найдите площадь полученной фигуры

Видео:Площадь фигурыСкачать

Из листа жести прямоугольной формы вырезали 4 квадрата?

Математика | 5 — 9 классы

Из листа жести прямоугольной формы вырезали 4 квадрата.

А)Найди периметр полученной фигуры.

Б)Найди площадь в)Сколько краски потребуется для окрашивания фигуры с двух сторон, если на 1 м² требуется 15 г краски?

Периметр P = 2 * (4 + 3) + 2 * (6 + 3) = 32 м.

Площадь S = 7 * 5 — 4 * 1 * 1 = 31 м².

Тоогда площадь двух сторон 2 * S = 62 м².

На окрашивание двух сторон потребуется 15 * 62 = 930 г = 0, 93 кг краски.

Ответ : P = 32 м, S = 31 м², 0, 93 кг краски.

Видео:Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профильСкачать

Из шести одинаковых кубиков с ребром длиной 3 см сложили фигуру в форме параллелепипеда как показано на рисунке?

Из шести одинаковых кубиков с ребром длиной 3 см сложили фигуру в форме параллелепипеда как показано на рисунке.

Эту фигуру покрасили со всех сторон синей краской.

Какую площадь покрасили?

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Из шести одинаковых кубиков с ребром длиной 3 см сложили фигуру в форме параллелепипеда, как показано на рисунке?

Из шести одинаковых кубиков с ребром длиной 3 см сложили фигуру в форме параллелепипеда, как показано на рисунке.

Эту фигуру покрасили со всех сторон синей краской.

Какую площадь покрасили?

Видео:Сможете ли вы посчитать периметр каждой из этих двух фигур?Скачать

Из прямоугольного листа жести вылезли квадратная отверстия с длиной стороны 2 см какова площадь этой фигуры?

Из прямоугольного листа жести вылезли квадратная отверстия с длиной стороны 2 см какова площадь этой фигуры.

Видео:Найти площадь! Красивейшая задача из Сингапура!Скачать

Из листа жести прямоугольной формы вырезали четыре квадрата найдите периметр полученной фигуры найдите площадь полученной фигуры плиззз помогите я сама не понимаю?

Из листа жести прямоугольной формы вырезали четыре квадрата найдите периметр полученной фигуры найдите площадь полученной фигуры плиззз помогите я сама не понимаю.

Видео:Найдите площадь закрашенной фигурыСкачать

Внутри прямоугольника ABCD (рис?

Внутри прямоугольника ABCD (рис.

151) вырезали отверствие прямоугольной формы.

Как одним прямолинейным разрезом разделить полученную фигуру на две фигуры с равными площадями?

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Для окраски пола площадью 36м квадратных требуется 7, 2л краски?

Для окраски пола площадью 36м квадратных требуется 7, 2л краски.

Сколько краски потребуется для окрашивания 20м квадратных.

Видео:Как найти площадь закрашенной фигуры? Несложная геометрическая задачаСкачать

Из шести одинаковых кубиков с ребром длиной 3 см сложили фигуру в форме параллелепипеда как показано на рисунке?

Из шести одинаковых кубиков с ребром длиной 3 см сложили фигуру в форме параллелепипеда как показано на рисунке.

Эту фигуру покрасили со всех сторон синей краской.

Какую площадь покрасили?

Видео:урок 158 Площадь комбинированных фигур. Математика 4 классСкачать

Площадь листа прямоугольной формы 27 см²?

Площадь листа прямоугольной формы 27 см².

Сколько квадратов со стороной 3 см можно вырезать из этого листа?

Видео:Найдите площадь фигурыСкачать

Площадь листа прямоугольной формы 27см2?

Площадь листа прямоугольной формы 27см2.

Сколько квадратов со стороной 3 см можно вырезать из этого листа?

Видео:Задача из китайской средней школы: найти площадь фигурыСкачать

Из картона вырезали два единичных квадрата, совместили их центры и склеили?

