найти площадь полной поверхности икосаэдра (5 видео)

Содержание

Икосаэдр.
Икосаэдр
Поэтому на вопрос — «что такое икосаэдр?», можно дать следующее определение: » Икосаэдр это геометрическое тело из двадцати граней, каждая их которых — правильный треугольник «.
Математические характеристики икосаэдра
Вариант развертки
Помогите пожалуйста как вычислить площадь икосаэдра?
🎥 Видео

Видео:Площадь полной поверхности призмыСкачать

Икосаэдр.

Икосаэдр — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, один из тел Платона.

Ранее мы писали о додекаэдре , сейчас поговорим о другом похожем двадцатиграннике – икосаэдре .

Все 20 граней являются равносторонними треугольниками. количество ребер

соответствует 30, количество вершин — 12. Икосаэдр состоит из 59

Все 12 вершин икосаэдра являются вершинами 5 равносторонних

треугольников, значит, сумма углов у вершины = 300°.

У икосаэдра 30 ребер. Как и у всех правильных многогранников ребра икосаэдра имеют равную длину,

а грани — равную площадь.

У икосаэдра, как и додекаэдра, 15 осей симметрии, все проходят через

середины противолежащих параллельных ребер. Точка пересечения этих

осей икосаэдра – это и есть его центр симметрии.

найти площадь полной поверхности икосаэдра

Так же как и у додекаэдра, у икосаэдра 15 плоскостей симметрии.

Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, которые лежат в

одной плоскости, и середины противоположных параллельных ребер.

Пусть длина ребра икосаэдра будет а тогда:

Сумма длин всех ребер:

Площадь икосаэдра:

Объем икосаэдра:

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

Свойства икосаэдра.

Каждая из 12 вершин икосаэдра лежит по 3 в 4-х параллельных плоскостях, образуя во всех

10 вершин икосаэдра находятся в 2-х параллельных плоскостях, и образуют в них 2 правильных

5-ти угольника, а оставшиеся 2 — противоположны друг другу и находятся в 2-х концах диаметра

описанной вокруг икосаэдра сферы, который перпендикулярен параллельным плоскостям.

Икосаэдр возможно вписать в куб, тогда 6 взаимо-перпендикулярных ребер икосаэдра будут

находиться соответственно на 6-ти гранях куба, оставшиеся 24 ребра находятся внутри куба, все 12

вершин икосаэдра будут находиться на ше6-ти гранях куба.

В икосаэдр можно вписать тетраэдр, таким образом, чтобы 4 вершины тетраэдра станут

совмещены с 4-мя вершинами икосаэдра.

Икосаэдр возможно вписать в додекаэдр, тогда вершины икосаэдра совместятся с центрами

В икосаэдр возможно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней

Усечённый икосаэдр можнополучить, срезав 12 вершин с образованием граней вида правильных

5-ти угольников. Тогда количество вершин нового многогранника увеличится в 5 раз (12×5=60), 20

треугольных граней становятся правильными шестиугольниками (количество граней

теперь 20+12=32), а рёбер — 30+12×5=90.

Сделать икосаэдра можно из 20 тетраэдров.

Нельзя сделать икосаэдр из правильных тетраэдров, потому что радиус описанной сферы вокруг

икосаэдра и длина бокового ребра (вершины-центр такой сборки) тетраэдра меньше ребра икосаэдра.

Усечённый икосаэдр.

Усечённый икосаэдр — это многогранник, который состоит из 12 правильных 5-ти угольников и 20

правильных 6-ти угольников. У усеченного икосаэдра икосаэдрический тип симметрии.

Примеры икосаэдров в мире:

Обычный футбольный мяч является усечённым икосаэдром.

Капсиды большинства вирусов (например, бактериофаги, мимивирус).

Молекула фуллерена C60 — усечённый икосаэдр.

Развертка икосаэдра.

Как сделать икосаэдр.

Способ № 1 Икосаэдр из заготовки

Распечатываем готовое изображение развертки икосаэдра, вырезаем и склеиваем по границам. Далее

на ваше усмотрение окрашиваете в любой цвет и украшаете.

Способ № 2 Икосаэдр своими руками

Вам понадобится бумага, карандаш, линейка (удобней будет циркуль), ножницы, клей ПВА (или другой).

При помощи линейки, циркуля и карандаша рисуем на бумаге несколько треугольников (как на рисунке

ниже). Чтоб было легче, можете нарисовать 5 параллелограммов, а после каждый прямоугольник

разделить на 4 равносторонних треугольника. Далее вырезаем, оставив места для склейки и

Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать

Икосаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Икоси» означает двадцать, «хедра» — означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник).

Видео:ЕГЭ СТЕРЕОМЕТРИЯ НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОКТАЭДРА ФИГУРА КРИСТАЛЛ | ЕГЭСкачать

Поэтому на вопрос — «что такое икосаэдр?», можно дать следующее определение: » Икосаэдр это геометрическое тело из двадцати граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .
Икосаэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный треугольник;
Число сторон у грани – 3;
Общее число граней – 20;
Число рёбер, примыкающих к вершине – 5;
Общее число вершин – 12;
Общее число рёбер – 30.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300° (60° x 5).
Икосаэдр имеет центр симметрии — центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Видео:Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Математические характеристики икосаэдра

Икосаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы икосаэдра

где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь икосаэдра.

Радиус вписанной сферы икосаэдра

Для наглядности площадь поверхности икосаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон икосаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 20. Либо воспользоваться формулой:

Объем икосаэдра определяется по следующей формуле:

Видео:10кл.Егэ.Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увелСкачать

Вариант развертки

Икосаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал икосаэдр с «земным» элементом вода, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали голубой цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Кроме того, существуют два классических варианта окраски многогранника, когда каждая из соседних граней окрашена в свой цвет. Либо используется определенное количество цветов раскраски, причем одинаковые цвета не граничат друг с другом.

Представляем Вашему вниманию два варианта окраски 20 граней икосаэдра с использованием пяти цветов.

Видео:#203. Правильные многогранники: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдрСкачать

Помогите пожалуйста как вычислить площадь икосаэдра?

Спасибо всем за ответ. А на счёт высоты помоч ктонибуть может? Как найти высоту икосаэдра?

Просто. Надо знать, что икосаэдр имеет 20 граней — все — равносторонние треугольники.
Значит площадь полной поверхности икосаэдра равна двадцатикратной площади равностороннего треугольника. Если дана сторона a, то площадь равностороннего треугольника равна a^2 * K(3) / 4.
К (3) — это корень из трёх.

Значит площадь полной поверхности икосаэдра с ребром a равна 5К (3) * a^2.

Что такое высота икосаэдра, не совсем ясно. У икосаэдра нет понятия высоты. Если имелся в виду диаметр вписанной сферы, то вот:

d = a* (1 / 2К (3)) * (3 + К (5))

В Википедии есть формула для вычисления площади икосаэдра