найти площадь фигуры maple (8 видео)

Содержание

Найти площадь фигуры maple
Найти площадь фигуры maple
Задание 1.1.
Задание 1.2.
Применение пакета Maple в курсе «Математический анализ»
💥 Видео

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Найти площадь фигуры maple

Аппроксимация Площади Прямоугольниками

Рассмотрим площадь фигуры, ограниченной линией на интервале [-1, 4].

Как бы нам исхитриться, да и вычислить площадь фигуры, ограниченной этим графиком (на указанном отрезке)?

Предупреждение: Ни о каком определённом интеграле речи пока не идёт!

Может разбить всю рассматриваемую область на множество узких прямоугольников, одно основание у которых принадлежит оси х , а второе «упирается» в кривую? Одна часть таких прямоугольников принадлежала бы верхней полуплоскости, а другая — нижней. Ничего гениального, но именно в этом и состоит основная идея аппроксимации площади фигуры прямоугольниками. Остаются лишь детали.

Конкретнее: разделим отрезок [-1;4] на определённое число равных суботрезков. Каждый из этих суботрезков (подотрезков, подинтервалов) будем воспринимать как одно из оснований соответствующего прямоугольника. Противоположное основание такого прямоугольника пусть упирается правым концом в график данной функции. Т.е. одна из вершин прямоугольника (правая верхняя или правая нижняя) будет принадлежать графику функции. Мы можем с лёгкостью выполнить указанное построение при помощи специальной Maple-команды rightbox из пакета student .

В данном случае мы используем 5 подинтервалов. (Команде rightbox мы об этом сообщили последним её параметром). Можно с лёгкостью определить сумму площадей всех прямоугольников (отметьте, что основание каждого из них равно 1):

Высота каждого из прямоугольников будет совпадать с абсолютной величиной значения функции на правом конце соответствующего подинтервала).

То же самое можно выполнить и более изящно — с помощью команды sum :

Разумеется, такое приближение является чрезвычайно грубым. Попробуем использовать большее количество прямоугольников. Увеличим их число вдвое (при этом длина каждого подинтервала уменьшится вдвое и станет равной 1/2):

Ну и так далее. Чем большее количество прямоугольников мы возьмём, тем точнее их суммарная площадь будет соответствовать истинной. Это очевидно, не правда ли? В десятичной форме нам будет проще следить за изменением результата.

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Найти площадь фигуры maple

Команда plot и ее параметры.

Для построения графиков функции f(x) одной переменной (в интервале по оси Ох и в интервале по оси Оу ) используется команда plot(f(x), x=a..b, y=c..d, parameters), где parameters – параметры управления изображением. Если их не указывать, то будут использованы установки по умолчанию. Настройка изображения также может осуществляться с панели инструментов.

Основные параметры команды plot :

1) title=”text”, где text- заголовок рисунка (текст можно оставлять без кавычек, если он содержит только латинские буквы без пробелов).

2) coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы).

3) axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

4) scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна.

5) style=LINE(POINT) – вывод линиями (или точками).

6) numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию n=49 ).

7) сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т.д.

8) xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy , соответственно.

9) thickness=n, где n=1,2,3… — толщина линии (по умолчанию n=1 ).

10) linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т.д. ( n=1 – непрерывная, установлено по умолчанию).

11) symbol=s – тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND .

12) font=[f,style,size] – установка типа шрифта для вывода текста: f задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size – размер шрифта в pt.

13) labels=[tx,ty] – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy .

14) discont=true – указание для построения бесконечных разрывов.

С помощью команды plot можно строить помимо графиков функций y=f(x), заданной явно, также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t) , если записать команду plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters) .

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 5.Скачать

Задание 1.1.

Построить график жирной линией в интервале от -4 p до 4 p . Наберите:

> plot(sin(x)/x, x=-4*Pi..4*Pi, labels=[x,y],

Построить график разрывной функции .

Замечание : на рисунке автоматически появляются вертикальные асимптоты.

Построить график параметрической кривой , , в рамке. Наберите:

> plot([sin(2*t),cos(3*t),t=0..2*Pi], axes=BOXED, color=blue);

Построить в полярных координатах график кардиоиды с названием. Наберите:

> plot(1+cos(x), x=0..2*Pi, title=»Cardioida», coords=polar, color=coral, thickness=2);

Построить два графика на одном рисунке: график функции

и касательную к нему

Наберите:

Построение графика функции, заданной неявно.