Из картона вырезали два единичных квадрата, совместили их центры и склеили.

Какие значения может принимать отношение площади полученной фигуры к ее периметру?

На странице вопроса Из листа жести прямоугольной формы вырезали 4 квадрата? из категории Математика вы найдете ответ для уровня учащихся 5 — 9 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.

Видео:Задачи от хитроумного японца: Найдите площадь фигуры, используя только формулу площадиСкачать

Как найти площадь фигуры

О чем эта статья:

Видео:Задача на 5 секунд. Найти площадь заштрихованной фигурыСкачать

Обозначение площади

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Если параметры фигуры переданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем решить ни одну задачу. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Круг — это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью, удаленных от центра на равном радиусу расстоянии. Радиусом принято называть отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

S = &pi × d 2 : 4;, где d — это диаметр.

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Красивая геометрия ➜ Найдите площадь закрашенной части кругаСкачать

Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных тремя отрезками. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами. Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходными данным, давайте их рассмотрим.

1. Если известна сторона и высота.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

2. Если известны две стороны и синус угла.

S = 0,5 × a × b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

3. Если есть радиус описанной окружности.

S = (a × b × с) : (4 × R), где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

4. Если есть радиус вписанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

S = a × b, где a, b — длина и ширина прямоугольника.

S = a × √(d 2 — а 2 ), где а — известная сторона, d — диагональ.

Диагональ — это отрезок, который соединяет вершины противоположных углов. Она есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

S = 0,5 × d 2 × ???(?), где d — диагональ, α — угол между диагоналями.

Видео:Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, но при условии, что все его стороны равны. Найти его площадь легко:

S = а 2 , где a — сторона квадрата.

S = d 2 : 2, где d — диагональ.

Видео:Видео урок гиа по математике 2013: Найти площадь фигуры.Скачать

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны и две не параллельны.

S = 0,5 × (a + b) × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны под прямым углом.

Видео:7 класс. Геометрия. Вычисление периметра фигуры.Скачать

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Расскажем про общие формулы расчета площади этих фигур.

S = a × h, где a — сторона, h — высота.

S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.

Для ромба: S = 0,5 × (d₁ × d₂), где d₁, d₂ — две диагонали. Для параллелограмма: S = 0,5 × (d₁ × d₂) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Видео:Как найти площадь неправильной фигуры? Метод палетки.Скачать

Приемы решения задач по теме «Площади фигур»

При решении различных математических задач часто бывает полезно рассмотреть какой – либо вспомогательный элемент, не присутствующий в формулировке задачи. Мы разберём основные приёмы решения геометрических задач при помощи понятия площади.

1. Приём «разрезания и складывания»

Суть: Если многоугольник разрезан на несколько многоугольников, то сумма их площадей равна площади исходного многоугольника.

Предписание 1:

а) многоугольник разбивается на такие фигуры, площадь которых умеем вычислять;
б) находим площадь каждой фигуры, на которые разбили многоугольник;
в) находим сумму площадей фигур;
г) полученная сумма и является площадью данного многоугольника.

Предписание 2:

а) многоугольник разбивается фигуры;
б) составляется фигура, площадь которой умеем находить;
в) площадь полученной фигуры и является площадью исходного многоугольника.

После изучения данного приёма можно рассмотреть следующую задачу.

Задача. Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, опущенный на неё из середины другой боковой стороны.

Решение. Пусть АВСD – данная трапеция (AD || BC), К – середина стороны CD, КН – перпендикуляр, опущенный из точки К на прямую АВ. Проведём через точку К прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р – точки её пересечения с прямой ВС и AD (рисунок 1).
Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, т.к. АВСD = АВСКР + РКD= АВСКР + КСМ = АВМР, т.к. DРКD = DМКС (по II признаку): СК = КD (по условию), РКD = МКС (как вертикальные), КСМ = КDР (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АD и ВС (ВМ)), т.е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН, то S (ABMP) = S (ABCKP) + S (CMK), S(ABCD) = S (ABCKP) + S (KPD) (по построению), т.к. KPD = CMK => S(KPD) = S(CMK) => S(ABCD) = S(ABMP) = KH . AB.

1а. Аддитивность

Суть: нахождение площади криволинейной трапеции с помощью первообразной.

Предписание:

а) криволинейная трапеция разбивается на части, вычисление площадей которых не вызывает затруднения;
б) вычисляется площадь каждой части;
в) находится сумма этих площадей;
г) данная сумма является площадью искомой фигуры.

После изучения данного приёма можно рассмотреть следующую задачу.

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х, у = 1/х, у = 0, х = e (рисунок 2).

Решение. Эту фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную осью абсцисс, прямыми х = 0 и х = e и графиком функции, который на отрезке [0;1] равен у = х, а на отрезке [1; e] равен у = 1/х. Однако написать первообразную для такой функции нелегко.

Поэтому разобьём данную криволинейную трапецию прямой х = 1 на две части. Их площади сразу находятся по формуле

2. Приём эквивалентность отношения длин сторон и площадей

Суть:

• Отношение длин отрезков можно заменить на отношение площадей треугольников.
• Отношение площадей двух подобных треугольников с одинаковыми высотами равно отношению оснований соответствующих треугольников.
• Если у двух треугольников есть равный угол, то отношение площадей этих треугольников равно отношению длин сторон, заключающих этот угол.

Предписание:

а) построение треугольника, учитывая условие задачи;
б) нахождение по чертежу треугольников, у которых равные высоты;
в) нахождение по чертежу треугольников с равным углом;
г) выражение искомого отношения сторон через площади треугольников, содержащих эти стороны;
д) нахождение площади треугольников;
е) при необходимости повторение приёма несколько раз.

После изучения данного приёма можно рассмотреть следующую задачу.

Задача. На сторонах АВ и АС АВС взяты точки С₁, В₁ соответственно.

Пусть О – точка пересечения отрезков ВВ₁ и СС₁ (рисунок 3).

Вычислите ВО , если ВС₁ = и СВ₁ = .
В₁О АС₁ АВ₁

S(AOC) = 1 AC . H, S(B₁OC) = 1 B₁C . H =>
2 2

S(AOC) = AC = AB₁ + B₁C = AB₁ + 1 = 1 + 1,
S(B₁OC) B₁C B₁C B₁C

;
; ? .

Поскольку ВОС и АОС имеют общую сторону ОС, отношение их площадей равно отношению длин высот, опущенных на ОС. Отношение высот равно, в свою очередь,

.

В итоге получаем, что .

3. Приём. Инвариантность

Суть: Различные формулы для площади позволяют получить соотношения между сторонами, высотами, периметром и т.д.

Предписание:

а) запись двух, отличных друг от друга формулы вычисления площадей данной фигуры ( в виде S = …);
б) приравнивание правых частей формул (свойство транзитивности);
в) нахождение неизвестной величины.

Задача. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности этого треугольника равен 1/3 одной из высот.

Решение. Пусть длины сторон a, b, c образуют арифметическую прогрессию. Тогда полупериметр р = b. Поскольку
получаем
3 а. Приём: инвариантность отношения перемещений

Суть: равные фигуры имеют равные площади.

Предписание:

а) построение чертежа;
б) наилучший способ нахождения площади:

• при помощи разрезания;
• «складывания»;
• с помощью симметрии относительно прямой;
• с помощью поворота на угол;

в) вычислить площадь данной фигуры;
г) используя свойство равенства записать площадь исходной фигуры.

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = 2, х = 0.

Решение. Эта фигура станет криволинейной трапецией, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Для этого отразим весь рисунок (рис. 4) относительно прямой у = х. График функции у = отобразится при этом в график обратной функции у = х 2 , а поскольку симметричные фигуры равны и потому имеют равные площади, получаем .

3б. Суть: нахождение площади фигуры при помощи поворота на угол + 90 с центром в начале координат.

Предписание:

а) выполнить поворот вокруг точки О на угол + 90;
б) вычислить площадь данной фигуры;
в) используя свойство равенства фигур, записать площадь исходной фигуры.
Задача. Найти площадь S фигуры, ограниченной линиями у = , у = 1, у = 2, х = 0.

Решение. Для решения задачи применим поворот вокруг точки О на угол – 90 (рис. 5).

3в. Приём. Метод остатков.

Суть: если от равных отнять равные, то получили равные.

Предписание:

а) рассматриваются многоугольники, содержащие:

• общую фигуру;
• общее основание;
• одинаковые высоты;

б) вычисляется площадь одного выбранного многоугольника;
в) находится площадь общей части обоих многоугольников;
г) используя свойство (формулировка данного приёма), вычисляется площадь исходной фигуры.

Задача. Дана произвольная трапеция АВСD и проведены её диагонали (рисунок 6). Докажите, что S(АВК) = S(КСD).

Решение. Рассмотрим треугольник АВD и треугольник ACD. Они имеют равные высоты и одно и то же основание АD. Тогда S(АВD) = S(AСD).Отнимем от обеих частей этого равенства S (АКD), получим S(АВD) – S (АКD) = S(AСD) – S (АКD) => S(АВК) = S(КСD).

Все выделенные приёмы даны в таблице, помещённой в Приложении.

Задачи, в которых используется тема «Площади фигур», вызывает большие трудности на вступительных экзаменах в ВУЗы и на олимпиадах различного уровня. Причина состоит не столько в сложности подобных задач, сколько в скудности опыта при их решении, учащиеся не знают каким приёмом воспользоваться при решении задач, т.к. в учебниках недостаточно дано информации по данной теме. Поэтому:

• рассмотренные приёмы дают положительный результат при изучении данной темы;
• снимаются проблемы при подготовке к ЕГЭ;
• этот метод даёт качественный результат при решении задач.

Литература:

1. Д.А. Далингер. Самостоятельная деятельность учащихся – основа развивающего обучения. Математика в школе. № 6 1994 г. стр. 17.
2. Т.И. Акритиди. Применение геометрических преобразований для вычисления площади фигуры с помощью интеграла. Математика в школе. № 4 1981 г. стр. 62.
3. Г.В. Дорофеев. Несколько замечаний к вычислению площадей с помощью интеграла. Математика в школе. № 4 1981 г. стр. 63.
4. Н.А. Тарасенкова. Актуализация базовых знаний. Математика в школе. № 4 1994 г. стр. 9.
5. Площади многоугольников (изложение темы). Математика в школе. № 3 1973 г. стр. 19.
6. П.Р. Кантор, Ж.М. Раббот. Площади многоугольников. Квант. № 2 1972 г. стр. 36.
7. В.В. Прасолов. Используя площадь… Квант. № 5 1986 г. стр. 16.
8. В. Болтянский. О понятиях площади и объёма. Квант. № 5 1977 г. стр. 2.
9. А. Виленкин, Ю. Ионин. Площадь и интеграл. Квант. № 5 1977 г. стр. 30.
10. В.А. Далингер. Об одном способе доказательства. Математика в школе. № 5 1993 г. стр. 13.
11. А.В. Погорелов. Геометрия 7 – 11 класс.
12. Л.С. Атанасян. Геометрия 7 – 9 класс.
13. В.Н. Руденко. Геометрия 7 – 9 класс.
14. А.Д. Александров. Геометрия 7 – 9 класс.
15. А. Бевз. Геометрия 7 – 9 класс.

📺 Видео

Как найти периметр фигуры по рисунку. ВПР по математике, 4 класс.Скачать