найти площадь фигуры по точкам

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Формула Пика

Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.

Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

ФОРМУЛА ПИКА

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:

M = 18 (обозначены красным)

N = 20 (обозначены синим)

Найдём площадь трапеции:

M = 24 (обозначены красным)

N = 25 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно это делать и таким образом.

А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, н айдём площадь фигуры:

M = 11 (обозначены красным)

N = 5 (обозначены синим)

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.

Найдём площадь фигуры:

Опишем около неё прямоугольник:

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

В будущем будем рассматривать задания на нахождение площади, связанные с окружностями построенными на листе в клетку, не пропустите! На этом всё. Успехов вам!

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Площадь многоугольника по формуле Пика

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами. Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Возьмем невырожденный простой целочисленный многоугольник (значит он связный — две его произвольные точки могут быть объединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и у всех его вершин целые координаты, его граница — связная ломаная без самопересечений, и у него не ненулевую площадь).

Площадь многоугольника в таком случае равна:

где S — площадь многоугольника, n — число узлов, лежащих строго внутри многоугольника, m — число узлов, лежащих на границах многоугольника, то есть либо на его сторонах, либо в вершинах.

Формула Пика нашла широкое применение для нахождения площади многоугольника построенного на листе в клетку. Масштаб клетки при этом равен 1 см 2 . Под узлами понимают пересечение линий.

В качестве примера вычислим площадь трапеции:

n = 25 (указаны синим цветом);

m = 24 (указаны оранжевым цветом).

S = 25 + 24 2 — 1 = 36 cм 2 .

Найдем площадь ниже представленного многоугольника:

n = 5 (указаны синим цветом);

m = 11 (указаны оранжевым цветом).

S = 5 + 11 2 — 1 = 9.5 cм 2 .

Онлайн калькулятор может быть использован для облегчения подсчетов при использовании теоремы Пика для вычисления площади многоугольника.

Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.

Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

Онлайн калькуляторы

Calculatorium.ru — это бесплатные онлайн калькуляторы для самых разнообразных целей: математические калькуляторы, калькуляторы даты и времени, здоровья, финансов. Инструменты для работы с текстом. Конвертеры. Удобное решение различных задач — в учебе, работе, быту.

Актуальная информация

Помимо онлайн калькуляторов, сайт также предоставляет актуальную информацию по курсам валют и криптовалют, заторах на дорогах, праздниках и значимых событиях, случившихся в этот день. Информация из официальных источников, постоянное обновление.

Видео:Площадь фигурыСкачать

Задачи на координатной сетке

Видео:Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумагеСкачать

Задачи на координатной сетке

Площадь фигур на координатной сетке или плоскости можно решить несколькими способами:

1. Достроить фигуру до прямоугольника или квадрата.

2. Найти площадь прямоугольника.

3. Найти площади всех дополнительных фигур (чаще всего это прямоугольные треугольники или трапеции).

4. Из площади прямоугольника вычесть все площади дополнительных фигур.

Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(0;5), (4;7), (7;0), (11;2)$.

1. Достроим параллелограмм до прямоугольника

2. Найдем длину и ширину прямоугольника:

Чтобы найти длину стороны, параллельную какой либо оси, надо из большей координаты отнять меньшую координату.

Длина стороны $EF= 11$, стороны $FK= 7$. Подставим в формулу площади данные и сделаем вычисления: $S_= 11·7=77$.

3. Найдем площади дополнительных (ненужных) фигур:

4. Из площади прямоугольника вычтем все площади дополнительных фигур и таким образом получим площадь искомого параллелограмма.

• Второй способ

1. Если линии фигуры идут ровно по клеточкам и можно посчитать длины сторон, высот и т.д., то считаем клеточки и определяем величины.

2. Подставляем известные значения в формулу площади.

• Третий способ.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле Пика:

$S=/+В-1$, где $Г$ — количество узлов на границе фигуры (на сторонах и вершинах);

$В$ — количество узлов внутри фигуры.

Узел – это уголок клетки или пересечение линий

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки $1 см × 1$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Отметим красными точками узлы на границе фигуры (Г), а желтыми – узлы внутри фигуры (В).

Подставим данные в формулу Пика: $S=/+6-1=3.5+6-1=8.5$

Площади некоторых фигур

Площадь треугольника:

1. $S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
2. Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
3. Для равностороннего треугольника $S=<a^√3>/$, где $а$ — длина стороны.

Площади четырехугольников:

1. Прямоугольник $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
2. Ромб $S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
3. Трапеция $S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
4. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
5. Параллелограмм $S=a·h_a$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.

Площадь круга:

$S=π·R^2$, где $π=3.14, R$ — радиус окружности.

Площадь сектора:

$S=<S_n°>/=/$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Площадь кольца:

В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$cos BOA= — cos BOC$;

$ctg BOA= — ctg BOC$.

Углы в окружности.

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается

Найдите величину угла MPK. Ответ дайте в градусах.

Угол $МРК$ равен половине градусной меры дуги $МК$, так как он вписанный. Чтобы отыскать градусную меру дуги, посмотрим, на сколько таких дуг мы можем разделить всю окружность, потом $360°$ разделим на полученное количество.

Дуга $МК$ отсекается хордой, занимающей две клетки. Разделим такими хордами всю окружность, получилось $8$ дуг.

$360:8=45°$, составляет градусная мера дуги $МК$.

Прямые на координатной плоскости

Координаты середины отрезка равны среднему арифметическому координат его концов.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки $В(2;8)$ и $A(6;4)$.

Пусть точка $М$ – середина отрезка $ВА$. Чтобы найти абсциссу данной точки, надо найти среднее арифметическое абсцисс концов отрезка:

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости имеет вид $y=kx+b$, где $k$ и $b$ – это коэффициенты.

Уравнение можно задать с помощью формулы:

Точки пересечения прямой с осями координат:

Если прямая пересекает ось Ох, то в уравнении прямой координата $у = 0$, а если прямая пересекает ось Оу, то уравнении прямой координата $х = 0$.

Две прямые на координатной плоскости будут параллельны, если в уравнениях прямых будут равны коэффициенты k.

Если уравнение первой прямой: $y=k_x+b_1$;

Уравнение второй прямой: $y= k_x+b_2$, то при параллельности прямых, $k_1=k_2$.

📺 Видео

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Площади фигурСкачать

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 5.Скачать

Как найти площадь фигуры? | ВПР по математике в 4 классе | Задание №5Скачать

Площадь в Автокаде как посчитать, измерить площадь фигур и штриховокСкачать

Задача на 5 секунд. Найти площадь заштрихованной фигурыСкачать

Измерение площади фигур с помощью палетки. Математика Моро и другиеСкачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Видео урок гиа по математике 2013: Найти площадь фигуры.Скачать