоугольники могут иметь 11 сторон и меньше. Если грани фигуры образованы правильными пентагонами (многоугольник, имеющий 5 сторон и 5 вершин), то такой додекаэдр называется правильным, он входит в число 5-ти платоновских объектов.

Видео:10кл.Егэ.Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если всеСкачать

Геометрические свойства правильного додекаэдра

Рассмотрев вопрос о том, что такое додекаэдр, можно перейти к характеристике основных свойств правильной объемной фигуры, то есть образованной одинаковыми пятиугольниками.

Поскольку рассматриваемая фигура является объемной, выпуклой и состоит из многоугольников (пентагонов), то для нее справедливо правило Эйлера, которое устанавливает однозначную зависимость между числом граней, ребер и вершин. Оно записывается в виде: Г + В = Р + 2, где Г – количество граней, В – вершин, Р – ребер. Зная, что правильный додекаэдр – это двенадцатигранник, число вершин которого составляет 20, то, используя правило Эйлера, получаем: Р = Г + В — 2 = 30 ребер. Углы между соседними гранями этой платоновской фигуры являются одинаковыми, они равны 116,57 o .

Видео:ЗАДАНИЕ 2| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Ребра правильного тетраэдра равны 14. Найдите площадь сечения, проходящегоСкачать

Математические формулы для правильного додекаэдра

Ниже приведем основные формулы додекаэдра, который состоит из правильных пятиугольников. Эти формулы позволяют вычислить площадь его поверхности, объем, а также определить радиусы сфер, которые можно вписать в фигуру или описать вокруг нее:

• Площадь поверхности додекаэдра, которая представляет собой произведение 12-ти площадей пятиугольников со стороной «a», выражается следующей формулой: S = 3*√(25 + 10*√5)*a 2 . Для приблизительных расчетов можно пользоваться выражением: S = 20,65*a 2 .
• Объем правильного додекаэдра, как и его суммарная площадь граней, однозначно определяется из знания стороны пятиугольника. Эта величина выражается следующей формулой: V = 1/4*(15 + 7*√5)*a 3 , что приблизительно равно: V = 7,66*a 3 .
• Радиус вписанной окружности, которая касается внутренней стороны граней фигуры в их центре, определяется так: R₁ = 1/4*a*√((50 + 22*√5)/5), или приблизительно R₁ = 1,11*a.
• Описанную окружность проводят через 20 вершин правильного додекаэдра. Ее радиус определяется формулой: R₂ = √6/4*a*√(3 + √5), или приблизительно R₂ = 1,40*a. Приведенные цифры говорят, что радиус внутренней сферы, вписанной в додекаэдр, составляет 79 % от такового для описанной сферы.

Видео:Платоновы тела. Октаэдр. Додекаэдр. Икосаэдр | МатематикаСкачать

Симметрия правильного додекаэдра

Как видно из рисунка выше, додекаэдр – это достаточно симметричная фигура. Для описания этих свойств в кристаллографии вводят понятия об элементах симметрии, главными из которых являются поворотные оси и плоскости отражения.

Идея использования этих элементов проста: если установить ось внутри рассматриваемого кристалла, а затем повернуть его вокруг этой оси на некоторый угол, то кристалл полностью совпадет сам с собой. То же самое относится к плоскости, только операцией симметрии здесь является не поворот фигуры, а ее отражение.

Для додекаэдра характерны следующие элементы симметрии:

• 6 осей пятого порядка (то есть поворот фигуры осуществляется на угол 360/5 = 72 o ), которые проходят через центры расположенных напротив друг друга пятиугольников;
• 15 осей второго порядка (симметричный угол поворота равен 360/2 = 180 o ), которые соединяют середины противоположных ребер октаэдра;
• 15 плоскостей отражения, проходящих через расположенные напротив ребра фигуры;
• 10 осей третьего порядка (операция симметрии осуществляется при повороте на угол 360/3 = 120 o ), которые проходят через противоположные вершины додекаэдра.