Функция задана неявно, если она задана уравнением . Для построения графика неявной функции используется команда implicitplot из графического пакета plots: implicitplot(F(x,y)=0, x=x1..x2, y=y1..y2).

Вывод текстовых комментариев на рисунок.

В пакете plots имеется команда textplot для вывода текстовых комментариев на рисунок: textplot([xo,yo,’text’], options), где xo, yo – координаты точки, с которой начинается вывод текста ’text’ .

Вывод нескольких графических объектов на один рисунок.

Часто бывает необходимо совместить на одном рисунке несколько графических объектов, полученных при помощи различных команд, например, добавить графику, нарисованному командой plot , текстовые надписи, полученные командой textplot . Для этого результат действия команды присваивается некоторой переменной:

При этом на экран вывод не производится. Для вывода графических изображений необходимо выполнить команду из пакета plots:

> with(plots): display([p,t], options) .

Построение двумерной области, заданной неравенствами.

Если необходимо построить двумерную область, заданную системой неравенств , то для этого можно использовать команду inequal из пакета plots . В команде inequals(c1,…,fn(x,y)>cn>, x=x1…x2, y=y1..y2, options) в фигурных скобках указывается система неравенств, определяющих область, затем размеры координатных осей и параметры. Параметры регулируют цвета открытых и закрытых границ, цвета внешней и внутренней областей, а также толщину линий границ:

optionsfeasible=(color=red) – установка цвета внутренней области;

optionsexcluded=(color=yellow) – установка цвета внешней области;

optionsopen(color=blue, thickness=2) – установка цвета и толщины линии открытой границы;

optionsclosed(color=green,thickness=3) – установка цвета и толщины линии закрытой границы.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Задание 1.2.

Построить график неявной функции (гиперболы):

2. Построить на одном рисунке графики астроиды , () вписанной в эллипс . Выведите название линий Astroida и Ellips жирным шрифтом вместе с его уравнением курсивом. Для этого наберите следующие строки:

> el:=implicitplot(eq, x=-4..4, y=-2..2, scaling=CONSTRAINED,

color=blue, scaling=CONSTRAINED, thickness=2):

ITALIC, 10], align=RIGHT):

3. Построить область, ограниченную линиями: , , .

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Видео:Площадь фигурыСкачать

Применение пакета Maple в курсе «Математический анализ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. »

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MAPLE В КУРСЕ

Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика», «Математика. Компъютерные науки», «Прикладная математика», «Механика».

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MAPLE В КУРСЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ». Составитель: .

Методическая разработка. Часть 1, – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 20с.

Рецензент: доцент кафедры математической физики ННГУ

В настоящем пособии описаны возможности использования пакета компьютерных программ «MAPLE» применительно к общему курсу «Математический анализ», который читается студентам 1-го и 2-го курса механико-математического факультета, обучающихся по специальностям «Математика»,«Математика. Компъютерные науки»,«Прикладная математика», «Механика».

Приводятся примеры решения различных задач курса с помощью указанного пакета, а также варианты заданий для самостоятельных или лабораторных работ.

Общий курс «Математический анализ» читается студентам механико-математического факультета четыре семестра на 1-м и 2-м курсе. При изучении курса на практических занятиях большое внимание уделяется методам вычисления пределов, исследования функций и построения графиков, дифференцирования и интегрирования, аппарату числовых, функциональных и степенных рядов и рядов Фурье, а также кратным, криволинейным и поверхностным интегралам. Однако с развитием современных технологий назрела необходимость использования персонального компьютера в учебном процессе, в частности, при решении или графической иллюстрации перечисленных выше задач. Это ни в коей мере не отменяет важности умения студентами решать поставленные задачи «вручную», так как зачастую результат, полученный компьютером, ввиду чрезвычайной сложности, не поддается ни осмыслению, ни дальнейшему использованию. Кроме того, компьютер выдает только результат вычисления, но не показывает методов решения задач. В то же время огромные вычислительные и графические возможности компьютера будут, безусловно, весьма полезны в организации учебного процесса.

Современная программа аналитических вычислений MAPLE может быть эффективно использована в курсе математического анализа на практических занятиях или при выполнении лабораторных работ по следующим темам:

— вычисление пределов последовательностей и функций;

— построение графиков функций, заданных явно, неявно, параметрически и в полярных координатах;

— вычисление неопределенных интегралов;

— вычисление определенных интегралов;

— приложение определенных интегралов к вычислению площадей.

— нахождение экстремума функций n переменных (с графической иллюстрацией для случая n = 2);

— разложение функций в степенной ряд;

— вычисление кратных интегралов;

— приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов к вычислению площадей и объемов (с графической иллюстрацией).

В 1 части настоящего пособия приводятся примеры решения указанных задач 1-го и 2-го семестров с помощью системы компьютерной математики MAPLE-12, а также задания для самостоятельных или лабораторных работ.

1. Вычисление пределов последовательностей.

Для вычисления пределов последовательностей используется оператор

limit(f, n=a), Limit(f, n=a)

Здесь f – алгебраическое выражение, n – имя переменной, а – бесконечность («infinity»); например:

1) Найти предел последовательности .

Первый пример служит фактически для записи предела в общем виде,

второй – для нахождения его численного значения, третий – для записи равенства. Рассмотрим еще несколько примеров.

2) Найти предел последовательности .

3) Найти предел последовательности .

2. Вычисление пределов функций.

Для вычисления пределов функций используется тот же оператор

Здесь f – алгебраическое выражение, х – имя переменной, а – предельное значение переменной х, которое может быть и бесконечным («infinity» со знаком плюс или минус); dir – опция, указывающая направление поиска предела (left – левый предел, right – правый предел, real – в действительной области и т. п.). Например:

1) Найти предел

Здесь вновь первый пример служит фактически для записи предела в общем виде, второй – для нахождения его численного значения, третий – для записи равенства.

Рассмотрим еще несколько примеров

5. Найти предел

2. Вычисление производных.

Вычисление производных функции f(x) любого порядка реализуется в MAPLE с помощью оператора diff(a, x), где а – дифференцируемое алгебраическое выражение, в частности, функция одного переменного х, по которому производится дифференцирование. В простейшем случае оператор

вычисляет 1-ю производную функции f(x) по х.

При n > 1 вычисление производится рекурсивно, например, оператор

вычисляет . Можно использовать для вычисления оператор последовательности $, например,

вычисляет .

Для упрощения конечного результата следует предварительно присвоить значение производной какой-либо переменной р, а затем воспользоваться операторами simplify(p) или expand(p), например:

1). Найти производную функции

;

2). Найти производную функции :

3). Найти производную функции

4). Найти производную функции

5). Найти производную пятого порядка функции

6). Найти производную 10-го порядка функции

3. Построение графиков функций.

а). Построение графиков явно заданной функции

Для построения графика функции, заданной явно в простейшем случае используется оператор plot в следующем формате:

где f – визуализируемая функция, h – переменная с указанием области изменения по горизонтали, v – необязательная переменная с указанием области изменения по вертикали, o – опции, задающие стиль построения графика (толщину и цвет кривой, тип кривой, метки на ней и т. п., например: axes =NORMAL – задает вид координатных осей, color=black – задает цвет графика, thickness=2 – удваивает толщину линии и т. п.). Самыми простыми формами задания этого оператора являются:

1). plot (f, xmin..xmax) – построение графика функции f (x), заданной своим именем, на промежутке от xmin до xmax.

Например, для построения кривой , -3 f( x) = exp( x )

2). plot (f(x), xmin..xmax) – построение графика функции f (x).

Например, для построения кривой на интервале от -10 до 10 запишем:

Замечание. Интервал изменения независимой переменной в каждом конкретном случае должен выбираться т. о., чтобы график отображал все характерные особенности заданной функции.

1) Построить график функции .

2). Построить график функции .

3). Построить график функции .

4). Построить график функции .

>plot(sqrt(1-exp(-x^2)),x=-5..5,y=-5..5,thickness=2,axes=NORMAL, color =black);

5). Построить график функции .

б). Построение графиков функций, заданных параметрически.

Для построения графика функции, заданной параметрическими уравнениями

используется оператор plot в следующем формате

1). Построить график функции, заданной параметрическими уравнениями:

2). Построить график функции, заданной параметрическими уравнениями:

3). Построить график функции, заданной параметрическими уравнениями:

Замечание. С помощью пакета MAPLE можно изображать графики функций, заданных неявным уравнением, если удается ввести параметрическое представление этого уравнения или записать его в полярных координатах.

1). Построить кривую (декартов лист).

Запишем параметрическое представление данного уравнения (после замены ): . Тогда

2). Построить кривую (астроида)

Запишем параметрическое представление данного уравнения:

. Тогда

в). Построение графиков функций, заданных в полярных координатах.

Для построения графика функции, заданной полярным уравнением используется оператор plot в следующем формате:

plot([r(t),theta(t),t=tmin..tmax, h,v, p,cords=polar).

1). Построить график функции, заданной полярным уравнением

(кардиоида)

> plot([1+cos(t),t, t=0..10], thickness=2,coords=polar);

2). Построить график функции, заданной полярным уравнением

(трехлепестковая роза)

4. Вычисление неопределенных интегралов.

Для вычисления неопределенного интеграла MAPLE предоставляет следующие функции:

(функция Int(f,x) является инертной формой вычисляемой функции int(f,x) и может использоваться для естественного воспроизведения интегралов).

Здесь f — подынтегральная функция, х – переменная интегрирования. При этом находится аналитическое значение интеграла с заданной подынтегральной функцией. Если это не удается (например, для «неберущихся» интегралов), то возвращается исходная запись интеграла.

1). Вычислить

3). Вычислить

Замечание. MAPLE не пишет постоянную интегрирования и не ставит модуль выражений, стоящих под знаком логарифма.

5. Вычисление определенных интегралов.

Для вычисления определенного интеграла

MAPLE предоставляет следующие функции:

(функция Int(f,x=a..b) вновь является инертной формой вычисляемой функции int(f,x=a..b) и также может использоваться для естественного воспроизведения интегралов).

1). Вычислить .

2). Вычислить

3). Вычислить

4). Вычислить .

6. Приложение определенных интегралов к вычислению площадей.

Пакет MAPLE позволяет не только находить с помощью определенного интеграла площади плоских фигур, но и давать наглядную геометрическую визуализацию искомых площадей. Рекомендуется лишь предварительно определить пределы интегрирования (если они не заданы), как точки пересечения заданных кривых.

1). Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

2). Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Лабораторная работа №1.

В каждом варианте требуется решить все задачи непосредственно и с помощью пакета MAPLE:

1. Найти предел последовательности .

2. Найти предел функции.

3. Найти производную функции .

4. Построить график функции .

5. Построить график функции, заданной неявно, параметрически или в полярных координатах.

Вариант 1. Вариант 2.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 3. Вариант 4.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 5. Вариант 6.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 7. Вариант 8.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 9. Вариант 10.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 11. Вариант 12.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 13. Вариант 14.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 15. Вариант 16.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 17. Вариант 18.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

(записать параметрическое представление уравнения, положив )

Вариант 19. Вариант 20.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

(перейти к полярным координатам).

Вариант 21. Вариант 22.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 23. Вариант 24.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Лабораторная работа №2.

В каждом варианте требуется решить все задачи непосредственно и с помощью пакета MAPLE:

1-2. Вычислить неопределенные интегралы.

3. Вычислить определенный интеграл.

4. Изобразить и найти площадь, ограниченную линиями.

Вариант 1. Вариант 2.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 3. Вариант 4.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 5. Вариант 6.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 7. Вариант 8.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 9. Вариант 10.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 11. Вариант 12.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 13. Вариант 14.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 15. Вариант 16.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 17. Вариант 18.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 19. Вариант 20.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 21. Вариант 22.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Вариант 23. Вариант 24.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

Знакомство с пакетом MAPLE несомненно будет полезно студентам при изучении курса «Математический анализ». Некоторые возможности MAPLE просто удивляют, например, аналитическое или численное вычисление производных и интегралов. В то же время при решении некоторых задач компьютер выдает ответ в форме, которая не позволяет определить метод решения. Иногда ответ записывается в форме, требующей дополнительных преобразований. Именно поэтому работа с программным пакетом MAPLE невозможна без солидной математической базы и должна дополнять, но ни в коем случае не подменять традиционные практические занятия по курсу «Математический анализ».

Задания к лабораторным работам выполняются студентами раз в семестр. Отчетность по ним возможна в печатной, рукописной форме, или непосредственно за компьютером.

1. В. Дьяконов « MAPLE 6: Учебный курс » — СПб, : Питер, 2001.-608 с.: ил.

2. « Сборник задач по математическому анализу ».

3. , , « Сборник задач по математическому анализу », т.1, 2, М. Наука, 1986