найти площадь основания четырехугольной пирамиды (8 видео)

Содержание

Площадь основания пирамиды
Площадь основания правильной пирамиды
Площадь основания правильной треугольной пирамиды
Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды
Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды
Площадь основания любой пирамиды
Примеры решения задач
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
Формула площади правильной пирамиды
1. Общая формула
2. Площадь правильной треугольной пирамиды
Формулы площади четырехугольной пирамиды произвольного типа и правильной. Пример геометрической задачи
Четырехугольная пирамида
Площадь пирамиды с четырехугольным основанием произвольного типа
Площадь правильной фигуры
Решение задачи по геометрии
💥 Видео

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

Площадь основания пирамиды

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник — равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды — это площадь этой плоской фигуры.

Видео:Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамидыСкачать

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

треугольная,
четырехугольная,
шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание — равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание — квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник — находим его площадь:

, где — сторона треугольника.

Основание треугольной пирамиды

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где — сторона квадрата.

Основание четырехугольной пирамиды

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

Основание шестиугольной пирамиды

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды — это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье «Площадь треугольника».

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Видео:#121. Задание 8: четырехугольная пирамидаСкачать

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: . Нам дана сторона , тогда

Ответ:

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м 2 . Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: . Подставим в нее значение стороны . Получим: м 2 .

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: .

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами — нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой — высотой. Определяем площадь по формуле:

Видео:№268. Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды,Скачать

Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Видео:Правильная четырехугольная пирамида. Площадь боковой поверхности.Скачать

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

Видео:Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамидыСкачать

Формулы площади четырехугольной пирамиды произвольного типа и правильной. Пример геометрической задачи

Четырехугольная пирамида, пожалуй, самая известная фигура из данного класса объемных геометрических объектов. Ее свойства и характеристики изучают в старших классах школ. Данная статья призвана ответить на вопрос о том, по какой формуле площадь четырехугольной пирамиды рассчитывается.

Видео:#122. Задание 8: четырехугольная пирамидаСкачать

Четырехугольная пирамида

Чтобы не ходить далеко за примерами этой фигуры, сразу скажем, что великая пирамида Хеопса является самой известной четырехугольной правильной фигурой.

С чисто геометрической точки зрения пирамида четырехугольная представляет собой объект, образованный пятью гранями: четырьмя треугольниками и одним плоским четырехугольником. Построить в пространстве эту фигуру не представляет никакого труда. Для этого берется плоский четырехугольник (квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм и так далее), а затем все его вершины соединяются с одной единственной точкой в пространстве, которая станет вершиной пирамиды. В результате таких простых геометрических операций мы получаем четырехугольную пирамиду.

Видно, что фигура состоит из пяти граней, пяти вершин, одна из которых является главной, и восьми ребер (4 относятся к основанию, 4 принадлежат треугольникам).

Не все четырехугольные пирамиды имеют одинаковую форму. Существует несколько типов этих фигур. Например, пирамиды бывают наклонные и прямые. В первом случае перпендикуляр, который опущен из вершины к четырехугольному основанию, пересекает последнее в точке, не совпадающей с его центром. В случае же прямой фигуры точка пересечения перпендикуляра плоскости основания и является его центром. Напомним, что центр выпуклого четырехугольника лежит в точке пересечения двух диагоналей.

Помимо наклонных и прямых фигур, четырехугольные пирамиды могут быть правильными и неправильными. Любая пирамида с квадратным основанием, которая является прямой, будет правильной. Правильные пирамиды отличаются друг от друга размерами (длиной стороны квадрата a, длиной ребер боковых b и высотой h). При выполнении вычислений различных геометрических характеристик с правильными пирамидами, в виду их высокой симметрии, удобно работать. Кроме того, многие свойства этих фигур описываются специальными выражениями, включая формулу площади правильной пирамиды четырехугольной.

Видео:🙂 Площадь поверхности правильной пирамидыСкачать

Площадь пирамиды с четырехугольным основанием произвольного типа

Чтобы определить площадь любого многогранника, необходимо сложить площади всех его сторон. Изучаемая фигура имеет пять сторон, четыре из которых являются треугольными. Их площади найти несложно, если знать высоту каждого треугольника h_bi (она является апофемой пирамиды) и длину каждой стороны четырехугольника a_i. Тогда для четырехугольной пирамиды формула площади боковой поверхности примет вид:

К значению S_b следует добавить площадь четырехугольника S₄, чтобы получить площадь полной поверхности пирамиды. Величину S₄ несложно определить, если известны стороны a_i и углы четырехугольника.

Видео:№341. Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной Р является трапеция ABCDСкачать

Площадь правильной фигуры

Как было сказано выше, для правильной пирамиды четырехугольной формула площади поверхности имеет конкретный вид. Получим ее.

Начнем с рассмотрения площади основания. Поскольку оно представляет собой обычный квадрат, то его площадь вычисляется с помощью простого выражения:

Теперь обратим внимание на боковую поверхность. Представлена она четырьмя одинаковыми треугольниками, которые к тому же являются равнобедренными, или равносторонними. Все апофемы треугольников равны, обозначим их длину h_b. Площадь поверхности боковой будет равна:

Тогда формула площади поверхности четырехугольной пирамиды правильной примет следующий вид:

Видео:🔴 Найдите объём правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Решение задачи по геометрии

Известно, что ребро правильной пирамиды, которая имеет квадрат в основании, равно длине диагонали этого основания. Зная, что сторона квадрата равна 8 см, необходимо определить площадь всех граней данной фигуры.

Поскольку диагональ квадрата d равна длине ребра бокового b, то получаем:

Теперь следует увидеть, что в изучаемой пирамиде ребро b, апофема h_b и половина стороны квадрата образуют треугольник с углом 90 o . Этот факт позволяет воспользоваться теоремой Пифагора для определения h_b:

Теперь можно применить формулу площади четырехугольной пирамиды:

Остается подставить значение стороны квадрата из условия и записать ответ: S = 233,33 см 2 .