Видео:ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

Современное использование додекаэдра

В настоящее время геометрические объекты в форме додекаэдра находят применение в некоторых сферах деятельности человека:

• Игральные кости для настольных игр. Так как додекаэдр – это платоновская фигура, обладающая высокой симметрией, то объекты этой формы можно использовать в играх, где продолжение событий имеет вероятностный характер. Игральные кости в своем большинстве изготавливают кубической формы, поскольку их сделать проще всего, однако современные игры становятся все сложнее и разнообразнее, а значит, требуют костей с большим количеством возможностей. Кости в форме додекаэдра применяются в ролевой настольной игре Dungeons and Dragons. Особенностью этих костей является то, что сумма цифр, расположенных на противоположных гранях, всегда равна 13.

• Источники звука. Современные звуковые колонки часто изготавливают в форме додекаэдра, поскольку они распространяют звук во всех направлениях и защищают его от окружающего шума.

Видео:10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

Историческая справка

Как выше было сказано, додекаэдр – это одно из пяти платоновых тел, которые характеризуются тем, что образованы одинаковыми правильными многогранниками. Остальными четырьмя платоновыми телами являются тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр.

Упоминания о додекаэдре относятся еще к вавилонской цивилизации. Однако первое подробное изучение его геометрических свойств сделали древнегреческие философы. Так, Пифагор в качестве эмблемы своей школы использовал пятиконечную звезду, построенную на вершинах пентагона (грани додекаэдра).

Платон подробно охарактеризовал правильные объемные фигуры. Философ считал, что они представляют главные стихии: тетраэдр – это огонь; куб – земля; октаэдр – воздух; икосаэдр – вода. Поскольку додекаэдру не досталась никакая стихия, то Платон предположил, что он описывает развитие всей Вселенной.

Мысли Платона многие могут посчитать примитивными и псевдонаучными, однако вот что любопытно: современные исследования наблюдаемой Вселенной показывают, что приходящее на Землю космическое излучение обладает анизотропией (зависимостью от направления), и симметрия этой анизотропии хорошо согласуется с геометрическими свойствами додекаэдра.

Видео:Нахождение высоты тетраэдра.Скачать

Додекаэдр и сакральная геометрия

Священная геометрия представляет собой совокупность псевдонаучных (религиозных) знаний, которые приписывают различным геометрическим фигурам и символам определенное сакральное значение.

Значение многогранника додекаэдра в сакральной геометрии заключается в совершенности его формы, которую наделяют способностью приводить окружающие тела в гармонию и равномерно распределять энергию между ними. Додекаэдр считается идеальной фигурой для практики медитации, поскольку он играет роль проводника сознания в иную реальность. Ему приписывают способность снимать стресс у человека, восстанавливать память, улучшать внимание и концентрационные способности.

Видео:КАК ПОСТРОИТЬ СЕЧЕНИЕ ТЕТРАЭДРА? #математика #егэматематика #математикапрофильСкачать

Римский додекаэдр

В середине XVIII века в результате некоторых археологических раскопок на территории Европы был найден странный предмет: он имел форму додекаэдра, сделанного из бронзы, его размеры составляли несколько сантиметров, и он был пустым внутри. Однако любопытно следующее: в каждой его грани было сделано отверстие, причем диаметр всех отверстий был различным. В настоящее время найдено более 100 таких объектов в результате раскопок во Франции, Италии, Германии и других стран Европы. Все эти предметы датируются II-III веком нашей эры и относятся к эпохе господства Римской Империи.

Как римляне использовали эти предметы — не известно, поскольку не найдено ни одного письменного источника, который бы содержал точное объяснение их назначения. Лишь в некоторых трудах Плутарха можно встретить упоминание, что эти объекты служили для понимания характеристик 12-ти знаков Зодиака. Современное объяснение тайны римских додекаэдров имеет несколько версий:

• предметы использовались в качестве подсвечников (внутри них найдены остатки воска);
• они применялись как игральные кости;
• додекаэдры могли служить календарем, который указывал на время посадки сельскохозяйственных культур;
• могли они применяться в качестве основы для крепления римского военного штандарта.

Существуют и другие версии использования римских додекаэдров, тем не менее ни одна из них не имеет точных доказательств. Известно лишь одно: древние римляне высоко ценили эти предметы, поскольку в раскопках они часто обнаруживаются в тайниках вместе с золотом и драгоценностями.

💡 Видео

Стереометрия. ЕГЭ. Найти площадь поверхности многогранникаСкачать

Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на граньСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

№370. Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите поСкачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать