найти площадь фигуры звезда

Видео:Площадь фигурыСкачать

Новые формулы в математике. Краткое доказательство теоремы Ферма Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сапралиева Лейла Руслановна

В статье предлагаются новые математические формулы, выведенные автором, одна из которых упрощает решение кубических уравнений . Если решать кубическое уравнение традиционными способами, то после подбора одного корня нам приходится раскладывать кубический четырёхчлен на множители, деля уголком, это занимает очень много времени. С помощью предложенной формулы можно сразу найти два других корня кубического уравнения после подбора первого корня. Другая формула выражает площадь правильной n угольной звезды . С помощью этой формулы, зная только радиус звезды, можно быстро вычислить площадь любой правильной звезды: пятиугольной, шестиугольной и т. д. Также рассматриваются следствия, вытекающие из теоремы, которые позволяют найти периметры правильных звезд, площади фигур, которые получаются после удаления из круга правильных звезд. В статье рассматривается самое короткое доказательство теоремы Ферма . Все формулы принадлежат автору статьи.

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сапралиева Лейла Руслановна

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Текст научной работы на тему «Новые формулы в математике. Краткое доказательство теоремы Ферма»

Новые формулы в математике. Краткое доказательство Теоремы Ферма

Сапралиева Лейла Руслановна,

учитель математики, Гимназия №1 г. Назрань, sapralieva-lyapa@mail.ru

В статье предлагаются новые математические формулы, выведенные автором, одна из которых упрощает решение кубических уравнений. Если решать кубическое уравнение традиционными способами, то после подбора одного корня нам приходится раскладывать кубический четырёхчлен на множители, деля уголком, это занимает очень много времени. С помощью предложенной формулы можно сразу найти два других корня кубического уравнения после подбора первого корня. Другая формула выражает площадь правильной п — угольной звезды. С помощью этой формулы, зная только радиус звезды, можно быстро вычислить площадь любой правильной звезды: пятиугольной, шестиугольной и т. д. Также рассматриваются следствия, вытекающие из теоремы, которые позволяют найти периметры правильных звезд, площади фигур, которые получаются после удаления из круга правильных звезд. В статье рассматривается самое короткое доказательство теоремы Ферма. Все формулы принадлежат автору статьи. Ключевые слова: кубические уравнения; правильные п — угольные звезды; лейлаграмма, теорема Ферма.

Теорема: Если в кубическом уравнении ахз+вх2+сх+СС=0, где а *0, известен хотя бы один корень х1, то другие два корня х2 и хз можно найти по формуле:

Доказательство Разложим ах3+вх2+сх+d на множители, получим а(х-х1)(х-х2)(х-хз)=0; или (х-х1)(х-х2)(х-хз)=0. Перемножим вторую и третью скобки, получим: (Х-Х1)(Х2-Х2Х-ХзХ+Х2Хз)=0 или (х-х1)(х2-(Х2+Хз)Х+Х2Хз)=0 (*)

тогда уравнение (*) при-

ное уравнение получим: х-х1=0 х=х1

х2+—Ъ х Iх—— 0 ^ х2,3=

ъ—, что и требовалось

Пусть дано кубическое уравнение 3х3+7х2-18х+8=0, где х1=1, тогда, подставив х1в формулу, получим два другие корня х2 и хз.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Тогда площадь правильной п-угольной звезды равна:

Ь»_. 14 ■ _!■> и * с->т>_ ГШ_.

Что и требовалось доказать. Следствие 1 из теоремы: Площадь лей-

Доказательство: Определение: Лейлаграммой называется часть круга, полученная удалением п-угольной звезды из круга. Тогда

что требовалось доказать.

Следствие 2. Площадь пятиугольной звезды равна ЛR2, где Л=1,12 постоянная Лейлы.

5 = а>&¥ = &■ 0,7265 ■ 0,- йг = 1Д2Яг =

, что требовалось доказать. Следствие 3. Периметр п-угольной звезды ра-

довательно ^ — я , что требовалось до-

Более 350 лет математики доказывали теорему Ферма. Наконец Эндрю Уайлс в 1994 году доказал ее. Предлагаю свое самое простое и самое короткое доказательство теоремы Ферма.

Докажем, что уравнение х п + у п = z п не имеет решений при х, у, z, п принадлежащих множеству натуральных чисел, причем п>2.

Пусть х = х, у = х + а, z = х + а + Ь, где а , Ь -натуральные числа, тогда уравнение примет вид: х п + (х + а) п = ((х + а) + Ь) п

С помощью бинома Ньютона разложим правую часть уравнения, получим:

хп + (х + а)п = (х + а)п + 1: (х + а)П»1 Ь + 21 (х + а)п»2 ■ Ь2 + пог-1)-оъ-2) + ЗЁ (х + + а)п3 Ь3+. +Ьп

Упростим, получим: К

хп = II (х + а) п»1ь + » пръ- 1)-дг-2)

2i ■ (х + а)п_2 ■ Ь2 +

3i • (x + a) n-3 -b3+. + bn

Перенесем bn влево, получим: П

хп-Ьп= II (х+ а) п1Ь + 21 тгрг -1) ■ дг — 2)

Полученное уравнение имеет решение только при х = — а и Ь = а в том случае, если п — четное и при х = — а, Ь = — а, если п — нечетное, но х, а, Ь принадлежат множеству натуральных чисел, значит данное уравнение не имеет решений в натуральных числах, что и требовалось доказать.

A new formula in math. A short proof of Fermat’s

Gymnasium №1 of the city of Nazran

The paper proposes new mathematical formulas derived by the author, one of which simplifies the solution of cubic equations. If we solve the cubic equation in traditional ways, then after the selection of one root, we have to decompose the cubic four-factor into multipliers, dividing the area, it takes a very long time. Using the proposed formula, you can immediately find the other two roots of the cubic equation after the selection of the first root. Another formula expresses the area of a regular n-carbon star. With the help of this formula, knowing only the radius of the star, you can quickly calculate the area of any proper star, pentagonal, hexagonal, etc. Also considers the implications of theorems that allow to find the correct perimeter of the square shapes, which are obtained after removal from the circle of the correct stars. The article considers the shortest proof of Fermat’s theorem. All formulas belong to the author of the article.

Key words: cubic equation; the correct n — coal star; salagrama, Fermat’s last theorem.

Полученные мною формулы, позволяют вычислять, в считанные секунды, площади и периметры любых п-угольных звезд. Думаю, что эти формулы упростят расчеты в строительстве, в производстве и в нашей обыденной жизни.

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Формулы площадей фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

где a — одна из сторон треугольника, h — высота, проведенная к стороне треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

S = p p — a p — b p — c ,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1 2 a · b · sin γ ,

где a, b — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b .

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

a, b, c — стороны треугольника,
R — радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

Видео:Задача на 5 секунд. Найти площадь заштрихованной фигурыСкачать

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата.

Формула площади квадрата по длине диагонали

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Видео:Площадь | Как найти площадь фигурыСкачать

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

где S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Формулы площади параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь параллелограмма,
a, h — длины сторон параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

где S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними

Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin β 2 = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
β , γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Видео:Как найти площадь фигуры? | ВПР по математике в 4 классе | Задание №5Скачать

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба.

Формула площади ромба по длине стороны и углу

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
α — угол между сторонами ромба.

Формула площади ромба по длинам его диагоналей

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — площадь ромба,
d1, d2 — длины диагоналей ромба.

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Формулы площади трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две ( a, b ) стороны параллельны (основания), а две другие ( c, d ) стороны не параллельны (боковые стороны).

Формула Герона для трапеции

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр трапеции.

Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
h — высота трапеции.

Видео:Как найти площадь фигуры | ЕГЭ математика 2024 #егэпрофиль #профильныйегэ #профильСкачать

Формулы площади дельтоида

Дельтоид — это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна произведению длин неравных сторон на синус угла между ними.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
β — угол между неравными сторонами дельтоида.

Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна полусумме произведения каждой из пар равных сторон на синус угла между ними.

S = a 2 sin γ + b 2 sin α 2 ,

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины сторон дельтоида,
α — угол между равными сторонами b ,
γ — угол между равными сторонами a .

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь дельтоида равна произведению суммы неравных сторон на радиус вписанной окружности.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
r — радиус вписанной окружности.

Формула площади дельтоида по двум диагоналям

Площадь дельтоида равна половине произведения длин двух диагоналей.

где S — площадь дельтоида,
d1, d2 — диагонали дельтоида.

Видео:Найти площадь заштрихованной областиСкачать

Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

Площадь произвольного выпуклого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженной на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — диагонали четырехугольника,
γ — любой из четырёх углов между диагоналями.

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника,
θ = α + β 2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна

S = p — a p — b p — c p — d ,

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями

Если в четырехугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Видео:Как легко найти площадь #математика #егэ #площадь #геометрияСкачать

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

S = π r 2 ,

где S — площадь круга,
r — радиус круга.

Формула площади круга через диаметр

Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — площадь круга,
d — диаметр круга.

Видео:урок 158 Площадь комбинированных фигур. Математика 4 классСкачать

Площадь сегмента круга

Площадь кругового сегмента через угол в градусах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в градусах.

Площадь кругового сегмента через угол в радианах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в радианах.

Видео:Найдите площадь фигуры ★ 2 способа решения ★ Классический школьный способ ★ Формула ПИКАСкачать

Формула площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

где S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.

Видео:Найдите площадь закрашенной фигурыСкачать

Площадь фигур

Площадь фигуры является суммарной числовой характеристикой всех единичных квадратных элементов плоскости. В зависимости от размера фигур стороны квадрата единичного элемента могут быть равны 1 мм, см, м, дюйму, км и пр. S фигур могут измеряться в следующих единицах измерения: мм2, см2, м2, гектарах, квадратных километрах и пр.

Видео:Как найти площадь закрашенной фигуры? Несложная геометрическая задачаСкачать

Вычислить, найти площадь геометрических фигур

Площадь фигуры сложной формы может составляться из различных элементарных фигур: треугольников, квадратов, прямоугольников и пр. Общая площадь будет высчитываться путем суммирования площадей составляющих компонент.

Набор онлайн-калькуляторов страницы дает возможность оперативного вычисления не только S плоских фигур (квадрата, прямоугольника, круга, ромба, эллипса), но и площадей объемных фигур (куба, призмы, конуса, цилиндра, сферы, тетраэдра и пр.), являющихся совокупностью нескольких плоскостей.

Вычисление площадей фигур востребовано для решения различных задач:
— строительных;
— кадастровых;
— инженерных и пр.

Государство осуществляет кадастровый учет земельных участков, основным учитываемым параметром которых является площадь. Специалистами БТИ фиксируется общая и полезная жилая площадь квартир. В быту иногда нужно вычислять площадь ковра, натяжного потолка, площадь дачного участка и пр.

💥 Видео

Задача из китайской средней школы: найти площадь фигурыСкачать

Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивыхСкачать